S E C T IO N M A T H S
4` EME ANN EE ´ L YC EE ´ H AMOUDA P ACHA D EVOIR DE CONTR OLE ˆ # 1
Math ´ ematiques Pr : Ben Fredj s.
Ann ´ ee sc : 2012-2013 Dur ´ ee : 2 h
Exercice 1 .
(4 points). Repondre par vrai ou faux, en justiant la reponse.1 (x
n
) est une suite onvergente et minoree par 1 alors lim
n
→
+x
n
= 1.
2 (a
n
) et (b
n
) les suites denies sur N
∗
par : a
n
= 1
p
n et b
n
= a
n +
n
n +1 sont
adjaentes.
3 (
n
) est une suite monotone telle que, pour tout n 1, 2 1
n
n 3
1
n
alors la
suite (
n
) est onvergente.
Exercice 2 .
(5 points). On onsidere dans C l'equation(E
): z
2
2isin(2)z 1=0
ou est un reel donne.
1 Verier que e 2i
est une solution de (E
) puis deduire la deuxieme solution (On pourra
l'erire sous forme exponentielle).
2 Resoudre dans C l'equation :
(E
′
): z
4
2isin(2)z 2
1=0
ou est un reel donne.(On donnera les solutions sous forme exponentielle)
3 Montrer que les images dans le plan omplexe dessolutions de (E
′
) sont les sommets d'un
retangle.
1
Exercice 3 .
(6 points) Le plan omplexe est rapporte a un repere orthonorme diret(O;
!
u ;
!
v). Pour tout nombre omplexe z dierent de 1, on pose Z = (1 i)
z
1+z
1 On pose z =x+iy ou x;y sont deux reels tels que (x;y)6=( 1;0).
(a) Verier que Im(Z) = x
2
+y 2
+x y
(1+x) 2
+y 2
. (ou Im(Z) designe la partie imaginaire du
omplexe Z).
(b) Determiner et onstruire l'ensemble des points d'aÆxes z pour que Z soit un reel.
2 Soit A le point d'aÆxe 1. On onsidere l'ensemble E des points M d'aÆxe z tel que :
arg
z
1+z
=
4
+k ou k2Z.
(a) Montrer que M 2E si et seulement si, Z est un reel non nul.
(b) Determiner alors E .
3 Soit M
0 et N
0
les points d'aÆxes respetives, z
0 et iz
0 ou z
0
2Cn0; 1
(a) Verier que les droites (ON
0
) et (OM
0
) sont perpendiulaires.
(b) Expliquerommentfaut-ilhoisir le pointM
0
etle point N
0
pourque les veteurs
!
N
0 M
0
et
!
AM
0
soient olineaires .
Exercice 4 .
(5 points). On onsidere la suite (U n) denie par :
U
1
=1 et pour tout n 1, U
n+1
=U
n +
1
U
1 +U
2
+:::+U
n
1 Montrer que pour tout n 1, U
n
>0.
2 Montrer que (U
n
) est roissante.
3 Pour tout n 1, on pose V
n
=U 2
n .
(a) Montrer que pour tout n 1, V
n+1 V
n
2
n
(b) Deduire que pour tout n 1, V
2n V
n 1
() Montrer que (V
n
) n'est pas majoree puis aluler sa limite puis aluler lim
n
→
+U
n .
4 (a) Montrer que pour tout n 1, 1<
U
n+1
U
n
1+ 1
nU
n
(b) Caluler lim
n
→
+U
n+1
U
n
