spécialité Devoir pour le mercredi 2 décembre 2020

T

spécialité Devoir pour le mercredi 2 décembre 2020

Numéro : ….. Prénom et nom : ……….……….

Note : ….. / 20

I. Pour tout entier natureln1, on pose

 

1 k n n

k

u n k









 ^.

1°) Calculeru₁,u₂,u₃,u₄,u₅. On ne détaillera les calculs uniquement pouru₁,u₂, u₃.

……….……….

……….……….

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……….……….

……….……….

……….……….

2°) Écrire une fonction Python qui prend pour argument un entier natureln1 et qui renvoie la valeur deu_n. Vérifier les valeurs de la question précédente.

3°) Exprimeru_n en fonction den à l’aide de factorielles.

……….. (une seule expression)

II. Pour tout entier natureln, on pose

 

0

1

k n k n

k

S k









 ^{. Exprimer Sn} en fonction den.

……….……….

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……….……….

Corrigé du devoir pour le 2-12-2020

I. Pour tout entier natureln1, on pose

 

1 k n n

k

u n k









 ^.

1°) Calculeru₁,u₂,u₃,u₄,u₅. On ne détaillera les calculs uniquement pouru₁,u₂, u₃.

1 1

1

1 1 2 u u

u

 



  

2 2

2 2 1 2 2 3 4 12 u u u

  

 



     

3 3

3

3 1 3 2 3 3 4 5 6

120 u u

u      

  



       

4 4

4

4 1 4 2 4 3 4 4 5 6 7 8

1680 u u u

       

   



       

5 5

5

5 1 5 2 5 3 4 4 6 7 8 9 10

30240 u u

u        

    



2°) Écrire une fonction Python qui prend pour argument un entier natureln1 et qui renvoie la valeur deu_n. Vérifier les valeurs de la question précédente.

On utilise la formule de définition deu_n comme produit.

def prod(n):

p=1

for i in range(1,n+1):

p=p*(n+i) return p

3°) Exprimeru_n en fonction den à l’aide de factorielles.

n *

 

 

^{2 !}

n ! u n

 n (une seule expression)

II. Pour tout entier natureln, on pose

 

0

1

k n k n

k

S k









 ^{. Exprimer Sn} en fonction den.

On peut écrire

   

0

1

k n k n

k

S k









 ^.

On commence par calculer S_n pour de petites valeurs den afin de mieux comprendre ce qui se passe.

n 0 1 2 3 4 5 6

Sn 0 – 1 1 – 2 2 – 3 3

On observe aisément qu’on peut facilement grouper les termes par deux (on parle de sommation par groupes ou par paquets).

C’est cette méthode que l’on va mettre en œuvre dans la démonstration du cas général.

On distingue deux cas selon quen est pair ou impair.

1^er cas :n est pair

On pose n2p avecp entier naturel.

 

2_p 0 1 2 3 4 5 6 ... 2 1 2 S            p  p

+ 1 + 1 + 1 + 1 On obtient une somme de termes tous égaux à 1.

Le nombre de termes est égal àp.

On en déduit que S_2pp.

Remarque : On a raisonné dans le cas oùn est supérieur ou égal à 2.

La formule reste valable lorsquen est égal à 0.

2^e cas :n est impair

On pose n2p1 avecp entier naturel.

   

2_p1 0 1 2 3 4 5 6 7 ... 2 2 1 S _              p  p

– 1 – 1 – 1 – 1 – 1 On obtient une somme de termes tous égaux à – 1.

Le nombre de termes de la somme est égal à p1.

2_p1 1

S _   p

Variante :

On écrit S2_p1S2_p



2p1



et on utilise le résultat du 1^er cas.

Conclusion : si est pair 2

1 si est impair 2

n

n n

S n

n



  



Pour aller plus loin : une formule unifiée

On peut démontrer que n  ^E

 

^{1 1}

2

n n

S    n  (formule trouvée par Bénédicte Folscheid).

Pour cela, posons ^E

 

^{1 1}

2

n n

u    n .

On distingue deux cas selon quen est pair ou impair.

1^er cas :n est pair

On posen2p avecp entier naturel.

 

²

2

2 1 2 1 1 1

E 1 E E E 0

2 2 2 2

p p

p p

u         p  p      p p

Avec l’expression trouvée précédemment, on constate queu_2pS_2p. 2^e cas :n est impair

On posen2p1 avecp entier naturel.

 

^{2 1}

 

2 1

2 1 1 2 2

E 1 E E 1 1

2 2

p p

p p

u _    ^           p p

Avec l’expression trouvée précédemment, on constate queu_2p1S_2p1. Conclusion :

 n S_nu_n

La formule est donc établie pour tout entier natureln.

Autre piste pour trouver :

On utilise la formule

 

 

1 1

2

1 1

1 2 ...

1

n n

n nx n x

x nx

x



   

   

 valable pour tout réel x1.

Cette formule s’obtient en dérivant de deux façons la fonctionS définie par^{S x}

 

  ^{1 x x2} ^{... xn} (voir sujet bac blanc 14-2-2014 en TS).

On a



¹



¹

_ ^ _

2

^

0

1 1

1

k n

n n

k k

nx n x

kx

x

 





  

 



ce qui donne, en multipliant les deux membres parx,

 

²

_ ^ _ ^

2 ¹ 0

1 1

k n

n n

k k

nx n x x

kx

x

  



  

 



^.

On remplace alorsx par – 1 (qui est bien différent de 1).

On obtient :

     

 

2 1

2

1 1 1 1

1 1

n n

n

n n

S

 

     

  

     

 

2 2

2

1 1 1 1

2

n n

n

S n  ^  n   ^ 

 

  

^{1 1}

  

^{1 1}

4

n n

n n

S n      

 car

 

^1n2 

     

¹ⁿ ¹² ¹ⁿ

  

^{1 1}



¹

4

n n

S  n  n



  

^{1 2 1}



¹

n 4

n n

S   



On obtient une formule explicite de S_n en fonction den.

Autre méthode :

On écrit

     

E E 1

2 2

2 2 1

0 0

1 2 1 2 1

n n

p p

p p

n

p p

S p p



   

      



 





 



  ^.

On poursuit ensuite

     

E E 1

2 2

0 0

2 2 1

n n

p p

n

p p

S p p



   

      

 









  ^.

On utilise la formule donnant la somme des entiers naturels consécutifs.