Devoir Libre 6 – Mathématiques

DEVOIRLIBRE6 MATHÉMATIQUES

Devoir Libre 6 – Mathématiques

Le corrigé sera disponible le Mardi 23 Novembre 2021.

Exercice 1

Soit n

N ^{. On note S}

n

X

k=0 n

X

j=k

2

. 1. Soit k

0,n

. Calculer

n

X

j=k

2

. Attention ! La somme ne commence pas à 0 2. En déduire que S

n

2

1.

3. Montrer que S

n

X

j=0

( j

1)

2

. 4. En déduire que

n

X

k=1

(k

2

)

(n

1)

2

1 5. En déduire l’expression de

n

X

i=1 i+1

X

k=1

k

2

.

1. En utilisant la formule donnant la somme des termes d’une suite géométrique (ne pas oublier le premier terme !), on a :

n

X

j=k

2^j=2^k×2^n−k+1

2−1 =2^kס

2^n−k+1−1¢ . Donc,

n

X

j=k

2^j=2ⁿ⁺¹−2^k.

2. Par la question précédente et la linéarité de la somme, S_n=

n

X

k=0

2ⁿ⁺¹−

n

X

k=0

2^k.

On reconnaît une somme de termes constants et une somme de termes d’une suite géométrique. Donc, Sn=(n+1)×2ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹−1

2−1 =(n+1)×2ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹+1.

Donc, après simplification,

S_n=n×2ⁿ⁺¹+1.

3. En échangeant les symbolesX

, il vient : S_n=

n

X

k=0 n

X

j=k

2^j= X

0ÉkÉjÉn

2^j=

n

X

j=0 j

X

k=0

2^j.

Or, dans la somme

j

X

k=0

2^j,jest fixé, donc,

j

X

k=0

2^j=2^j+ · · · +2^j

| {z }

k+1 fois

=(k+1)×2^j. Ainsi,

S_n=

n

X

j=0

(j+1)×2^j.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

MATHÉMATIQUES DEVOIRLIBRE6

4. On réalise le changement de variablek=j+1 dans la sommeSn−1=

n−1X

j=0

(j+1)×2^j. Il vient :

n−1

X

j=0

(j+1)×2^j=

n

X

k=1

k×2^k−1.

Donc, par la question 2 (avecnremplacé parn−1),

n

X

k=1

k×2^k−1=(n−1)×2ⁿ+1.

Autre rédaction: On réalise le changement de variablek=j+1 dans la sommeS_n=

n

X

j=0

(j+1)×2^j. Il vient :

n

X

j=0

(j+1)×2^j=

n+1X

k=1

k×2^k−1.

Donc, par la question 2,

n×2ⁿ⁺¹+1=

n+1X

k=1

k×2^k−1. Or,

n+1

X

k=1

k×2^k−1=

n

X

k=1

k×2^k−1+(n+1)×2ⁿ Donc,

n×2ⁿ⁺¹+1=

n

X

k=1

k×2^k−1+(n+1)×2ⁿ. D’où,

n

X

k=1

k×2^k−1=n×2ⁿ⁺¹+1−(n+1)×2ⁿ=2n×2ⁿ+1−(n+1)×2ⁿ=2ⁿ×(2n−(n+1))+1=(n−1)×2ⁿ+1

n

X

k=1

k×2^k−1=(n−1)×2ⁿ+1.

5. Par la question précédente (avecnremplacé pari+1),

n

X

i=1 i+1

X

k=1

k×2^k−1=

n

X

i=1

¡i×2ⁱ⁺¹+1¢

=

n

X

i=1

i×2ⁱ⁺¹+

n

X

i=1

1=

n

X

i=1

¡i×2ⁱ⁻¹×2²¢ +n=4

n

X

i=1

i×2ⁱ⁻¹+n.

En appliquant de nouveau la question précédente, il vient :

n

X

i=1 i+1

X

k=1

k×2^k−1=4¡

(n−1)×2ⁿ+1¢

+n=(n−1)×2ⁿ⁺²+n+4.

Exercice 2

Soit n

N

^{. On pose S}

n

X

k=0

Ã

2 n

1 k

!

.

1. À l’aide du changement d’indice j

2 n

1

k, déterminer une autre expression de S

. 2. En déduire la valeur de 2S

, puis celle de S

.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

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Réponse

1. En utilisant le changement de d’indice proposé dans l’énoncé, puis le fait que jest un indice muet, on a : Sn=

2n+1

X

j=n+1

à 2n+1 2n+1−j

!

=

2n+1

X

k=n+1

à 2n+1 2n+1−k

! .

2. On sait que :

à 2n+1 2n+1−k

!

= Ã2n+1

k

! . Donc,

S_n=

2n+1

X

k=n+1

Ã2n+1 k

! . D’où,

2S_n=S_n+S_n=

n

X

k=0

Ã2n+1 k

! +

2n+1

X

k=n+1

Ã2n+1 k

!

=

2n+1

X

k=0

Ã2n+1 k

!

=

2n+1

X

k=0

Ã2n+1 k

!

×1^k×1^2n+1−k. Donc, par la formule du binôme de Newton, on a :

2S_n=2²ⁿ⁺¹. Ainsi,

S_n=2²ⁿ.

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC