Sujet de révision N°1 (énoncé et corrigé )-Mathématique:4 éme MATH

R´ EVISION 2011-2012 B AC MATHS

MATH EMATIQUES ´ S UJET # 1

Pr : Ben fredj soane

1 E NONC E ´

E XERCICE 1.

Le plan omplexe est rapporte a un repere orthonorme (O;

!

e

1

;

!

e

2

). On onsidere les points M, N et P

d'aÆxes respetives:

z,

2+z z

2

et 1+iz.

Soit la droite d'equation x=1.

1 Montrer que P est l'imagede M par une rotation d'angle

2

que l'on preisera le entre.

2 Montrer que N est le projete orthogonal du pointM sur la droite .

3 Soit P l'ensembledes points M d'aÆxe z telle que les pointsO;N et P soient alignes.

(a) Donner uneequation artesienne de P .

(b) Montrerque P est uneparabole que l'on preiserale sommet, le foyer et la diretrie.

() N etant un point donne sur ,donner un proede de onstrution du point M de P .

Voir solution

E XERCICE 2.

Pour tout n 2N, on pose :

U

n

=2 n

+3 n

+6 n

1.

1 Montrer que pour tout n 2N, U

n

est pair.

2 Montrer que pour tout n 2N

∗

, U

2n

0 mod4

!

.

3 Soit E l'ensembledes des entiers naturels premiers qui divisent au moins un terme de la suite (U

n ).

Soit p unentier premier telque p >3.

(a) Montrerque 62 p

−

²

3 modp

!

et 63 p

−

²

2 modp

!

.

(b) En deduire que6U

p

−

^{2 0 modp}

!

.

() Le nombre p appartient-il a E?

Voir solution

E XERCICE 3.

Uneentreprised'autoarsdessertuneregionmontagneuse. Enhemin,les vehiulespeuventetre^ bloquespar

desinidents exterieursommedeshutesdepierres, lapresenedetroupeausur laroute, et. Un autoarpart

de son entrep^ot, on note D la variable aleatoire qui mesure la distane en kilometre que l'autoar va parourir

jusqu'a e qu'ilsurvienne un inident.Onadmet que Dsuitune loi exponentielle de parametre = 1

82 .

1 Caluler la probabilite que la distane parourue sansinident soit:

(a) ompriseentre 50 et 100 km;

(b) superieure a 300 km.

2 Sahantquel'autoaradejaparouru350kilometressansinident, quelleest laprobabilitequ'iln'ensubisse

pas non plus au ours des 25 prohains kilometres?

3 L'entreprise possede n autoars. Les distanes parourues par haun des autoars entre l'entrepot et le

lieuousurvientuninidentsontdesvariablesaleatoiresdeux deuxindependantesetdememeloiexponentielle

de parametre = 1

82 .

detant unreelpositif,onnoteX

d

lavariablealeatoireegale aunombred'autoarsn'ayantsubiauuninident

apres avoir parouru d kilometres.

(a) Donner la loi de probabilite de X

d .

(b) Donner le nombre moyen d'autoars n'ayant subi auun inident apres avoir parouru d kilometres.

Voir solution

E XERCICE 4.

n etant entier naturel tel que n 2. Pour tout reel x>0, on pose : F

n (x)=

Z

x

1 e

t

t n

dt.

1 (a) Montrerque F

n

est derivable sur ℄0;+[ puis aluler F

′

n

(x) pour x>0.

(b)

Etudier le sens de variations de F

n .

() x;t sont deux reels tels que 1tx. Montrerque : e

t

x n

F

′

n (t).

puis deduire que pour tout reel x 1, e

x

e

x n

F

n (x)

Caluler alors lim

x

→

^+

F

n

(x) puis lim

x

→

^+

F

n (x)

x .

(d) x;t sont deux reels tels que 0<xt1.

Montrerque 1

t

e t

t n

puis deduire que pour tout reel x 2℄0;1℄, on a : F

n

(x)lnx.

Caluler alors lim

x

→

⁰⁺

F

n (x).

2 Pour tout entier n 2, on pose U

n

=F

n (2).

(a) Montrerque pour toutn 2, 0U

n

e 2

n 1

puis aluler lim

n

→

^+

U

n .

(b) A l'aided'une integration par parties montrer que pour tout n 2, on a :

U

n nU

n+1

= e

2

2 n

e

() Caluler lim

n

→

^+

nU

n .

Voir solution

2 C ORRIG E ´

S OLUTION 1.

1 L'eritureomplexe de l'aÆxe du point P a l'aidede l'aÆxe du point M ou

z

P

=e i

2

z

M +i

montrer queP est l'imagedeM par larotation rd'angle

2

et deentrele point Ad'aÆxe z

A

= i

1 i

=

1

2 +

1

2 i.

2 On erit z=x+iy ou x;y sont deux reels, alors :

z

N

=

2+2iy

2

=1+iy

omme Re(z

N

)=1 alorsN 2.(La droite perpendiulaire a la droite desreels)

D'autre part, z

M z

N

=

2z 2 z z

2

=

z+z 2

2

don z

M z

N

est un reel et par la suite (MN)

est perpendiulaire a

3 (a) En posant z=x+iy ou x;y sont desreels, alors :

z

N

=1+iy alors

!

ON







1

y







^{, et zP =1+iz=1+i(x+iy)=1 y+ix, soit}

!

OP







1 y

x







O;M et N sont alignes si et seulement si, det(

!

ON;

!

OM)=0 si et seulement si :

x y(1 y)=0

(b) M(x;y) 2P signie x y(1 y)=0 signie y 1

2

!

2

= x+

1

2

!

.

P estalorsla paraboledesommetS 1

4

; 1

2

!

deparametrep = 1

2

,defoyerF 0;

1

2

!

etdediretrie

la droite d'equation x= 1

2 .

() L'image de la droite (ON) par r

−

¹

oupe la perpendiulaire a menee en N, en unpoint M de P .

4 Proede de onstrution anime :

Retour 1

1

2

1 1

2 3

b

O

b

A

b

^N

S OLUTION 2.

1 On a U

0

=2 d'ou U

0

est pair.

Pour tout n 1, on a :



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 0 mod2

!

2 0 mod2

!

3 1 mod2

!

d'ou



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 n

0 mod2

!

2 n

0 mod2

!

3 n

1 mod2

!

et par la suite :

2 n

+3 n

+6 n

1 mod2

!

don U

n

0 mod2

!

.

2 Pour tout n 1, on a : U

2n

=2 2n

+3 2n

+6 2n

1=4 n

+9 n

+36 n

1.

Comme



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 n

0 mod4

!

9 n

1 mod4

!

36 n

0 mod4

!

alors4 n

+9 n

+36 n

1 mod4

!

don U

2n

0 mod4

!

.

3 p un entier premier telque p >3.

(a) Comme 62 p

−

²

=32 p

−

¹

et d'apres le petit theoreme de Fermat:

2 p

−

¹

1 modp

!

d'ou 32 p

−

¹

3 modp

!

don 62 p

−

²

3 modp

!

De m^eme 63 p

−

²

=23 p

−

¹

don 63 p

−

²

2 modp

!

.

(b) 6U

p

−

^{2 =62}

p

−

²

+63 p

−

²

+66 p

−

²

6.

Comme 62 p

−

²

3 modp

!

et 63 p

−

²

2 modp

!

alors :

62 p

−

²

+63 p

−

²

5 modp

!

(1)

et 62 p

−

²

63 p

−

²

6 modp

!

d'ou 66 p

−

¹

6 modp

!

et omme p ne divise pas 6

( p premier et dierent de2 et de 3) alors 6 p

−

¹

1 modp

!

don :

66 p

−

²

1 modp

!

(2)

d'apres (1) et (2) on peut onlure : 62 p

−

²

+63 p

−

²

+66 p

−

²

6 modp

!

et par la

suite 6U

p

−

^{2 0 modp}

!

() 6U

p

−

^{2 0 modp}

!

et p >3 ave p premier alors U

p

−

^{2 0 modp}

!

donp 2E.

Retour

S OLUTION 3.

1 (a) p(50D 100)=e

−

⁵⁰

e

−

¹⁰⁰

'0:25.

(b) p(D 100)=e

−

¹⁰⁰

'0:3

2 On note A:=D 350 et B:=350D 375 alors B est inlus dans Ad'ou A\B=B.

Soit : p

AjB

= p(B)

p(A)

=1 e

−

²⁵

'0:26

3 (a) X

d

suitla loibinomiale de parametre n et p =p(X

d

d)=e

−

^d

.

Pour tout entier k telque 0kn, p(X

d

=k)=C k

n e

−

^kd

1 e

−

^d

n

−

^k

(b) Le nombre moyen d'autoars n'ayant subi auun inident apres avoir parouru d kilometres est egal a

l'esperane mathematique de X

d

'est a dire ne

−

^d

.

Retour

S OLUTION 4.

1 (a) n etant un entiertelque n >0. F

n

est derivable sur℄0;+[ ommeetant laprimitivesur ℄0;+[

qui s'annule en 1, de la fontion t:7!

e t

t n

ontinue sur et intervalle.

Pour tout reel x>0, F

′

n (x)=

e x

x n

(b) Pour tout reel x>0, F

′

n

(x)>0 alors F

n

est stritementroissante sur ℄0;+[.

() Pour 1tx, on a : e

t

x n

e t

t n

=e t

t n

x n

x n

t n

!

Comme 1tx d'ou t n

x n

d'ou e

t

x n

e t

t n

0 don e

t

x n

F

′

n (t).

(d) La ontinuite des fontions sur l'intervalle [1;x℄ permetde onlure que :

Z

x

1 e

t

x n

dt F

n (x)

1

x n

"

e t

#

^x

1

F

n (x)

e x

1

x n

F

n (x)

(e) Pour tout reel x>1, F

n (x)

e x

1

x n

et lim

x

→

^+

e x

1

x n

=+ d'ou lim

x

→

^+

F

n

(x)=+.

Pour tout reel x>1, F

n (x)

x

e x

1

x n+1

et lim

x

→

^+

e x

1

x n+1

=+ d'ou lim

x

→

^+

F

n (x)

x

=+.

(f) Pour 0<xt1, on a e

t

t n

1

t

=e t

1 t n

−

¹

t n

!

0.

En integrant sur l'intervalle [x;1℄(La ontinuite est evidente) alors :

Z

1

x dt

t

F

n

(x) d'ou

F

n

(x)lnx.

Comme lim

x

→

⁰⁺

lnx= et F

n

(x)lnx pour x 2℄0;1℄ alors lim

x

→

⁰⁺

F

n

(x)= .

(a) On a 1 t 2 d'ou 0 e

t

t n

e

2

t n

d'ou 0 U

n e

2

Z

2

1 dt

t n

(Toutes les fontions integrees sont

ontinue sur [1;2℄).

D'autre part

Z

2

1 dt

t n

=

"

1

(n 1)t n

−

¹

#

2

1

= 1

n 1 1

1

2 n

−

¹

!

1

n 1

Don pour toutn 2, 0U

n

e 2

n 1

et omme lim

n

→

^+

e 2

n 1

=0 alors lim

n

→

^+

U

n

=0.

(b) Les fontions t 7! e t

et t 7!

1

t n

sont derivables sur [1;2℄ et leurs derivees sont ontinues sur et

intervalle, le theoreme d'integration par parties donne:

Z

2

1 e

t

1

t n

dt =

Z

2

1 e

t

! ′

1

t n

dt=

"

e t

t n

#

2

1 +n

Z

2

1 e

t

t n+1

dt d'ou U

n

= e

2

2 n

e+nU

n+1

() Pour tout n 3, on a : U

n

−

¹⁼

e 2

2

n

−

^{1 e+(n 1)Un d'ou nUn =Un}

−

^1+Un

e 2

2

n

−

^{1 +e.}

Comme lim

n

→

^+

U

n

= lim

n

→

^+

U

n

−

^{1 =0 et lim}

n

→

^+

e 2

2

n

−

^{1 =0 don} n

→

^lim+

nU

n

=e..

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