Devoir de synthèse n°2 (énoncé et corrigé )-Mathématique:4 éme MATH

H A M M O U D A P.

L YC EE ´

D EVOIR DE SYNTH ESE ` # 2.

A NN EE SCOLAIRE ´ 2011 2012

Pr : Ben fredj sofiane

Le devoir dure 4 heures. Les alulatries sont autorisees, mais :

l'ehange de tout materiel est interdit

Les brouillons ne sont pas aeptes dans les opies. Une opie non soignee sera san-

tionnee.

E XERCICE 1 ⁽

^{4 points}

^).

^.

1 On onsidere l'equation (E) :4x 5y= 1. Resoudre dans Z 2

, l'equation (E), en remarquant que ( 1; 1)

est une solutionpartiuliere de (E).

2 On pose a=4n +3 et b=3n +1 ou n est un entier naturel et soit d=a^b

(a) Determinerles valeurs possibles ded.

(b) Montrer que d=5 si et seulement si, n 3(mod5).

() Determinersuivant les valeurs de l'entier n, les restesmodulo 5 de 2 n

.

(d) Determinerle plus petit entier n >2012 tels que :

 



a^b=5

2 a

+3 b

0(mod5)

E XERCICE 2 ⁽

^{5 points}

^).

^{ABC est un triangle isoele en A tel que :}

∧

(

!

AB;

!

AC) 2

3 [2℄.

Soit I le milieu du segment [BC℄ et J le projete orthogonal de B sur (AC). Soit s la similitude indirete de

entreC telle que s(A)=B.

1 Montrer que le rapport de s est p

3, puis preiser son l'axe.

2 Soit B

′

=s(B).

(a) Preiserla natureet les elements arateristiques de sÆs.

(b) En deduire que

!

CB

′

=3

!

CA. Construire B

′

.

() Montrer que BB

′

=BC puis deduire que s(I)=J.

3 On muni le plan par le repere orthonorme diret (A;

!

AB;

!

u ) et soits

′

la transformationdu plandans luim^eme

qui a toutpoint M d'aÆxe ˆz assoie le point M

′

d'aÆxe ˆz

′

= i p

3ˆz+1.

(a) Donner sous forme exponentielle puis sous forme rtesienne, l'aÆxe de C.

(b) Montrer que s

′

(C)=C et s

′

(A)=B puis deduire la natureet les elements arateristiques de s

′

.

() Donnerlanatureetles elementsarateristiquesdes

′

ÆS

(BC) ouS

(BC)

estlasymetrie orthogonaled'axe

(BC).

E XERCICE 3 ⁽

^{7 points}

^).

^{. Soit f la fontion denie par :}

f(0)=0 et pour tout reel x 6=0, f(x)= x

1+xln x

On note C la ourbe representative de f dans le plan rapporte a un repere orthonorme (O;

!

i;

!

j ).

Etudier le sens de variation de g puis deduire son signe pour x >0.

2 (a) Montrer que f est denie sur [0;+[

(b)

Etudier la derivabilite de f a droite en 0 puis interpreter graphiquement le resultat obtenu.

() Montrer que f

′

(x) est de signe de 1 x puis etudier les variations de f.

Etudier la position relative de C par rapport a la droite D d'equation y=x.

(d) TraerD et C . (unite graphique est 2 m)

3 Soit 'la restrition de f sur l'intervalle [0;1℄.

(a) Montrer que 'possede une fontion reiproque '

−

1

denie sur un intervalle J que l'on preisera.

(b)

Etudier la derivabilite de '

−

1 .

() Traerla ourbe de '

−

1

4 Soit u un reel de l'intervalle℄0;1℄. Onpose A (u)=

Z

1

u

f(t)dt+

Z

1

f(u) '

−

1 (t)dt

(a) Interpreter graphiquement le nombre A (u)

(b) Caluler lim

u

→

0 +

A (u)

5 On onsidere la suite (U

n

) denie par U

0

= 1

2

et pour tout entier n 0 U

n+1

=f(U

n ).

(a) Montrer que pour tout n 1, 0<U

n 1.

(b) Montrer que la suite (U

n

) est onvergente.

() Caluler lim

n

→

+

U

n .

(d) Montrer que lim

n

→

+

U

0 U

1

:::U

n

!

= 1

e

(e) Pour tout entier naturel n, On note V

n

la valeur moyenne de f sur l'intervalle [U

n

;U

n+1

℄. Caluler

lim

n

→

+

V

n .

E XERCICE 4 ⁽

^{4 points}

^).

^{Le plan est rapporte a un repere orthonorme (O;!i ;!j ).}

Dans la gure donnee (voir feuille annexe), on donner la ourbe (C) representative de la fontion

F :x7!

x 2

1

4

1

2 ln x.

On note le erle de entreO et de rayon et de rayon 1.

Pour tout reel t > 0, on note M le point de (C) d'absisse t et soit H son projete orthogonal sur l'axe des

absisses et soit A le point de oordonnees (0;1). Soit K le seond point d'intersetionde (AH) et le erle .

1 Montrer que les oordonnees de K sont 2t

t 2

+1

; t

2

1

t 2

+1

!

2 (a) Montrer que (OK) est parallele au tangente T

t

a (C) au pointd'absisse t.

(b) Donner un proede de onstrution geometrique de la tangente T

2

a (C) au pointd'absisse 2.

() Construire T

2

3 Determiner toutes les fontion G derivable sur ℄1;+[ dont la tangente a leurs ourbes representatives au

point d'absisse t soit perpendiulaire a (OK) ou K est le seond point d'intersetion du erle et (AH) ou

F EUILLE ANNEXE

Nom :...

Prenom:...

1 2 3

1 2 3

x y

O

b

A

b

M

b

H t

b

K

C ORRIG E ´

S OLUTIONS 1 ^.

^{1 4x 5y=4( 1) 5( 1)d'ou 4(x+1)=5(y+1)et omme4^5=1 alors 4}

divise y+1 don y=4k 1 ou k2Z.

y+1=4k ou k2Zet 4(x+1)=5(y+1) d'ou 4(x 1)=54k ou k2Z donx =5k 1 ouk2Z.

Reiproquement : 4(5k 1) 5(4k 1)= 4+5=1. Don S

Z 2

=

(

(5k 1;4k 1); ou k2Z

)

.

2 (a) dja et djb alorsdj5a 4b alorsdj5 don d=1 ou d=5.

(b) i.

′′

=)

′′

. Supposons que d=5 alors 5j4n +3 et 5j3n+1 alors 5 divise 4n +3 (3n +1)alors d

divise n +2 d'ou n 2(mod5) don n 3(mod 5).

ii.

′′

(=

′′

. Supposons que n 3(mod 5).

Alors 4n +3 0(mod 5) et 3n +1 0(mod 5) alors 5 divise a et divise b alors 5 divise d et

omme d2‚1;5ƒdon d=5.

() Nous avons : 2 0

1(mod 5),2 1

2(mod5), 2 2

4(mod 5),2 3

3(mod 5) et 2 4

1(mod 5).

alors :

 

 



 

 

2 n

1( 5) si n 0(4)

2 n

2( 5) si n 1(4)

2 n

4( 5) n 2(4)

2 n

3( 5) n 3(4)

(d) 2 a

+3 b

=816 n

+327 n

.

D'autre part 16 n

1(mod5) et 27 n

2 n

(mod 5)d'ou 2 a

+3 b

3

1+2 n

(mod 5)

2 a

+3 b

0(mod 5)il faut et ilsuÆt 2 n

+1 0(mod5) ilfaut et il suÆt n 2(mod 4)

 



a^b=5

2 a

+3 b

0(mod5)

il faut et il suÆt que n 2(mod4) et n 3(mod 5) et n >2012 signie

que n =4x+2 et 4x 5y=1 et n >2011.

omme x=5k 1 d'ou n =20k 2

n 2013 alors k

2013+2

20

soitk=101 don n

min

=2018.

S OLUTIONS 2 ^.

^{1 Comme s(C)=C et s(A)=B alorsle rapport de s est :}

k= CB

CA

=2 BI

AB

=2os I

d

BA=2os

6

= p

3

l'axe de s porte la bissetrie interieure de l'angle geometrique ACB.

d

2 (a) sÆs est l'homothetie de entre C et de rapport 3.

(b) sÆs(A)=B

′

don

!

CB

′

=3

!

CA.

() s(B) =B

′

et s(A)=B d'ou BB

′

BA

= k et s(C)= C et s(A) =B d'ou BC

AC

= k et omme AB = AC

don BB

′

=BC

CBB

′

est isoele en B et J est le projete orthogonal de B sur (BB

′

) d'ou J est le milieu de [CB

′

℄.

Comme I =CB alorss(I)=CB

′

dons(I)=J.

3 (a) l'aÆxe de C est e i

2

3

puis queAC =1 et

∧

(

!

AB;

!

AC) 2

[2℄.

(b) On a : i p

3e

−

i 2

3

+1= i p

3 1

2 i

p

3

2

!

+1=z

C

don s

′

(C)=C.

et i p

30+1=1 don s

′

(A)=B.

s

′

est une similitude indirete egale a s puisqu'elle onide ave s en deux points distintsA et C.

() L'ensembledespointsd'aÆxee i

ouderitR estunerleC

0

deentreAetpassantparB. L'ensemble

herhe est l'imagede C

0

par s donet ensemble est le erlede entre B et passant par B

′

.

(d) s

′

ÆS

(BC)

est une similitude direte de entre C

( puisque e point est xe par ette

transformation) et de rapport p

3

et omme s

′

Æ S

(BC)

(B) = B

′

et

∧

(

!

CB;

!

CB

′

)

6

[2℄'estl'anglede

ette similitude direte.

b

A

b

^B

b

C

b

I

b

J

b

B

′

S OLUTIONS 3 ⁽

^{7 points}

^).

^.

1 Pour toutreel x>0, g

′

(x)=1+ln x

Les variations de g sont donnees dans le tableau suivant :

x

0

e

−

1

+

1+ln x

0

+

g(x)

1 e

−

1

>0

g possede un minimum absolu stritement positif don pour tout reel x>0, g(x)>0.

2 (a) Pour toutreel x>0, 1+xln x6=0 et f(0)=0 d'ou le resultat.

(b) lim

x

→

0 +

f(x) f(0)

x 0

= 1

1+xln x

=1alorsf estderivableadroiteen0etC possedeunedemitangente

de oeÆient direteur egal a 1.

() Pour toutreel x>0, f

′

(x)=

1 x

(1+xln x) 2

.

lim

x

→

+

f(x)= lim

x

→

+

1

1

x

+ln x

=0 la droite des absisses est une asymptote a C en +.

Le tableau de variations de f est :

x

0 1

+

f

′

(x) 1 +

0

f(x)

0

1

0

Pour toutreel x>0, f(x) x=

x ln x

1+xlnx

Si x2[0;1℄, f(x) x0 d'ou C est au dessous deD.

Si x1, f(x) x0 d'ou C est en dessous de D.

(d) .

1

1 2 3

3 Soit 'la restrition de f sur l'intervalle [0;1℄.

(a) ' est ontinue et stritement roissante sur [0;1℄ alors elle realise une bijetion de [0;1℄ sur

'([0;1℄)=[0;1℄.

(b) ' est derivable et sa derivee ne s'annule pas sur [0;1[,alors'

−

1

est derivable sur '([0;1[)=

[0;1[.

'

−

1

n'est pas derivable a gauhe en 1. (Le symetrique d'une demi tangente horizontale par rapport la

droite d'equation y=x est une demi tangente vertiale.

() Voir gure i-dessus.

4 (a) En unite d'aire

Z

1

u

f(t)dt est l'aire de la partie du plan limitee par C et les droites d'equations x =

u;x=1 et y=0 puisque f est ontinue et positive sur l'intervalle [u;1℄.

Z

1

f(u) '

−

1

(t)dt est l'aire de la partie du plan limitee par et les droites d'equations x =f(u);x =1 et

y=0 puisque '

−

1

est ontinue et positive sur l'intervalle [f(u);1℄.

A (u) est l'aire du arre de ote1 privede l'aire duretangle dedimensions u et f(u).

On a : A (u)=1 uf(u)

(b) lim

u

→

0 +

A (u)=1 en appliquons le dernier resultat.

5 (a) On proede par reurrene :

U

0

= 1

2

d'ou U

0

2℄0;1℄.

Soit n 2N, supposons que U

n

2℄0;1℄ et omme f est stritement roissante sur [0;1℄, alors f(U

n ) 2

℄0;1℄don U

n+1

2℄0;1℄.

Don pour tout n 1, U

n

2℄0;1℄.

(b) Pour toutn,U

n+1 U

n

=f(U

n ) U

n

et ommeU

n

2℄0;1℄alorsf(U

n ) U

n

0 donU

n+1 U

n

() Si ` est la limite de (U

n

) alors ` 2 [0;1℄ et f(`) = ` don ` 2 ‚0;1ƒ et omme pour tout n, U

n

2

don ` =1.

(d) On pourra remarquer que 1

U

n+1 1

U

n

=ln U

n d'ou

1

U

n+1 1

U

0

=ln U

0

:::U

n

!

don lim

n

→

+

U

0

:::U

n

=e

−

1

(e) f est ontinue sur [U

n

;U

n+1

℄ alors il existe W

n 2 [U

n

;U

n+1

℄ tel que V

n

= f(W

n

) omme f est

ontinue en 1 alors lim

n

→

+

V

n

=f(1)=1.

S OLUTIONS 4 ⁽

^{4 points}

^).

^{tetant stritement positif.}

1 On note K(x;y)alors x 2

+y 2

=1 et y=1 x

t

, la solution de e systemeest le ouple 2t

t 2

+1

; t

2

1

t 2

+1

!

.

2 (a) Le oeÆient direteur de la droite (OK) est y

x

= t

2

1

2t .

Pour toutt>0, f

′

(t)= t

2 1

2t

= t

2

1

2t

= y

x

don (OK) et T

t

sont paralleles.

(b) Soit H le point de oordonnees (2;0), la droite (AH) oupe en K alors T

2

est la parallele a (OK)

passant par H.

() Appliquer le proede preedent.

3 (OK) et T

t

sont perpendiulaires si et seulement si les produit de leurs oeÆients direteurs est egal a 1.

Don, pour t>1, G

′

(t)= x

y

= 2t

t 2

1

don G(t)= ln (t 2

1)+C te

.