Devoir Libre 3 – Mathématiques

DEVOIRLIBRE3 MATHÉMATIQUES

Devoir Libre 3 – Mathématiques

Le corrigé sera disponible le Vendredi 8 Octobre 2021.

Exercice 1

Soit a

R ^{tel que a} .

[2

]. On pose t

tan

a 2

´

. 1. Montrer que cos(a)

1

t

1

t

et sin(a)

2 t 1

t

. Indication : cos(a)

cos

a

2

a 2

´

. 2. On suppose de plus, a .

2 [

]. Montrer que tan(a)

2 t 1

t

.

1. ÏOn a : cos(a)=cos³a 2+a

2

´

=2³ cos³a

2

´´2

−1 Or, 1

cos²=1+tan², donc, cos²= 1

1+tan². D’où, cos(a)= 2

1+¡ tan¡_a

2

¢¢2−1= 2

1+t²−1=1−t² 1+t². ÏOn a :

sin(a)=sin³a 2+a

2

´

=2 sin³a 2

´

×cos³a 2

´ Or, sin=tan×sin.

Donc,

sin(a)=2 tan³a 2

´

׳ cos³a

2

´´2

=2t× 1 1+¡

tan¡_a

2

¢¢2= 2t 1+t². 2. Il suffit d’utiliser tan=sin

coset de calculer le quotient.

Exercice 2

On rappelle que, pour tout

R ^{, cos(}

)

1

cos(2

)

2 .

Montrer que cos

8

´

=

p

2

2

2 , puis, déterminer la valeur de cos

16

´

.

On utilise le rappel avecθ1=π

8. Il vient :

cos³π 8

´2

=

1+cos³π 4

´

2 =1+

p2 2

2 =2+p 2 4 Donc,

¯

¯

¯cos³π 8

´¯

¯

¯=

p2+p 2

2 . Or,θ1∈h 0,π

2

i. Donc, cos(θ1)Ê0.

Donc,

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

MATHÉMATIQUES DEVOIRLIBRE3

cos³π 8

´

=

p2+p 2

2 .

On utilise le rappel avecθ2= π

16. Il vient :

cos³π 16

´2

=

1+cos³π 8

´

2 =1+

p2+p 2 2

2 =2+p

2+p 2 4

Donc,¯

¯

¯cos³π 16

´¯

¯

¯= q

2+p 2+p

2

2 . Or,θ2∈ h

0,π 2 i

. Donc, cos(θ2)Ê0.

Donc,

cos³π 16

´

= q

2+p 2+p

2

2 .

Exercice 3

Étudier la fonction f : x

sin(x) 2

cos(x) .

ÏEnsemble de définition: pour toutx∈R^{, cos(x)}Ê −1, donc, 2+cos(x)Ê1>0.

Donc, f est définie surR^.

ÏRéduction de l’intervalle d’étude: les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques, doncf aussi. On l’étude sur [−π,π].

De plus, f est définie surRun ensemble symétrique par rapport à 0 et, pour toutx∈R^, f(−x)= sin(−x)

2+cos(−x)= − sin(x)

2+cos(x)= −f(x).

Donc, f est impaire. On l’étudie sur [0,π].

ÏLa fonction f est dérivable sur [0,π] et, pour toutx∈[0,π], f⁰(x)=cos(x)ס

2+cos(x)¢

+sin(x)×sin(x)

¡2+cos(x)¢2 = 2 cos(x)+1

¡2+cos(x)¢2. Donc, f⁰(x) est du signe de 2 cos(x)+1. On a :

2 cos(x)+1Ê0 ⇐⇒ cos(x)Ê −1

2 ⇐⇒ x∈

· 0,2π

3

¸

| {z }

Utiliser le cercle trigonométrie.

Attention !x∈[0,π]

.

On en déduit le tableau de variations def : x

f⁰(x)

f

0 2π

3 π

+ 0 −

0 0

p3 3 p3

3

0 0

Le graphe def sur [−π, 0] se déduit du graphe def sur [0,π] par symétrie centrale de centreO.

Le graphe def surRse déduit du graphe de f sur [−π,π] par translations.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

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−π

−2π 3

2π 3

π

− p3

3 p3

3

Graphe dex7→ sin(x) 2+cos(x)

y=f(x)

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC