Devoir de synthèse n°1 Mathématique

Noté Bien

Indiquer, sans justification, la réponse exacte.

Exercice n°1 (3 points)

1) Soit 𝑎𝑎 un entier naturel tel que 𝑎𝑎 divise 11 et divise 9, alors 𝑎𝑎 divise :

□29□28□

30

2) Soit (𝑈𝑈_𝑛𝑛) une suite arithmétique de raison 𝒓𝒓 tel que 𝑈𝑈₃ =−3 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑈𝑈₁₅ = 21, alors𝒓𝒓 =

□1□2□3

3) Dans la figure ci-contre, 𝐼𝐼 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽 sont respectivement les milieux de [𝐴𝐴𝐴𝐴] 𝑒𝑒𝑒𝑒 [𝐴𝐴𝐴𝐴].

L’application du plan dans lui-même qui transforme 𝐼𝐼 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐴𝐴 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐽𝐽 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐴𝐴 est :

□𝑆𝑆_𝐺𝐺□ℎ_(𝐺𝐺,²

3)□ℎ_(𝐺𝐺,⁻²

3)

Soit (𝑈𝑈𝑛𝑛) la suite définie sur 𝐼𝐼𝐼𝐼^∗ par : � 𝑈𝑈₁ =¹₂ 𝑈𝑈_𝑛𝑛+1 =^𝑛𝑛+1_2𝑛𝑛 𝑈𝑈_𝑛𝑛

Exercice n°2 (6 points)

1) a) Calculer 𝑈𝑈₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑈𝑈₃

b) En déduire que (𝑈𝑈_𝑛𝑛) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) a) Montrer que, pour tout 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼^∗, ^𝑈𝑈_𝑈𝑈^𝑛𝑛+1

𝑛𝑛 =¹₂(1 +_𝑛𝑛¹) b) En déduire que, pour tout 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼^∗,¹₂ ≤^𝑈𝑈_𝑈𝑈^𝑛𝑛+1

𝑛𝑛 ≤1

*

c) Comparer alors : 𝑈𝑈₁₀³₋₁ et 𝑈𝑈₁₀³

Mr : Mhamdi Fethi

Devoir de synthèse n°1 Mathématique

Classe : 2

Science Ecole : Chrahil

As : 2017/2018

Date : 25/01/2018

Durée : 2 heures

3) En utilisant la relation

*

a) Montrer que (𝑉𝑉𝑛𝑛) est une suite géométrique de premier terme 𝑉𝑉1 =¹₂ et de raison 𝑞𝑞 =¹₂ b) Exprimer 𝑉𝑉𝑛𝑛 en fonction de 𝑛𝑛.

c) En déduire que 𝑈𝑈𝑛𝑛 =₂^𝑛𝑛_𝑛𝑛 pour tout entier naturel 𝑛𝑛 non nul 5) Soit 𝑆𝑆 =𝑉𝑉1 +𝑉𝑉2+𝑉𝑉3 +⋯+𝑉𝑉𝑛𝑛

a) Montrer que 𝑆𝑆 = 1−₂¹_𝑛𝑛

b) Déterminer n pour que : 𝑆𝑆 ≥³¹₃₂

Un entier est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (autre que lui-même).

Exercice n°3 (5 points)

Exemple

1) Vérifier que 496 est un entier parfait

:6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

2) Soit 𝑝𝑝 un nombre premier différent de 2, et soit 𝐼𝐼 =𝑝𝑝× 2^𝑛𝑛avec 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼.

On désigne par 𝐷𝐷_𝐼𝐼 l’ensemble des diviseurs de 𝐼𝐼 et par 𝑆𝑆 la somme des diviseurs de 𝐼𝐼.

a) Vérifier que :𝐷𝐷𝐼𝐼 = {2^𝑘𝑘, 0≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛}∪{𝑝𝑝× 2^𝑘𝑘, 0≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛} b) Montrer que :𝑆𝑆 = (2^𝑛𝑛+1 −1) +𝑝𝑝(2^𝑛𝑛+1 −1)

c) En déduire que :(𝐼𝐼 est un nombre parfait ⟺ 𝑝𝑝 = 2^𝑛𝑛+1 −1) 3)

Ecrire le nombre 8128 sous la forme 𝑝𝑝× 2^𝑛𝑛 (𝑝𝑝

un nombre premier ≠ 2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼)

puis déduire qu’il est parfait

On considère un segment [𝐴𝐴𝐴𝐴] de longueur 6 cm, le point 𝐴𝐴 de [𝐴𝐴𝐴𝐴] tel que 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐 et les cercles (C )de diamètre [𝐴𝐴𝐴𝐴] et ^{(C ’’)} de diamètre [𝐴𝐴𝐴𝐴]. Soit ∆ une droite variable passant par 𝐴𝐴 et distincte de (𝐴𝐴𝐴𝐴) qui recoupe (C )en𝐴𝐴′ et ^{(C ’’)} en𝐴𝐴′. (voir figure)

Exercice n°4 (6 points)

1) Montrer que(𝐴𝐴𝐴𝐴^′)∥ (𝐴𝐴𝐴𝐴^′)

2) Soit ℎ l’homothétie de centre 𝐴𝐴 et tel que ℎ(𝐴𝐴) =𝐴𝐴 a) Déterminer le rapport de ℎ

b)Déterminer l’image de 𝐴𝐴′ par ℎ

3) Soit 𝐼𝐼 = (𝐴𝐴𝐴𝐴^′)∩(𝐴𝐴𝐴𝐴^′) et ℎ′ l’homothétie de centre 𝐼𝐼 et tel que ℎ^′(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴′

a) Déterminer ℎ′(𝐴𝐴^′)

b) Déterminer le rapport de ℎ′

4) a) Montrer que 𝐴𝐴𝐼𝐼����⃗ =²₅𝐴𝐴𝐴𝐴�������⃗^′

b)Déterminer et construire l’ensemble des points 𝐼𝐼 lorsque ∆ varie

Bon travail