Devoir de contrôle n°1 (énoncé et corrigé )-Mathématique:4 éme MATH

H A M M O U D A P.

L YC ´ EE

D EVOIR DE SYNTH ` ESE # 1.

4 MATH

2

A NN ´ EE SCOLAIRE 2011 2012

Pr : Ben fredj sofiane

Le devoir dure 3 heures. Les alulatries sont autorisees, mais :

l'ehange de tout materiel est interdit

Lesbrouillons nesont pas aeptesdans lesopies. Une opienonsoigneeserasantionnee.

Le sujet omporte 3 pages numerotees de 1 a 3.

E XERCICE 1 ⁽

^{3 points}

^).

^{RepondreparVRAIouFAUX(Auunejustiationn'estdemandee).}

1 Si lim

x

→−

^

f(x)

x

=1 alors lim

x

→−

^

f(x)= .

2 Si f est ontinue en 1 alors f est derivable en 1.

3 Si f est paire et si f est derivable a droite en 0, alors elle est derivable en 0.

4 ABC est un triangleretangle enA. La transformationt

− →

AB ÆS

(AC)

est unesymetrieglissante.

E XERCICE 2 ⁽

^{5 points}

^).

^{ABC est un triangle equilateral de entre O.}

1 Montrer qu'il existe une unique isometrie ' qui envoie A;B et C respetivement en B;C et A

2 a Montrer que '(O)=O.

b Determiner les images de C;O et A par S

BO

Æ'. Identier l'appliation S

BO Æ'.

Deduire la nature et les elements arateristiques de '.

3 M et M

′

sont deux points variables respetivement sur les segments [AB℄ et [BC℄ tels que

AM =BM

′

.

Montrer que la mediatrie du segment [MM

′

℄ passe par un point xe que l'on preisera.

4 Determiner l'isometrie telle que l'appliation 'Æ envoie B en B, A en C et C en A.

E XERCICE 3 (

^{6 points}

).

^.

1 Pour tous reels x et a de [0;

2

℄ tel que a >0, on pose :

g(x)=sinx x x 3

sina a

a 3

!

(a) Montrer qu'il existe 2℄0;a[ tel que g

′

()=0.

(b) On pose =

a

. Montrer que a sina= a

3

3

1 os(a)

(a) 2

.

(2) lim

a

→

^{0+ a3}

=

6 .

2 On onsidere la fontion f denie sur l'intervalle [0;

2

℄ par :

f(x)= 1

x

osx

sinx

si x2℄0;

2

[ et f(0)=0.

(a) Montrer que pour tout reel x 2℄0;

2

℄, on a :

f(x)

x

= x

sinx

sinx x

x 3

+

1 osx

x 2

!

.

(b) Deduire que f est derivable a droite en 0.

() Montrer que pour tout reel x 2℄0;

2

℄, f

′

(x)= 1

sin 2

x 1

x 2

(d)

Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.

E XERCICE 4 (

^{6 points}

).

^{. Pour tout reel X 2R, on pose P(X) =X3+X. On donne dans}

la gure 1 (voir feuille annexe) la ourbe representative de la fontion P.

1 (a) Montrer que P est stritement roissante sur R.

(b) Montrer que pour tout entier n 1, l'equation P(X) = n possede une solution unique

n

dans l'intervalle ℄0;

p

n[.

() Plaer sur l'axe des absisses les solutions

1

, et

3 .

(d) A l'aide du graphique donner un enadrement d'amplitude 10

−

¹

de

3 .

2 n etant un entier stritement positif.

(a) Verier que : P(

n+1

)=P(

n )+1

(b) Deduire que la suite (

n

) est roissante.

3 Montrer que pour tout n 1,

n

!

2

p

n 1 puis deduire la limite de

n

lorsque n tend

vers +.

4 (a) Montrer que pour tout n 1 , on a :

1

P

′

( n+1

)

n+1

n

1

P

′

( n

) .

(b) Pour tout n 2, onnote B

n

le point de d'absisse

n

et soit H

n

le projete orthogonal

de B

n

sur l'axe des absisses. On note

n

l'aire du triangle OH

n B

n .

Montrer que lim

n

→

^+

n+1

n

=1

F EUILLE ANNEX (1) ` A RENDRE

Prenom : ... ..

1 2 3 4

1 2

( )

D EVOIR DE SYNTH ` ESE # 1.(C ORRIG E ´ )

Pr : Ben fredj sofiane

S OLUTION 1 ⁽

^{3 points}

^).

^.

1 V

2 F

3 F

4 F

S OLUTION 2 ⁽

^{5 points}

^).

^{ABC est un triangle equilateral de entre O.}

1 AB =BC, AC =BA et BC =CA justie l'existene d'une unique isometrie du plan transfor-

mant respetivement A;B et C en B;C et A.

2 a L'image du triangle ABC par l'isometrie ' est ABC, et omme ' onserve le baryentre

alors '(O)=O.

b

•

^SOB

Æ'(C)=S

OB

(A)=C,

•

^{SOBÆ'(O)=SOB(O)=O,}

•

^{SOBÆ'(A)=SOB(B)=B}

'ÆS

OB

(A)6=A alors 'ÆS

OB 6=id.

C;O sontdeux points distintsxes par 'ÆS

OB

don'ÆS

OB

estune symetrieorthogonale

d'axe (OC).

'ÆS

OB

=S

OC

equivaut a '=S

OB ÆS

OC

don ' est une rotation de entre O et d'angle

2

d

(

!

OC;

!

OB)

3 On a : AM ='(A)'(M)=B'(M)=BM

′

et omme '(M)2[BC℄ ar l'image du segment [AB℄

par ' est le segment [BC℄ alors '(M) = M

′

et par la suite la mediatrie du segment [MM

′

℄

passe par le point O.

4 La transformation 'Æ est une rotation ou une symetrie orthogonale ( puisqu'elle possede

un point xe et elle est dierente de id.

Supposons que 'Æ est une rotation alors elle est de entre B et omme 'Æ (A) =C et

'Æ (C)=A alors B est le milieu du segment [AC℄ e qui est ontraditoire.

Don 'Æ =S

OB

et ='

−

¹

ÆS

BO

=S

OC .

S OLUTION 3 (

^{6 points}

).

^.

1 (a) g estderivablesurR enpartiuliersur [0;a℄etommeg(0)=g(a)=0 d'apres letheoreme

de ROLLE, in existe 2℄0;a[ tel que g

′

()=0.

(b) Pour tout reel x, g

′

(x)=osx 1 3x 2

sina a

a 3

!

.

g

′

()=0 equivaut a os 1=3 2

sina a

a 3

!

d'ou

os 1

2

=3

sina a

a 3

!

D'autre part =a d'ou:

os(a) 1

(a) 2

=3

sina a

a 3

!

don a sina= a

3

3

1 os(a)

(a) 2

.

() (1) a2℄0;

2

℄, omme 1 os(a)>0 d'ou a sina <0 don a<sina.

(2) lim

a

→

⁰⁺

a sina

a 3

= lim

a

→

⁰⁺

1

3

1 os(a)

(a) 2

= 1

3

lim

t

→

⁰⁺

1 ost

t 2

= 1

6 .

2 (a) Pour tout reel x2℄0;

2

℄, on a :

x

sinx

sinx x

x 3

+

1 osx

x 2

!

= x

sinx

sinx x

x 3

+

x xosx

x 3

!

= x

sinx

sinx xosx

x 3

!

=

sinx xosx

x 2

sinx

= 1

x

1

x

osx

sinx

!

= f(x)

x

(b) D'apres e qui preede : lim

x

→

⁰⁺

f(x)

x

=1 1

6 +

1

2

!

= 1

3 .

alors f est derivable a droite en 0 don f

′

d (0)=

1

3 .

() f

′

(x)= 1

x 2

sin 2

x os 2

x

sin 2

x

= 1

x 2

+ 1

sin 2

x

= x

2

sin 2

x

sin 2

x

(d) Le signe def

′

(x) esteluide x 2

sin 2

x=(x sinx)(x+sinx) orpourtout reelx2℄0;

2

℄

on a : x 2

sin 2

x>0 (puisque x>sinx dans l'intervalle d'etude) don f

′

(x)<0 et par

la suite f est stritement roissante sur [0;

2

℄.

Le tableau de variation de f est :

x 0

2

f

′

(x) +

2

f(x) %

0

S OLUTION 4 (

^{6 points}

).

^.

1 (a) Pour tout reel x, on a :P

′

(x)=3X 2

+1.

Pou tout reel x, P(X)>0 don P est stritement roissante sur R.

•

^{Q(0)= n <0 et Q( n)=n n + n n =n( n 1)+ n >0.}

•

^{Q est stritement roissante sur [0;}

p

n℄

alors l'equation Q(X) = 0 (et par la suite l'equation P(X) = n) possede une solution

unique

n

dans ℄0;

p

n[.

() Voir gure.

(d) 1:2<

3

<1:3.

2 (a) P(

n+1

) =n +1 et P(

n

) =n d'ou le resultat.

(b) Soit n un entier tel que n 1.

P(

n+1

) >P(

n

) et P est stritement roissante sur R don

n+1

>

n .

3 On a 3

n +

n

=n don (

n )

2

+1= n

n

D'autre part 0 <

n

<

p

n d'ou 0 <

n

n

<

p

n

n

'est a dire 0 <

n

n

<

1

p

n d'ou

n

n

>

p

n

et par la suite (

n )

2

>

p

n 1

lim

n

→

^+

( p

n 1)=+ alors lim

n

→

^+

(

n )

2

=+ et omme

n

>0

don lim

n

→

^+

n

=+.

4 (a) En appliquant le theoreme des aroissement nis :

P est derivable sur l'intervalle [

n

;

n+1

℄ don il existe un reel t2℄

n

;

n+1

[ tel que :

P(

n+1

) P(

n )=(

n+1

n )P

′

(t) d'ou

n+1

n

= 1

P

′

(t) .

Comme t2[

n

;

n+1

℄ alors 1

P

′

( n+1

)

n+1

n

1

P

′

( n

) .

(b) On a

n

= 1

2

n

n et

n+1

n

= n +1

n

n+1

n

D'autre part : 1

P

′

( n+1

)

1

n

n+1

n

1 1

P

′

( n

)

1

n .

P

′

(

n )=3

2

n

+1 d'ou lim

n

→

^+

P

′

(

n

)= lim

n

→

^+

P

′

(

n+1

)=+

don lim

n

→

^+

n+1

n

=1 don lim

n

→

^+

n+1

n

=1.

1 2 3 4

1 2

Figure 1

1

3