spécialité Devoir pour le lundi 2 décembre 2019

1

^ère

6

spécialité Devoir pour le lundi 2 décembre 2019

Le devoir doit être rédigé sur une copie simple recto-verso.

I. On considère l’équation x² 2mx 1 0

 

¹ d’inconnue x» où m désigne un paramètre réel.

1°) Calculer le discriminant réduit _m' de l’équation

 

¹ en fonction de m.

2°) Déterminer l’ensemble E des réels m pour lesquelles l’équation

 

¹ admet deux racines distinctes dans R.

3°) Pour mE, on note x la plus grande des deux racines de ₁

 

^{1 et} x la plus petite. ² Exprimer x et ₁ x en fonction de m. ₂

4°) À l’aide d’un logiciel de calcul formel ou du site « dcode » (ou même de l’application « photomath »), déterminer le sous-ensemble F de E constitué des réels m tels que x₁2.

On ne cherchera pas à résoudre la question.

5°) Pour mE, exprimer x₁³x₂³ en fonction de m.

II. Soit a, b, c trois réels tels que a²  b² c² 1. Que vaut l’expression ^{A a4}



^abc

 

^{2  ac b}



^{2 ?}

Corrigé du devoir pour le 2-12-2019

I. x²2mx 1 0

 

¹ (m : paramètre réel)

1°)

' 2 1

m m

  

2°) On cherche l’ensemble E des réels m pour lesquelles l’équation

 

¹ admet deux racines distinctes dans R.

Pour que

 

¹ admette deux racines réelles distinctes, il faut et il suffit que  _m' 0 (i).

(i) est successivement équivalente à :

2 1 0

m   1

m  ou m1

On en déduit que ^{E   }



^{; 1}

 

^{∪ 1; }



^.

3°) On a x₁ m m²1 et x₂ m m²1.

4°) On cherche les réels mE tels que m m² 1 2^. On trouve 5

4;

F   .

5°) Pour mE, on pose Ax₁³x₂³.

1^ère méthode :



²

 

^{3 2}



³

A m m 1  m m 1

   

³

^{ }  

³

3 2 2 2 2 3 2 2 2 2

Am 3m m  1 3m m  1 m 1 m 3m m  1 3m m  1 m 1

3 3 3

A2m 3m 3m3m 3m A8m36m

On peut vérifier le résultat à l’aide des outils dont on dispose (logiciel de calcul formel, site « dcode »,

« photomath »…

2^e méthode :

On utilise la somme et le produit des racines.

3 3

1 2

Ax x



^{1 2}

 

^{12 1 2 22}



A x x x x x x (identité remarquable cubique)



^{12 22}



A2m x  1 x



^{1 2}



^{2 1 2}

2 2

A m x x  x x 1



^{1 2}



²

2 1

A m x x   2 1

 

²

A2m 2m 3



²



2 4 3

A m m 

II.

  

²



²

A a4 abc  ac b

4 2 2 2 2 2 2

2 A a a b 2abc c a c  acb b

 

2 2 2 2 2 2

Aa a  b c  c b

2 2 2

1

A   a c b (on utilise la condition a²  b² c² 1) A1