Devoir en temps Libre 2 pour le Lundi 7 octobre 2019
Problème :
Préliminaires :
1. On veut montrer que sin∈Nn’est pas un carré parfait (le carré d’un entier naturel), alors√ nest irrationnel. On suppose par l’absurde que√
n=a
b aveca∧b= 1. a. Justifier l’existence d’un nombre premierpdivisantb. b. Montrer quepdivisea2puis que pdiviseaet conclure.
2. Soitpun nombre premier etk∈[1, p−1]. a. En étudiantk!(p−k)!
Çp k å
, montrer quepdivise le coefficient binomial Çp
k å
. b. En déduire que :
∀(a, b)∈Z2,(a+b)p≡ap+bp modp.
3. On dit quedest un carré dansZ/pZsi et seulement si l’équation(xmodp)2=dmodpadmet au moins une solution dansZ/pZ.
a. Enumérer les carrés deZ/11Zpuis ceux deZ/17Z.
b. Vérifier que 2 est un carré dansZ/17Zmais pas dans Z/11Zpuis que 3 est carré dansZ/11Z mais pas dansZ/17Z.
4. Soitn>2. Montrer que
n−1
X
k=0
exp(2ikπ n ) = 0.
Partie 1 :
Soitδun nombre complexe fixé. On noteAδ l’ensemble des sous-anneaux de(C,+,×)contenantδet on définitZ[δ] = \
A∈Aδ
A.
1. a. Montrer queZ[δ]est un sous-anneau de(C,+,×).
b. Montrer que siB est un sous-anneau de(C,+,×)contenantδ, alorsZ[δ]⊂B. On vient de montrer queZ[δ]est le plus petit sous-anneau de(C,+,×)contenantδ.
2. a. Que dire de Z[δ]lorsqueδ∈Z?
b. Montrer que Z[δ] = {P(δ)|P ∈ Z[X]}, où Z[X] est l’ensemble des polynômes à coefficients entiers.
c. L’écriture d’un élémenta∈Z[δ] sous la formeP(δ)est-elle unique en général (on pourra par exemple envisager le cas δ=i) ?
Soit alors un entierppremier et impair.
On définit surZ[δ]la relation suivante dite de congruence modulo pet notéeRp :
∀(a, b)∈Z[δ]2, aRpbsietseulementsi∃c∈Z[δ], a−b=pc.
3. a. Montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence.
On note alorsZ[δ]/(p)l’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation de congruence modulop et on note x˙ ∈Z[δ]/(p)la classe dex∈Z[δ]pour cette relation d’équivalence.
b. Définir des lois+p et×p surZ[δ]/(p)telles que 1
• le triplet(Z[δ]/(p),+p,×p)soit un anneau,
• l’application φ: Z[δ] → Z[δ]/(p) définie parφ(a) = ˙a soit un morphisme surjectif d’an- neaux.
Dans la suite du problème, les lois+pet×pdeZ[δ]/(p)seront simplement notées+et×. On fait remarquer qu’en s’inspirant de la question2. des préliminaires, on peut démontrer que :
∀( ˙a,b)˙ ∈(Z[δ]/(p))2,( ˙a+ ˙b)p= ˙ap+ ˙bp.
Partie 2 :
On suppose dans cette partie que le nombre complexeδ vérifie les conditionsδ /∈Z et δ2∈Z. On note d=δ2. L’anneauZ[δ]est donc un anneau minimal dans lequeldadmet une racine carrée.
L’entierpest toujours premier et impair.
L’anneauZ[δ]/(p)peut alors être assimilé à un anneau modulopauquel on a ajouté une racine ded. Lorsquea∈C,adésigne le conjugué deadansC.
1. Montrer queZ[δ] ={n+δm|(n, m)∈Z2}.
2. Montrer que la décomposition d’un élémenta∈Z[δ]sous la formea=n+δmavec(n, m)∈Z2est unique. On pourra distinguer deux cas selon qued <0etd >0.
On suppose toujoursppremier impair et on suppose que d∧p= 1. 3. Montrer que∀a˙ ∈Z[δ]/(p),a˙2= 0⇒a= 0.
Pour touta∈Z[δ], sia=n+δm, on noteac=n−δmet N(a) =a×ac. 4. Montrer que pour touta∈Z[δ],N(a)∈Z.
5. Montrer queaest inversible dans Z[δ]/(p)si et seulement sipne divise pasN(a)dansZ.
6. Montrer que sidn’est pas un carré dans Z/pZ, alorsZ[δ]/(p)est un corps.
Partie 3 :
Le but de cette partie est de chercher à quelle(s) condition(s),(−1), 2 et 3 sont des carrés dansZ/pZen discutant de la classe de congruence depmodulo 4, modulo 8 ou modulo 12. Les résultats obtenus dans cette partie sont des cas particuliers d’un théorème plus général démontré dans la partie 4.
On considère l’application : q:
® ((Z/pZ)∗,×) → ((Z/pZ)∗,×) (xmodp 7→ (xmodp)2 1. Montrer queq est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau.
2. Montrer que
Card((Z/pZ)∗) =Card(Kerq)·Card(Imq).
3. En déduire qu’il y a exactement p−1
2 carrés non nuls dansZ/pZ.
4. Montrer que
∀x∈Z, x∧p= 1⇒xϕ(p)≡1modp.
(on précisera la valeur deϕ(p)).
5. En déduire que x(p−1)/2 est congru à 1 ou(−1) modulop. 6. Par un argument d’inclusion et de cardinalité, en déduire que :
x(p−1)/2≡1modpsietseulementsi(xmodp)est un carré non nul deZ/pZ. 2
7. a. Montrer que(−1)est un carré dansZ/pZsi et seulement sipest congru à 1 modulo 4.
b. Retrouver que 2 est un carré modulo 17 mais pas modulo 11 en calculant 2(p−1)/2 modulop pour p= 11puisp= 17.
Soient des entiersnet n0 non divisibles parp.
8. Montrer que :
— sinet n0 sont des carrés deZ/pZ, alorsnn0 l’est aussi.
— si n est un carré de Z/pZ et n0 n’est pas un carré de Z/pZ, alorsnn0 n’est pas un carré de Z/pZ.
— sinet n0 ne sont pas des carrés deZ/pZ, alorsnn0 l’est.
9. Soitj= exp(2iπ
3 ). On suppose en plusp6= 3.
a. Montrer quej est inversible dans Z[j]/(p). On poseb=j−j−1, élément deZ[j]/(p). b. Calculerb2et en déduire que (−3)est un carré de Z/pZsi et seulement sibp=b.
c. Exprimerbpen fonction dejpet j−pet en déduire une condition nécessaire et suffisante surp pour que(−3)soit un carré deZ/pZ.
d. À l’aide de la question8., en déduire que :
3est un carré deZ/pZsietseulementsip=±1mod12.
10. Soitω= exp(iπ
4), vu comme élément deZ[ω]/(p). En adaptant la preuve précédente et en considé- rantb=ω+ω−1, montrer que 2 est un carré deZ/pZsi et seulement sip=±1 mod8.
Partie 4 :
Le nombrepest toujours un nombre premier impair.
On définit la fonction de LegendreLp:Z→ {−1,0,1} telle que Lp(a) =
1 siaest un carré dansZ/pZ 0 sia≡0 modp
−1 sinon
On peut aussi définir une fonctionLp:Z/pZ→ {−1,0,1} en posantLp(amodp) =Lp(a).
En pratique, on noteraLp l’une ou l’autre de ces fonctions.
On rappelle les principaux résultats des parties précédentes :
• Lp(n)≡n(p−1)/2 modp(question6.).
• Lp(−1) = 1sietseulementsip≡ ±1mod4(question 7.a).
• Lp(nn0) =Lp(n)Lp(n0)(question8.) Soitζ= exp(2iπ
p ).
On définit la somme de Gauss relative àppar le nombre complexeG= X
a∈Z/pZ
Lp(a)ζa. Par exemple, sip= 3, alorsG=ζ+ζ2=i√
3.
De même, sip= 5,G=ζ−ζ2−ζ3+ζ4= 2 cos(2π/5)−2 cos(4π/5) =√ 5.
1. a. Justifier que pour(a, t)∈Z2,Lp(a2t) =Lp(t). b. Montrer que
X
(a,b)∈((Z/pZ)∗)2
Lp(ab)ζa+b=Lp(−1)(p−1)− X
t∈(Z/pZ)∗\{−1}
Lp(t) (on pourra poserb=at oùt∈(Z/pZ)∗).
3
c. Justifier que P
a∈(Z/pZ)∗Lp(a) = 0et en déduire que G2= (−1)(p−1)/2p.
2. Soient pet qdeux nombres premiers impairs distincts.
a. En distinguant éventuellement les cas, justifier que :
∀a∈(Z/pZ)∗,∀q∈N,(Lp(a))q =Lp(a) =Lp(q)·Lp(qa).
b. En posantt=aq, montrer que
X
a∈(Z/pZ)∗
(Lp(a)ζa)q modq=Lp(q)·Gmodq.
c. En utilisant la question2.bdes préliminaires, montrer que
Gq ≡Lp(q)Gmodq.
d. Montrer que
Ä(G2)(q−1)/2·Gä
modq=Ä
(−1)p−12 ·q−12 Lq(p)·Gä
modq.
3. En déduire que
Lp(q) = (−1)p−12 ·q−12 Lq(p).
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