Devoir de synthèse n°3 (énoncé et corrigé )-Mathématique:4 éme MATH

(1)

L YC ´ EE H AMOUDA P ACHA LA M ANOUBA D EVOIR DE SYNTH ESE ` # 3

A NN ´ EE SCOLAIRE 2011-2012 Q UATRI ` EME MATHS

2

D UR EE ´ 4 HEURES

Pr : Ben fredj soane

Le sujet omporte 3 pages numerotee de 1 a 3

E XERCICE 1 .

(3 points) QCM Voir feuille annexe (Page 3).

E XERCICE 2 .

(3 points) L'espae est rapporte a un repere orthonorme diret (O;

!

i ;

!

j ;

!

k).

On donne les points :

A(1;0;2);B(0;0;1);C(0; 1;3) et E(0;2;3)

1 (a) Verier que

!

AB^

!

AC =

!

AE

(b) Verier que x 2y z+1=0 est une equation artesienne du plan (ABC).

() Caluler le volume V du tetraedre ABCE

2 Soit h l'homothetie de entre E et de rapport 1

3 .

(a) Montrer que le plan P

′

d'equation x 2y z+5=0 est l'image du plan (ABC) par h.

(b) Determiner la distane du point E au plan P

′

puis deduire l'aire du triangle A

′

B

′

C

′

ou A

′

;B

′

et

C

′

sont les images respetives de A;B et C par h.

E XERCICE 3 .

(4 points) Une entreprise d'autoars dessert une region montagneuse. En hemin, les vehiules peuventetre^ bloques par desinidentsexterieurs omme deshutes depierres,la presene

de troupeau sur la route, et. Un autoar part de son entrep^ot, on note D la variable aleatoire qui

mesure la distane en kilometre que l'autoar va parourir jusqu'a e qu'il survienne un inident. On

admet que D suit une loi exponentiellede parametre = ln2

50 .

On donnera les resultats sous forme exate

1 Caluler la probabilite que la distane parourue sans inident soit :

(a) omprise entre 50 et 100 km;

(b) superieure a 300 km.

2 Sahant que l'autoar a deja parouru 350 kilometres sans inident, quelle est la probabilite qu'il

n'en subisse pas non plus au ours des 25 prohains kilometres?

3 L'entreprisepossede24autoars. Lesdistanesparouruesparhaundesautoarsentrel'entrepot

et le lieu ou survient un inident sont des variables aleatoires deux deux independantes et de meme

loiexponentiellede parametre= ln2

50

. OnnoteX la variablealeatoireegale au nombre d'autoars

n'ayant subi auun inident apres avoirparouru 100 kilometres.

(a) Donner la loi de probabilite de X.

(b) Donner le nombre moyen d'autoars n'ayant subi auun inident apres avoir parouru 100

kilometres.

(2)

E XERCICE 4 .

(4 points) Le plan estrapportea un repere orthonorme(O;

!

i;

!

j ). (Onhoisira2

m omme unite graphique.)

Soit E l'ensemble des points M de oordonnees (x;y) tels que : 3(x+1) 2

+4y 2

=12.

1 (a) Montrer que E est une ellipse que l'on preisera le entre et les sommets.

(b) Construire E .

() Determiner les foyers, les diretries et l'exentriitede E .

2 Soit M un point de E de oordonnees (x;y) tel que la mesure prinipale de l'angle (

!

i ;

!

OM)

appartient a l'intervalle [0;℄.

(a) Demontrer que OM = 1

2

(3 x).

(b) Montrer que OM= 3

2+os

() La droite (OM) reoupe E en M

′

.

Determiner la valeur maximale et la valeur minimale de la distane MM

′

.

E XERCICE 5 .

(6 points) Soit f la fontion denie sur l'intervalle [0;+[ par :

f(x)= x+1

x e

−

1

x

si x>0 et f(0)=0

.

On note (C) la ourbe representativede f dans le plan rapporte un repere orthonorme (O;

!

i ;

!

j ).

1 (a)

Etudier la derivabilitede f a droite en 0. Interpreter graphiquement le resultat obtenu.

(b)

Etudier les variations de f.

() Montrer quef possedeune fontion reiproquef

−

1

denie et ontinue sur un intervalle quel'on

preisera.

(d) Traer(C)et (C

′

)ou(C

′

)estlaourberepresentativedef

−

1

(Onpourrapreiserenpartiulier

la demi tangente a (C

′

) a l'origine).

2 X etant un reel tel que 0<X 1.

(a) Caluler l'integrale G(X)=

Z

1

X tf

′

(t)dt.

On pourra herher une primitive sur l'intervalle ℄0;+[ de la fontion t7 !tf

′

(t).

(b) On pose F(X)=

Z

1

X

f(t)dt. Exprimer F(X)+G(X) a l'aide de X.

() Deduire l'expression de F(X) a l'aide de X.

3 Caluler l'aire de la parie limitee par (C) et (C

′

) et les droites d'equations x=1 et y=1.

4 n etant un entier naturel tel que n 2.

(a) Montrer que l'equation f(x)= 1

possede une solution unique

n

dans l'intervalle ℄0;+[.

(3)

F EUILLE ANNEXE

`

A RENDRE AVEC LA COPIE

Nom :...

Prenom :...

Pour haque question, une seule reponse est exate, les trois parties 1, 2 et 3 sont independantes.

Coher la bonne reponse, auune justiation n'est demandee.

1 Une etude sur la duree du servie a la aisse d'un marhe d'alimentation a donne les resultats

i-ontre.

t 120 240 360 420

p 0;3 0;5 0;66 0;75

p est la proportion de lients servis en une duree inferieure a t (en seondes).

(a) La ovariane du serine statistique (t;p) verie :

(a)

❐

^{ov (t;}^p⁾⁼⁰

(b)

❐

^{ov (t;}^p⁾^>⁰

()

❐

^ov(t;^p⁾^<⁰

(b) On pose f = ln(1 p). Une equation artesienne de la droite de regression de f en t est :

(a)

❐

^f ⁼^0:076 ^0:0035t

(b)

❐

^f ⁼ ^0:076t⁺^0:0035

()

❐

^f ⁼ ^0:076⁺^0:0035t

2 La solution de l'equation dierentielle y

′

+yln2=ln2 ave y(0)=2 est la fontion :

(a)

❐

^y1

:x7!1 2

−

x

(b)

❐

^y2

:x7!1+2 x

()

❐

^y3

:x7!1+2

−

x

3 Le domaine de denition de la fontion x7!ln

x+x 2

x 1

!

est :

(a)

❐

^℄0;^+[

(b)

❐

^℄ ^1;^0[[℄1;^+[

()

❐

^[ ^1;^0[[℄1;^+[

(4)

C ORRIG E DU DEVOIR DE SYNTH ´ ESE ` # 3

A NN ´ EE SCOLAIRE 2011-2012 Q UATRI EME MATHS `

S OLUTION 1.

. 1 (a) Reponse (b)

(b) Reponse ()

2 Reponse ()

3 Reponse (b)

S OLUTION 2.

.

1 (a) On a :

!

AB







1

0

1







^et

!

AC







1







^et ^par ^la ^suite

!

AB^

!

AC







0 1

1 1

0 1







=







1

2

1







d'autre part

!

AE







1

2

1







(b) Les oordonnees de haun des points A;B et C verient l'equation x 2y z+1=0.

() Le volume V du tetraedre ABCE en unite de volume est egal a :

V =

j(

!

AB^

!

AC):

!

AEj

6

= AE

2

6

=1

2 Soit h l'homothetie de entre E et de rapport 1

3 .

(a) L'image d'un plan par une homothetie est un plan qui lui est parallele, alors P

′

est d'equation

:x 2y z+d=0

On note B

′

=h(B) alors:



 



 



x

B

′

⁼

1

3 (x

B x

E )+x

E

=0

y

B

′

⁼ ¹

3 (y

B y

E )+y

E

= 4

3

z

B

′

⁼

1

3 (z

B z

E )+z

E

= 7

3

Comme B

′

2P

′

alors: 0 2 4

3 7

3

+k=0 don k=5.

(b) La distane de E a P

′

notee d, on a : d =

j0 22 3+5j

p

1 2

+2 2

+1 2

= 2

p

6

= p

6

3

(5)

S OLUTION 3.

.

1 (a) p(50D 100)=e

−

50 e

−

100

=e

−

50

×

ln2

50

e

−

100

×

ln2

50

= 1

2 1

4

= 1

4

(b) p(D 300)=e

−

300

×

ln2

50

= 1

64

2 On note les ev enements :

A : l'autoar a deja parours 350 km sans inident, soit A:D 350;

B : l'autoar ne subit auun inident au ours des 25 km prohains,soit B:D 375.

On remarque B A, la probabilite herhee est :

p(BjA)=

p(A\B)

p(A)

= p(B)

p(A)

= e

−

375

e

−

350

=e

−

25

=e

−

ln2

2

= p

2

3 (a) X suit une loi binomiale de parametre n =24 et p =p(D 100)=e

−

100

=e

−

100 ln2

50

= 1

4 .

La loi de X est donnee par :

k un entier de l'intervalle [0;24℄ et p(X =k)=

C

^k

24 1

4

!

k 3

4

!

24

−

k

(b) Le nombre moyen herheest E(X)=24 1

4

=6.

S OLUTION 4.

.

1 (a) M(x;y)2E equivaut

(x+1) 2

4 +

y 2

3

=1 don E est une ellipse de entre ( 1;0), d'axe

foal la droite des absisses puisquea =2>b= p

3 et de sommets :

* prinipaux A( 1;0) et A

′

( 3;0);

* seondaires B( 1;

p

3) et B

′

( 1;

p

3)

(b) L'allure de E .

1 2

1

2

1 1

2 3

b

A

b

A

′

b

B

′

b

B

O

(6)

() On pose : = a 2

b 2

= p

4 3=1.

•

^Les ^foyers ^de Ê ^sont ^les ^points ^de ôordonnêes ^(0;⁰⁾ êt ⁽ ^2;⁰⁾

•

^La ^diretrie âssoiêe âu ^foyer ^(0;⁰⁾ êst ^d'êquation ^x⁼

a 2

1=3;

•

^La ^diretrie âssoiêe âu ^foyer ⁽ ^2;⁰⁾ êst ^d'êquation ^x⁼

a 2

1= 5;

•

d'exentriite e=

a

= 1

2

2 (a) On a : OM =

q

x 2

+y 2

et omme M(x;y)2E alors y 2

=3 3

4

(x+1) 2

.

OM 2

=x 2

+y 2

=x 2

+3 3

4

(x+1) 2

=

(3 x) 2

4

D'autre part x2[ 3;1℄ don 3 x>0 et par la suite OM= 3 x

2

(b) M 2E alors x=OMos d'ou OM =

3 OMos

2

... don OM= 3

2+os

() Soit

′

la mesure prinipale de l'angle (

!

i;

!

OM

′

) et omme O appartient au segment [MM

′

℄,

alors

′

= et omme M

′

2E alors OM

′

= 3

2+os

′

⁼

3

2 os .

D'autre part MM

′

=OM+OM

′

= 3

2+os +

3

2 os

=

12

4 os 2

.

MM

′

est maximale (respetivement minimale) si et seulement si 4 os 2

est minimale (re-

spetivement maximale).

La derivee de x7!4 os 2

est x7!2osxsinx d'ou :

4 os 2

max en

2

d'ou MM

′

min en

2

don MM

′

min

=

12

4 os 2

2

=3.

4 os 2

min en 0 ou d'ou MM

′

max en 0 ou don MM

′

max

=

12

4 os 2

0

=4.

S OLUTION 5.

.

1 (a) Pour x>0,

f(x) f(0)

x 0

= x+1

x 2

e

−

¹

x

= 1

x e

−

¹

x

+ 1

x 2

e

−

¹

x

En posant X = 1

x

alors , si x tend vers 0 +

alors X tend vers d'ou :

lim

x

→

0 +

f(x) f(0)

x 0

= lim

X

→−

X

2

e X

Xe X

=0

.

f est derivablea droite en 0 et (C) admet une demi tangente parallele a l'axe des absisses au

point d'absisse 0.

(b)

•

^Branhes^innies^: ^lim

x

→

+

f(x)= lim

x

→

+

x+1

x e

−

¹

x

=11=1, la droite d'equation y=1

est une asymptote a (C) au voisinage de +.

(7)

(d) Courbe (C) et (C

′

).

La ourbe (C

′

) admet une demi tangente parallele a l'axe des ordonnees a l'origine.

1 2 3 4 5 6

2 X etant un reel de l'intervalle ℄0;1℄, les fontions t 7! tf

′

(t) et t 7! f(t) sont ontinues sur tous

intervalle inlus dans ℄0;+[.

(a) G(X)=

Z

1

X 1

t 2

e

−

¹

t

dt=

Z

1

X

¹

t

′

e

−

¹

t

=

"

e

−

¹

x

#

1

X

=e

−

1 e

−

¹

x

(1).

(b) F(X)+G(X)=

Z

1

X

f(t)+tf

′

(t)

dt=

Z

1

X

tf(t)

′

dt=

"

tf(t)

#

1

X

=f(1) Xf(X) (2)

() (1) et (2) donnent : F(X)=e

−

1 Xe

−

¹

X

3 En unite d'aire, l'aire demandee est :

A=1 2

Z

1

0

f(t)dt l'aire du arre de ote 1 moins deux fois l'aire du domaine limite par (C) et les

droites d'equations x=0;y=0 et x=1.

d'autre part

Z

1

0

f(t)dt= lim

X

→

0 +

F(X)= lim

X

→

0 +

e

−

1 Xe

−

¹

X

don A=1 2e

−

1 .

4 (a) f est unebijetionde [0;+[ sur [0;1[ et omme pourtout entier n 2, 1

n

appartient a℄0;1[

alors l'equation f(x)= 1

n

admet une solution unie

n

dans ℄0;+[ et on a :

n

=f

−

1

n

.

(b) pour tout entier n 2, on a :

n+1

n

=f

−

1

n+1

f

−

1

n

Comme f

−

1

est roissante sur [0;1[ et omme 1

n+1

<

1

n

alors

n+1

n

<0 et par la suite

(

n

) est deroissante.

(

n

) est deroissante et minoree par 0 alors elle onverge.

() lim

n

→

+

n

= lim

n

→

+

f

−

1

n

=f

−

1

(0)=0 puisque f

−

1

est ontinue a droite en 0.

(d) Soit n un entier tel que n 2, omme f(

n )=

1

n alors

1+ 1

n

e

−

¹

n

= 1

n

d'ou :

n

lnn =1

n ln

1+ 1

n

=1

n

ln(1+

n )+

n ln(

n )

Comme

n

tend vers 0 lorsque n tend vers + alors lim

n

→

+

n

ln(n)=1.