DEVOIRLIBRE7 MATHÉMATIQUES
Devoir Libre 7 – Mathématiques
Le corrigé sera disponible le Mardi 30 Novembre 2021.
Exercice 1
SoitEun ensemble, etAetBdeux sous-ensembles deE. On pose A∆B=(A\B)∪(B\A) la différence symétrique entreAetB.
1. Dans cette question uniquement, on suppose queE={1, 2, 3, 4}, A={1, 2} etB={1, 3}. DéterminerA∆Bdans ce cas.
2. A l’aide d’un diagramme de Venn, représenterA∆B.
3. Montrer que :
(a) ∀(A,B)∈P(E)×P(E),A∆B=B∆A, A∆; =AetA∆A= ;, (b) ∀(A,B)∈P(E)×P(E),A∆B=A∆B,
(c) ∀(A,B,C)∈P(E)×P(E)×P(E),A∆B=A∆C⇐⇒B=C.
Exercice 2 : suite de Fibonacci et arithmétique
On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par :
u0=0 u1=1
∀n∈N,un+2=un+1+un. 1. Montrer que, pour toutn∈N?,un+1×un−1−u2n=(−1)n.
2. En déduire que, pour toutn∈N?,unetun+1 sont premiers entre eux.
3. Montrer que, pour toutn∈Netm∈N?,un+m=um×un+1+um−1×un.
4. En déduire que,un∧un+m=un∧umetun∧um=un∧uroùrest le reste de la division euclidienne parmden.
5. En déduire que, pour tout (n,m)∈N×N?,un∧um=um∧n.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
