Mathématique ECS 1 20 oct. 2017
Devoir libre numéro 4.
Exercice 1. Pour toutn∈N, on poseUn= Z 1
0
xnln(1 +x)dx.
(1) Etablir l’encadrement0≤Un≤ ln 2
n+ 1 et en déduire que la suite(Un)est convergente vers une limite à préciser.
(2) Calcul de U1.
(a) En remarquant 1
1 +x = 1−x+ x2
1 +x, calculer l’intégrale Z 1
0
x2 1 +xdx.
(b) A l’aide d’une intégration par parties, calculerU1.
(3) Pour toutx∈[0,1]etn∈N, on poseSn(x) =
n
X
k=0
(−1)kxk. Simplifier la sommeSn(x)et en déduire l’égalité
n
X
k=0
(−1)k
k+ 1 = ln(2) + (−1)n Z 1
0
xn+1 1 +xdx (4) A l’aide d’une intégration par parties, établir l’expression suivante de Un :
Un= ln(2)
n+ 1+(−1)n n+ 1
"
ln(2)−
n
X
k=0
(−1)k k+ 1
#
Exercice 2. Pour tout(x, y, z, t)∈R4, on pose
M(x, y, z, t) =
x −y −z −t
y x −t z
z t x −y
t −z y x
etHl’ensemble des matrices réelles de cette forme
H={M(x, y, z, t)|(x, y, z, t)∈R4}.
On pose aussi
1=M(1,0,0,0), I=M(0,1,0,0), J=M(0,0,1,0), K=M(0,0,0,1) Un sous-ensembleEdeM4(R)est stable pour le produit matriciel si :
∀M ∈M4(R),∀N ∈M4(R),(M ∈E et N ∈E=⇒M N ∈E).
(1) Montrer que toute matrice deHs’ecrit de manière unique sous la formea1+bI+cJ+dK.
(2) Exhiber une matrice deM4(R)qui n’appartient pas àH
(3) Calculer les produitsI2,J2,K2,IJ,JI,IK,KI,JK,KJ. En déduire queHest stable pour le produit matriciel.
SiQ∈Hs’écritQ=x1+yI+zJ+tK, on appelle conjugué deQla matriceQ=x1−yI−zJ−tK
(4) Etablir l’égalitéQQ=n2Q1oùnQ est un réel que l’on calculera en fonction dex, y, z, t. En déduire que toute matrice non nulle deHest inversible et admet un inverse dansH.
(5) Montrer que siQ∈Hcommute avec tout élément deHalors il existex∈Rtel queQ=x1.
L’ensembleHest un exemple de corps non commutatif.
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