Devoir de contrôle N°2-Mathématique:4 éme informatique

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Mathématiques

Lycée Ali Bourguiba Bembla

4

^ème

Inf

2

Dimanche 20-02-2011 Durée : 120 minutes Prof :

Chortani Atef

Exercice 1(5 Points)

Onconsidère ( ^u

n

) définie sur N par : { ^u

ⁿ⁺¹

^{u =}

⁰

^{=2 3u 2}

ⁿ

^{u −1}

ⁿ

1) Montrer par récurrence que pour tout n

^¿

IN, on a :

^un≥1

2)a) Montrer que ( ^u

n

) est une suite décroissante.

b) En déduire que la suite (

^un

) est convergente et trouver sa limite.

3 ¿ Soit la suite ( v

_n

) définie sur N par v

_n

= 2 u

_n

−2 2 u

_n

−1 .

a ¿ Montrer que ( ^v

n

) est une suite géométrique de raison 1 2 .

b) Exprimer

^vn

en fonction de

n

. En déduire l’expression de

^un

en fonction de n c) Retrouver alors la limite de la suite ( u

_n

) quand n tends vers +∞

Exercice 2(7,5 Points)

par f

(

x

)

=x²+lnx−1

Soit f la fonction définie sur¿0;+∞¿

Dans la figure annexe ci-jointe (page 3), (φ) est la représentation de la courbe de

f

dans un repère orthonormé

( O , i , ⃗ ⃗ j )

x →0^+¿f

(

x

)

. Interpréter géométriquement ce résultat ∙ 1¿Calculerlim

¿

¿

2 ¿Calculer lim

x →+∞

f ( x )et lim

x →+∞

f ( x )

x . Interpréter géométriquement ce résultat ∙

3) Répondre graphiquement aux questions suivantes

a)Donner le signe de

¿

f

^'

( x ) pour tout x∈ ¿ 0 ;+ ∞¿

b) En déduire le tableau de variation de

f .

c)Déterminer

f (1)

en deduire le signe de

f ( x)

pour tout

¿ x

∈

¿ 0 ;+∞ ¿

Devoir de

contrôle n°2

2

4 ¿ a ¿Calculer f

^'

( x ) pour tout x >0.

b) Montrer que f réalise une bijection de

¿

¿ 0 ;+∞ ¿

dans un intervalle J que l’on précisera c) On note

f

⁻¹ la fonction réciproque de f , montrer que

f

⁻¹ est dérivable sur ℝ 5)a)Ecrire une équation de la tangente (T) à (φ) au point d’abscisse 1.

b) Tracer (T) et ( φ’) la courbe de la fonction f⁻¹ dans la même feuille annexe.

Exercice 3(7 ,5Points)

par f ( x )= √ ^{1+ 1 x}

Soit f la fonctiondéfinie sur ¿ 0; + ∞ ¿

I)On désigne par

(

φ

)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

( O , i , ⃗ ⃗ j ) x → 0

^+¿

f ( x ) Interpréter géométriquement ce résultat ∙

1 ¿ a ¿ Calculer lim

¿

¿

b¿Calculer lim

x→+∞f(x). Interpréter géométriquement ce résultat ∙

, f

^'

( x )= −1

2 x √ ^x

²

^{+ x}

2 ¿ a ¿ Montrer que pout tout x

∈¿

0 ;+ ∞ ¿

b) Dresser le tableau de variation de

f .

II) Dans la suite de l’exercice on vous admet que l’équation f

(

x

)

=x admet dans

¿

¿ 0 ;+∞ ¿

une unique solution α.

1)a)Vérifier que 1.3<α<1.4 et que α=

α

³

−1

b) Construire

( φ) dans≤¿

repère orthonormé

( O , i , ⃗ ⃗ j ) c ¿ Montrer que pour tout x ≥ 1 , | ^f

^'

^{( x)} | ^{≤ 1} ₂

d ¿ En déduire que pour tout x ≥ 1 , | ^f ( x )−α | ^{≤ 1}

2 | x −α |

2¿Soit la suite

(

^un

)

définie sur N par

{

^un+^u1=f⁰⁼¹(un)

a)Montrer que pour tout

n

∈

N , u

_n

≥1

b ¿ Montrer que pour tout n

∈

N , | ^u

n+1

− α | ^{≤ 1} ₂ | ^u

n

−α |

c ¿ En déduire que pour tout entier n

∈

N , | ^u

n

− α | ^≤ ( ¹ 2 )

ⁿ

3

d ¿ Calculer lim

n →+∞

u

_n

Annexe

Nom……… ……….Prénom……….

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