Mathématique ECS 1 04 oct. 2017
Devoir libre 3.
Exercice 1. On poseA=p 4−2√
3−
√3 + 1
√3−1. Montrer queAest un entier et le déterminer.
Exercice 2. (1) Déterminer les racines carrées dansCde−9−40i.
(2) Résoudre dansCl’équationu4+ 18u2+ 1681 = 0.
(3) On considère l’équation(e) d’inconnue le nombre complexez :
(e) : z3+ (3 + 2i)z2+ (8 + 46i)z+ 24 + 120i= 0
(a) Montrer que(e)admet une solution réelleaque l’on déterminera.
(b) Montrer qu’il existe deux nombres complexesp, q tels que pour tout nombre complexez, z3+ (3 + 2i)z2+ (8 + 46i)z+ 24 + 120i= (z−a)(z2+pz+q) (c) En déduire dansCles solutions de(e)
Exercice 3. On considère la fonctionf définie sur ]0,+∞[ par
f(x) = x2−1 4 −1
2lnx (1) Pour toutx∈]0,1[, calculer
Z 1
x
f(t)dt. En déduire lim
x→1
Z 1
x
f(t)dt.
(2) Soitn∈N, n≥3.Simplifier la somme 1 n
n
X
k=1
f k
n
.
(3) Soitn∈N, n≥3.Montrer que (a) pour toutk∈J1, n−1K
1 nf
k+ 1 n
≤ Z k+1n
k n
f(t)dt≤ 1 nf
k n
(b) puis que
Z 1
1 n
f(t)dt≤ 1 n
n
X
k=1
f k
n
≤ 1 nf(1
n) + Z 1
1 n
f(t)dt
(4) Montrer que lim
n→+∞
1 nln
n!
nn
=−1
Exercice 4(Bonus). Dans cet exercice,ndésigne un entier naturel non nul.
Trois écoles comportent chacunenélèves. Chaque élève possède parmi les deux autres écoles au moinsn+ 1amis. Montrer que l’on peut trouver trois élèves, un dans chaque école, qui sont amis.
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