Devoir libre numéro 5.

Mathématique ECS 1 28 nov. 2017

Devoir libre numéro 5.

Exercice 1. Etude de quelques sommes.

(1) Soitnun entier tel quen≥2et Sn la somme

S_n =

n

X

k=1

k 2n

n+k

.

(a) Etablir, pour1≤k≤n−1 :

2n n+k+ 1

= n−k n+k+ 1

2n n+k

.

(b) En déduire, pour1≤k≤n−1 :k 2n

n+k

+ (k+ 1) 2n

n+k+ 1

=−n

2n n+k+ 1

− 2n

n+k

.

(c) Etablir alors l’égalité :S= n+ 1 2

2n n+ 1

. (2) On pose maintenant, pour tout n∈N^∗ :

Un=

n

X

k=1

1

n k

, Vn=n!Un et Wn=

n

X

k=0

k n!

n k

(a) Montrer que pour toutn∈N, Wn= nV_n 2 . (b) En déduire une relation entreU_n etU_n+1. (c) CalculerU₅, U₆, U₇.

Pour toutn∈N^∗,on pose Tn = 2ⁿUn

n+ 1. (d) Déterminer une relation entreTn et Tn+1. (e) En déduire queUn= n+ 1

2ⁿ

n

X

k=0

2^k k+ 1.

Exercice 2. Soit(a_k)_0≤k≤n et (b_k)_0≤k≤n deux familles de nombres complexes telles que

∀k∈J0, nK, bk=

n

X

k=0

n k

ak.

(1) Montrer que

∀k∈J0, nK, a_k =

n

X

k=0

(−1)^n−k n

k

b_k.

Soitn∈N^∗.

On appelle permutation de l’ensemble {1,2, . . . , n} toute n-liste (x₁, x₂, . . . , x_n) d’éléments de {1,2, . . . , n} deux à deux distincts.

On appelle dérangement de l’ensemble{1,2, . . . , n}toute permutation(x1, x2, . . . , xn)de{1,2, . . . , n}telle que

∀k∈J1, nK, x_k6=k.

Par exemple, les 4-listes (2,3,4,1); (3,4,1,2); (2,1,4,3) sont des dérangements de {1,2,3,4}. On note D_n le nombre de dérangements de{1,2, . . . , n}.

(2) CalculerD₁, D₂, D₃ etD₄.

(3) En triant les permutations de {1,2, . . . , n}suivant le nombre d’éléments dérangés, montrer que

n! =

n

X

k=0

n k

D_k.

(4) En déduire, pour tout n∈N^∗, l’expression deDn suivante :

Dn=n!

n

X

k=0

(−1)^k k! .

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