Mathématiques ECS 1 05 Sept. 2017
Devoir libre 1.
Exercice 1. Sur la figure ci-dessous, sont représentées dans un repère orthonormal(O,−→ı ,−→ȷ), la courbe représen- tativeC d’une fonctionf définie et dérivable surRainsi que son asymptoteDet sa tangenteT au point d’abscisse 0.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5 O
−
→ȷ
−
→ı C
T D
On sait que le point J(0; 1) est centre de symétrie de la courbe C et que l’asymptote D passe par les points K(−1; 0)etJ, et que la tangenteT a pour équation réduitey= (1−e)x+ 1.
Première partie : expression de la fonction f.
(1) Déterminer une équation de la droite D.
(2) Etablir, pour tout réelx, l’égalitéf(x) +f(−x) = 2.
(3) On suppose que la fonction f est définie par une expression de la formef(x) =Ax+B+ (Cx+D)e−x2. En utilisant les données, déterminer les réelsA, B, C, D. On justifiera soigneusement les résultats.
Deuxième partie : étude d’une fonction
On suppose que la courbeC représente la fonctionf définie sur Rparf(x) = 1 +x−xe−x2+1.
(1) Calculer, pour tout réelx, l’expressionf′(x). Quelle est la valeur def′(0)? Ce résultat était-il prévisible ? (2) Le graphique suggère l’existence d’un minimum relatif de f sur l’intervalle [0; 1].
(a) Démontrer que f′′(x) est du signe de6x−4x3.
(b) Démontrer que l’équation f′(x) = 0admet une unique solution α dans l’intervalle [0; 1].
(c) Etablir l’encadrement 0,51<α<0,52.
(d) Exprimer f(α) sous la forme d’un quotient de deux polynômes en α.
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Troisième partie
Sur le graphique, la courbe C est « très proche »de son asymptote pour les points d’abscisses supérieures à 2,4. On se propose de préciser cette situation, en calculant, pour tout réel λ≥0, l’aire A(λ), exprimée en unités d’aire, de la région délimitée par la courbeC, la droiteD et les droites d’équationx= 0etx=λ.
(1) ExprimerA(λ) en fonction deλ.
(2) Déterminer la limite A deA(λ) lorsque λtend vers +∞.
(3) A partir de quelle valeur deλa-t-on|A(λ)−A|≤10−2?
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