=J =2 , fry=3 . Irr+y2=z , [r-l=2 lr I

(1)

Leçon 24: Système d'équations du second degré à deux inconnues

Activités

l.

Si

l'équation

3x2

--x-3:0

^apour solutions

a, B

^.

Calculer : a+ B,aB,a2'+ Ê',o3 ^* f3.

2.

Si

l'équation 2.-7-l)x+ m=0 apour solutions a,p.

Déterminer le réel rn pour que

I'on ait; a: _Ê :l:3.

3- ^Si x+y _=3,ry= _-2

alors

x,y

sont les solutions de

l'équation t2

^/

^*...

=

0. 4. Soit

le système:

[r'*xy+y2=r

I ^x+ ^Y:2

Lorsqu'on exprime x en fonction de y ou y en

fonction

de x ^de

^ce^système,

comment est-il ?

Le cours

Un exemple de système d'équations du second degré à deux inconnues

x, y ,

^est

(.t1

) t'* l' :2

lr* ^** ^y:3

Lorsqu'on

exprime x

en fonction

de y ov y

^en

fonction de .r

dans ce système, on obtient un nouveau système qui est équivalent au système

initial

^(lessolutions sont les mêmes).

Ce système est appelé < système symétrique >.

Méthode de

résolution

:

Résoudç ce système revient à

calculer x+y

et rry dont on peut trouver le(s) couple(s) de solutions

(x,y)

à I'aide de la

formule

de Viète.

Exemples : Résolution du système.

, fr*y=3 . Irr+y2=z , [r-l=2

l.<2.<'J.(

l.y =2 _lxt xt ^y =J

^Lt.,v⁼³⁵

Solution:

lx + v:3 l. I

^-

l*'Y =2

x et y

sont les solutions du système, d'après la formule de Viète, on a :

[t*r=3=,S lry:2=P

Donc x et y

sont les solutions de

l'équation x' _-Sr+P=0 soit x' _-3x+2=0

On résout l'équation

x' -3x+2=0.

x' -3x +2=0

(x-l[-x _-2)=0 d'où x=l ou x=2

C'est-à-dire:

Mathématique C4-108

(2)

lx:l ^lx ⁼²

< ^ou<

lY=2 ^Lv=t

On obtient donc

: (x ;y):(l;2),(2;1).

^On

^écrit

^aussi^S=

(t; Z), (Z;t)|

('t.l

) t'!'=2 lry+ry=3

Ona: S=xt/,P:x!,

Et

(x +

y)' :

x2

+2xy

+

y2 soit x'

⁺^y?

:

(-r +

yY -2ry

C'est-à-dire x'

⁺

^y'.

= 52

-2P

Le système

donné

devient :

I

s' _-2p =2 . ^[s' ^-2P ⁼²

< solt

^<

Ir+s=3 ^|.P=3-s

On résout l'équation :

S2 -Z1l-S)=2 ^ou 52+2S-8=0 (S++[S -2)=0 ^soit S:4 ^ou S=2

On obtient donc ^:

{t

⁼

*

o,, {t ='

c,esr-à-dir

", [**

^Y

=4 LP=1 lP=I | ^,y--7

On résout les équations

: .rt -4x+7 =0 ^et

^x2

-

. _x'-4x+7:o

L=(4)' _-4xlx7 ^:16-28

₌

_-12

^<

0

L'équation

n'a

aucune solution

l'+

Y

=2

ou{

l.

.r,y:

^I

2x+L=0

. Jr'-2x+L=o

(x-tlf

₌

0d'où x : _I

donc

! ^=t,On ^écrit

^S⁼

^(t;t)).

3. {*- ' ='

_éouivaut

' [l

⁼

x-z

'

f

r.y

₌

35

l.

x(x -2)

⁼

f5

{*=-t

lY: -7 [, =,

LY=5

j. o' ^u"ri,

fy=x-z ^(v=x-2 lr' ^-zr

^{-15 =}

^o ^ê ^I'x ⁼

^-s,x⁼⁷

aussl

s: _{(-s ;-7), ^(z;s)}'

On obtient donc :

(x;y) =(-5;1),(7;5

Mathématique C4-109

(3)

' _l'2 ₊

_Y2

₌₃₄

a. _I

[tY

⁼

-ts

Exercices

1. Sil;equation.x2 -x+2=0

^a^pour^solutions

^a,p

^.

Calculer

: (a +r)(Ê -azBtatPt +l),+ ^* +,4 ^*4.

2. ^Si

^a,

p

sont deux solutions de l'"équatiorr,

"2

^{+ ax + b}

:

0 .

Déterminer les réels

a,b

^pourque

l'on ait:

a2 +

f2 :l et l+f :

f .

ap

3. Si

a,

p

sont deux solutions de l'équati on

*2 -(a ^-2)x -34-l

^{= 0}^.

Déterminer le reel

d

pour que

I'on

ait : a2 +

f2 : aB +1.

4.

Résoudre les systèmes d'équations suivants.

, lr'*'**v2 =7 o. 1

^-

lry=z(*+ v-2)

Mathématique

=J =2 , fr*y=3 . Irr+y2=z , [r-l=2 lr* I