Documents et calculatrices non-autorisés. Les exercices sont indépendants.
Barème indicatif. Exercice 1 : 2 points, exercice 2 : 5 points, exercice 3 : 8 points, exercice 4 : 7 points.
Exercice 1
Soient n ∈ N∗ et k dans Z. On note k la classe de k dans Z/nZ. Montrer que k est inversible pour la multiplication de Z/nZ si et seulement si k est premier avec n.
Exercice 2
On note f l'applicationz 7→ |z| deC∗ dans R∗+, et U={z ∈C:|z|= 1}. 1. Montrer que f est un morphisme de groupes
2. Montrer que Uest un sous-groupe de C∗.
3. On note p:C∗ →C∗/Ula projection canonique. Montrer l'existence et l'unicité d'une applicationf de l'ensemble quotient C∗/Uvers R∗+ telle que f =f◦p. 4. Montrer qu'on peut dénir de façon cohérente une multiplication sur C∗/U par
(z1U)(z2U) =z1z2U.
5. Montrer que f est alors un isomorphisme de groupes.
Exercice 3 SoitG={a+b√
3 : (a, b)∈Z×Z, a2−3b2 = 1}. On noteG+ =G∩R∗+ etg = 2 +√ 3. 1. Montrer que Get G+ sont des sous-groupes de (R∗,×).
2. Soit (a, b) ∈ Z×Z tel que a2 −3b2 = 1. Montrer que |a| > √
3|b|. En déduire quea+b√
3>0 si et seulement si a >0.
3. Soit x∈G+. D'après la question précédente, x=a+b√
3 avec(a, b)∈N∗×Z tel que a2−3b2 = 1.
(a) Sib = 0, que vaut x?
(b) Montrer que si b≥1, alors x≥g.
(c) En déduire que sib ≤ −1, alors x≤g−1.
Exercice 4
Soit G un groupe cyclique d'ordre d. Soit a un générateur de G.
On note End(G) l'ensemble des endomorphismes du groupe G, c'est-à dire des morphismes de groupes de Gdans G.
On noteAut(G)l'ensemble des automorphismes du groupeG, c'est-à dire des mor- phismes bijectifs deG dans G.
Pour tout k ∈Z, on note ρk l'application x7→xk de Gdans G. 1. Soit k∈Z. Montrer que ρk ∈End(G).
2. Montrer que pour tout k1 et k2 dans Z,
ρk1 =ρk2 ⇐⇒ ρk1(a) =ρk2(a) ⇐⇒ k1 −k2 ∈dZ. 3. Montrer que si f ∈End(G), il existek ∈Z tel que f =ρk. 4. En déduire une bijection de Z/dZ vers End(G).
5. Soit k∈Z. Montrer que si k et d sont premiers entre eux, alors ρk est bijectif.
6. En déduire une injection φ de(Z/dZ)× dans Aut(G) 7. Montrer que φ est un isomorphisme de groupes.
Soit k∈Z. Par dénition de la multiplication dans Z/nZet le théorème de Bezout, k est inversible dans Z/nZ ⇐⇒ ∃`∈Z, k×`= 1
⇐⇒ ∃`∈Z, k`= 1
⇐⇒ ∃`∈Z, k`≡1 [n]
⇐⇒ ∃`∈Z, ∃m∈Z, k`+nm= 1
⇐⇒ k∧n= 1.
Exercice 2 : 0,5+0,5+1,5+1+2=5,5 points
1. Pour tous z1 et z2 dans C, f(z1z2) = |z1 ×z2| = |z1| × |z2| = f(z1)×f(z2). Comme(C∗,×)et (R∗+,×) sont des groupes, f est un morphisme de groupes 2. Par dénition, U= Kerf. Donc U est un sous-groupe deC∗.
3. Si f est une application de C∗/U dans R∗+ telle que f =f◦p, l'image par f de toute classe zU ∈ C∗/U est imposée par l'égalité f(zU) = f(p(z)) = f(z), ce qui montre l'unicité.
Pour montrer l'existence, on vérie que pour tout z ∈C∗, f(z) ne dépend que de la classe dez dans C∗/U. En eet, siz0 est un élément de la même classe que z (autrement dit z0 ∈ zU), alors z−1z0 ∈ U, donc f(z)−1f(z0) = f(z−1z0) = 1, d'où f(z0) = f(z). Ainsi, l'égalité f(zU) = f(z) dénit de façon cohérente une applicationf deC∗/U vers R∗+, et par construction,f =f◦p.
4. Soient z1, z2, z10, z20 dans C∗ tels que z1U=z10U et z2U=z02U. Alors (z1z2)−1(z10z20) = (z−11 z01)(z2−1z20)∈U,
donc (z1z2)U= (z10z20)U. On peut donc dénir de façon cohérente une multipli- cation sur C∗/Upar (z1U)(z2U) = (z1z2)U.
5. Par construction, la multiplication sur C∗/Uest interne et pest un morphisme surjectif deC∗ dansC∗/U. À l'aide de ce morphisme, on vérie que la multipli- cation sur C∗/U est associative, que 1U est élément neutre et que tout élément zU∈C∗/U a pour inverse z−1U. Ainsi, C∗/U est un groupe.
Pour tousz1U etz2U dans C∗/U, f (z1U)(z2U)
=f (z1z2)U)
=f(z1z2) =f(z1)f(z2) = f(z1U)f(z2U), et
f(z1U) = f(z2U) ⇐⇒ f(z1) =f(z2) ⇐⇒ 1 = f(z1−1z2) ⇐⇒ z1−1z2 ∈U
Exercice 3 : 3,5+1+1,5+2=8 points.
1. Comme 1 = 1 + 0√
3, (1,0)∈Z×Z et12−3×02 = 1, on a 1∈G. Soitx∈G. Alors on peut écrirex=a+b√
3avec(a, b)∈Z2 tel quea2−3b2 = 1. Comme−b∈Z eta2−3(−b)2 = 1, le réel x0 =a+ (−b)√
3 est aussi dans Get vériexx0 =a2−3b2 = 1. Donc x est inversible dans Get en particulier x6= 0, ce qui montre l'inclusion G⊂R∗.
Soit y∈G. Alors y=c+d√
3 avec(c, d)∈Z2 tel que c2−3d2 = 1. Donc xy= (a+b√
3)(c+d√
3) = (ac+ 3bd) + (ad+bc)√ 3 Or (ac+ 3bd, ad+bc)∈Z2 et
(ac+ 3bd)2 −3(ad+bc)2 = a2c2 + 6abcd+ 9b2d2−3a2d2−6abcd−9b2c2
= (a2−3b2)(c2−3d2) = 1.
Doncxy∈G.
Ainsi, G est un sous-groupe de (R∗,×), donc G+ = G ∩ R∗+ aussi, comme intersection de sous-groupes de (R∗,×).
2. Soit(a, b)∈Z×Ztel quea2−3b2 = 1. Alorsa2 = 3b2+1>3b2, donc|a|>√ 3|b|, donca et a+b√
3sont non nuls et de même signe. En particulier, a+b√ 3>0 si et seulement si a >0.
3. Soit x∈G+. D'après la question précédente, x=a+b√
3 avec(a, b)∈N∗×Z tel que a2−3b2 = 1.
(a) Sib = 0, alors a2 = 1, donca = 1 (puisque a∈N∗) donc x= 1.
(b) Montrer que sib ≥ 1, alors a2 = 3b2+ 1 ≥4, donc a ≥2 (puisque a ∈N∗).
Ainsi, x≥2 +√ 3 =g.
(c) Si b ≤ −1, on peut appliquer ce qui précède à x−1 = a+ (−b)√
3. Comme x−1 ≥g >0, on a x≤g−1.
4. Comme lnG+ est un sous-groupe de (R∗+,×) et ln est un isomorphisme de (R∗+,×) vers (R,+), lnG+ est un sous-groupe de(R,+).
Maisg ∈G+, donc d'après la question précédente, g = min(G+∩]1,+∞[), donc lng = min(lnG+∩R∗+). Ainsi, lnG+ = (lng)Z, doncG+ =gZ ={gn:n∈Z}. On vérie que si x ∈ G, alors −x ∈ G; mais comme x 6= 0, soit x soit −x est dans G+. Ainsi, G=G+∪(−G+) = {εgn :ε ∈ {−1,1}, n∈Z}.
Gest cyclique donc abélien. Donc ρk est un morphisme de groupes.
2. Soient k1 etk2 dans Z. Comme G={a` :`∈Z}, et comme a est d'ordre d, ρk1 =ρk2 ⇐⇒ ∀`∈Z, ρk1(a`) =ρk2(a`)
⇐⇒ ∀`∈Z, ρk1(a)` =ρk2(a)`
⇐⇒ ρk1(a) =ρk2(a)
⇐⇒ ak1 =ak2
⇐⇒ ak1−k2 = 1G
⇐⇒ k1−k2 ∈dZ.
3. Soit f ∈End(G). Comme f(a) ∈G, on peut trouver k ∈Z tel que f(a) = ak. Pour toutx∈G, il existe `∈Z tel que x=a`, et pour un tel`, on a
f(x) = f(a`) = f(a)` = (ak)` =ak` = (a`)k =xk. Doncf =ρk.
4. Soit Φ : Z → End(G) l'application qui à un entier k associe l'endomorphisme ρk. On a vu que pour tout k1 et k2 dans Z,Φ(k1) = Φ(k2) ⇐⇒ k1−k2 ∈dZ.
Comme pour toutk ∈Z,Φ(k) = ρk ne dépend que de la classe dek dansZ/dZ, on dénit de façon cohérente une applicationΦdeZ/dZdansEnd(G)en posant Φ(k) = Φ(k) =ρk pour toutk ∈Z.
Φest injective car pour tous k1 et k2 dans Z, Φ(k1) = Φ(k2) ⇐⇒ k1 =k2. Enn, la question précédente montre que Φest surjective.
5. Si k∧d= 1, le théorème de Bezout fournit(u, v)∈Z2 tel queku+dv= 1. Soit x∈G. Comme l'ordre de x dans G divise d (d'après le théorème de Lagrange) donc dv, on a xdv = 1 et x = xku = (xk)u = (xu)k. Ainsi ρk est bijectif, de bijection réciproqueρu.
6. Soit k ∈(Z/dZ)×. Alors k∧d = 1 donc Φ(k) = Φ(k) = ρk ∈ Aut(G). Donc la bijectionΦ induit une injectionφ de(Z/dZ)× dans Aut(G).
7. φ est un morphisme de groupes car pour tout k et ` dans (Z/dZ)×, φ(k)◦φ(k) = Φ(k)◦Φ(`) =ρk◦ρ` =ρk`= Φ(k`) =φ(k`) = φ(k`).
L'injectivité de φ est déjà vue. La surjectivité de φ découle de celle de Φ et de
Remarques sur les copies
Exercice 1 : raisonner par équivalences et penser aux quanticateurs.
Exercice 2 :
1. Fait par presque tous. Les propriétés du module sont supposées connues.
2. Presque personne n'a pensé à dire que U= Kerf.
3. Quelle que soit la méthode employée, il faut à un moment ou un autre démontrer l'équivalence |z1| = |z2| ⇐⇒ z1U = z2U, ou bien utiliser le fait que U est le noyau def. Beaucoup de copies oublient ce point essentiel.
Beaucoup parlent de classe d'équivalence sans préciser la relation d'équivalence considérée. Il y en a deux naturelles ici : celle associée à f et celle associée au sous-groupe U. Le fait que ce soit la même relation demande une vérication ! Pour montrer qu'on peut dénir de façon cohérente f en vériant que f(z) ne dépend que de la classe de z, il ne faut pas utiliser f dans la preuve !
4. De même, pour montrer qu'on peut dénir de façon cohérente une multiplication sur C∗/U en vériant que la classe de z1z2 ne dépend que des classes de z1 et z2, il ne faut pas faire comme si la multiplication était déjà dénie !
5. Penser à montrer que C∗/U est un groupe, cela n'a pas encore été vu en cours.
Exercice 3 :
1. Dans la preuve du fait que Gcontient 1, est stable par produit et par passage à l'inverse, il faut faire apparaître des coecientsaetbentiers tels quea2−3b2 = 1. 2. Beaucoup d'arguments inutilement compliqués, voire faux.
3. Beaucoup d'inégalités fausses.
4. Rarement fait.
Exercice 4 :
1. L'égalité (xy)k =xkyk est vraie parce que x ety commutent (pourquoi ?).
2. Pour justier l'équivalence ak1−k2 = 1G ⇐⇒ d|k1 −k2, dire explicitement que a est d'ordre d.
3. Il s'agit de trouver k∈Z tel que pour tout x∈G, f(x) =xk. En particulier, k est indépendent de x.
4. Beaucoup introduisent des bijections réciproques k 7→ ρk et ρk 7→ k sans se préoccuper de savoir si les applications sont bien dénies.
5. Souvent mal fait.
6. Au lieu de recommencer le travail, il sut de restreindre la bijection de la question 4 à(Z/dZ)× au départ et à Aut(G) à l'arrivée, grâce au résultat de la question 5.
7. Rarement fait.
