Devoir (I,3) du 2 décembre 2015

(1)

LGL Devoir en classe 2015-16 _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

AB Beran - 2015-16-3C1-Corrige-I3.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (I,3) du 2 décembre 2015

- corrigé

Exercice 1:

1) Résolvez dans l’inéquation irrationnelle suivante: 2x 2 x²3x4

   

 

 

 

2

0 0

1

2 2

0 0

2 2

) . .: 3 4 0 ) : 4 1

4 1

) :

3 4 0 0

; 4 1;

) : 2 2 3 4

2 2 0 1 2 2 3 4

;1

2 2 0 1 2 2 3 4

4 8 4 3

a C E x x i Racines x x

x

ii TDS

x x

D

b x D IE x x x

si x x IE x x x tjs vrai

E

si x x IE x x x

x x x

 

 

     



    

     

      

        

  

        

    

   

2

1 2

4 3 11 8 0

) : 1 8

3 1 8

) : 3

3 11 8 0 0

1;8 3

) ; 4 1;8

3

x x x

i Racines x x

x

ii TDS

x x

E

c S E E D

    

 

    

 

    

 

         

2) Résolvez dans chacune des inéquations suivantes :

 

2 2

) 2 5 2 2

Valeurs critiques : 2 0

2 0

2 2 0 2 2 2

: 0

0

1 2 3

a IE x x x x

x et x x

x

x x x x x

Tableau

x

x x x x x

IE

      

  



    

     

   

  

(2)

_______________________________________________________________________________________

   

 

   

 

2 2 2

2

1

2 2 2

2

1 : 2

2 5 2 7 10 0

) : 5 2

5 2

) :

7 10 0 0

) ; 5

2 :

2

2 0

2 5 2 3 10 0

) : 2 5

2 0 5

) :

3 10 0 0

) 2

3 : 0

ad x

IE x x x x

i Racines x x

x

ii TDS

x x

iii E

ad x

IE x x x x

i Racines x x

x

ii TDS

x x

iii E

ad x

I

x

x x

x

  

       

   

 

    

  

   

        

  



 



 



 



  

 

 

   

   

2 2 2

1 2

2

3

1 2 3

2 5 2 7 10 0

7 89 7 89

) : 1, 2

2

8, 21

2 2

0

) :

7 10 0 0

7 89

) ;

2

7 89

; 5 2 ;

2

E x x x x

i Racines x x

x x x

ii TDS

x x

iii E

S E E E

x

   x       

 

    

      

  

 

 



  

         

 

2 3 2

) 12 4 14

2

b x x x

x

    



 

. .: 2 2

C E x D 

  ^ ^

 

         

2 2

3 2 2

3 2

par factorisation 2 2

(par groupement)

2 3 12 4 14 2

2 3

: 12 4 14 0

2 2

2 3 12 24 4 8 14 28

2 0

4 6 14 21

2 0

2 3 2 7

2 2 3 7 2 3

) 0 0

2 2

x x x x

x D x x x

x x

x x x x x x

x

x x x

Q x x

x x

x x x

a Q x

x x

    

        

 

      

 



  

  



 

  

    

 

(3)

_______________________________________________________________________________________

   

      ^ ^  

2

2 2 2

) Horner pour le numérateur : : : 3

2

4 6 14 21 3

4 14

3 2

6 0 21 0

2 2

4 0 14 0

3 3

4 14 2 2 7 2 3 2 7

2 2

b calculatrice racine x

x x

Q x x

N x x x x x x x

 

     

    



   

         

    



Quelle que soit la méthode de résolution choisie, on arrive donc au même résultat :

 

2

3 14 14

) : 2 1,8 1,8

2 2 2

14 3 14

2 2 2 2

2 3 0

) :

2 7 0 0

2 0

0 0 0

14 3 14

) ; ; 2

2 2 2

i Racines x x x x

x x

ii TDS

x x Q x

iii S

        

 

        

       

        

    

   

     

   

3) Pour quelles valeurs du paramètre réel m, l’expression suivante a-t-elle deux racines distinctes ? ^E^m

  

^x ^ ^m^²



^x²^{ }



¹ ^m²



^x^{ }^m ¹

Cette expression admet deux racines distinctes ssi

 Elle est du second degré et

 Le déterminant est strictement positif ! Résolution :

 Elle est du second degré ssi m 2 0  m2

 ^Δ^{ }



¹ ^m²



²^{ }⁴

^

^m^²

^

^m^¹

^

 

              

méthode A par développement

2 4 2 4 2

1

méthode B par factorisation

2 2 2

1 2 4 3 2 6 12 7

1 0 6 12 7

Racine évidente : 1 par Horner

1 1 4 2 1 1 1

:

1

1 1 1 5 7

1 1 5 7 0

4 2

m m m m m m

m m m m m

m m

m m m

 

 

         

        

 

 









(4)

_______________________________________________________________________________________

   

2

3 2

seule racine par calculatrice 3,224

2

3 2

Δ 1 5 7

3, 224 1 2

1 0

: 5 7 0

Δ 0 0

m

m m m m

m m

m

TDS m m m



    

 

      

         

   

 D’où : Cette expression admet deux racines distinctes ssi m 



;m2

   

 1;2  2;



_______________________________________________________________________________________

Exercice 2 : Résolvez le problème concret suivant :

La somme de deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle vaut 31. Sachant que la différence positive des carrés de ces côtés vaut 527 , déterminez le périmètre de ce triangle rectangle !

a) Choix d’inconnue(s) : Soient x et y les deux côtés cherchés

b) Mise en équation :

 

2 2

31 1 527 2 x y

x y

  



 



c) Résolution : De

 

^{1 :} ^y^³¹^^x^Dans

 

^{2 :} ^x²^



³¹^^x



²^⁵²⁷

x2

 961 62x x  ²

 

527 62 1488 24

Dans 1 : 31 24 7

x x

y

   

  

La longueur de l’hypoténuse se calcule avec Pythagore dans le triangle rectangle :

2 2 2

24 7 5764962525 La longueur de l’hypoténuse vaut donc 25.

d) Réponse : Le périmètre de ce triangle vaut : P24 7 25 56 . . u l

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 47 ( 12+27+8 ) + 10 + 3 (présentation)

La résolution de cette equation nous fournit deux valeurs irrationnelles, dont l’une est le nombre d’or (base de la section dorée) et l’autre son inverse !

1 5

Φ 1,618

2

   est le nombre d’or