Devoir (I,2) du 16 novembre 2015

(1)

LGL Devoir en classe 2015-16 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2015-16-1DG-Corrige-I2.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (I,2) du 16 novembre 2015

- corrigé Exercice 1 :

1) Résolvez dans l’équation suivante : ^z²^{ }^z



^z^{ }⁵



ⁱ

A remarquer qu’il s’agit d’une équation du 2^nd degré en z, z . Il faut donc ramener tous les termes dans le même membre et regrouper suivant les puissances de z !

   

     

   

 

   

2 2

1,2

2 2

2 2 1

5 (1 ) 5 0 *

Δ 1 20 18 avec δ les racines complexes de 18

0 1

2 18 2 signes contraires

18 3 module

3 1 : 2 18 9 3

δ 3 3

3 1 : 2 18 9 3

z z z i z i z i

i i i x iy x iy i

x y

xy

x y

x x x

y y y

         

          

  

  

  



       

     

 

2 1

1 2

δ δ 3 3

1 3 3 1 3 3

' : 1 2 2 1 2 ; 2

2 2

i et i

i i i i

D où z i z i S i i

    

     

          

2) Résolvez dans l’équation suivante : ^z³^{ }



^{1 3}^{i z}



²^



^{2 7}^ ^{i z}



^¹⁰^⁰ sachant qu’elle admet une racine imaginaire pure.

Une racine imaginaire pure est toujours de la forme z b i et vérifie, en tant que racine, la condition :

 

           

   

 

3 2 3 2 2

2 3 2

partie réelle partie imaginaire 2

3 2

est racine de 0. Or:

1 3 2 7 10 3 2 7 10

7 10 3 2 0

7 10 0 1

3 2 0 2

z bi P P

P i i b i b b i bi b

b b b b

bi

z bi bi bi

b i bi

b b

b b b

  

            

        

   

 

  





D’après (1) : b2 oub5. En remplaçant la valeur b2 dans (2) :     8 3 4 4 0^! . Donc est la racine imaginire pure cherchée de

zbi P. En utilisant Horner :

     

   

 

2

1 1 3 2 7 10

2 2 2 2 10 : 2 1 3 5 0

1 1 5 0

2 1 3 5 0 (équation de ) : * )

' : 2 ; 1 2 ; 2

i i

i i i Donc P z z i z i z i

i i

z i ou z i z i a

D où S i i i

   

 

         

 

     

   

(2)

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3) Déterminez dans les racines quatrièmes complexes du nombre 3

3 3

z i

 (Ex D 1983)

 

   

1

4

3 3 3 3 3 1 3

3 9 4 4 . .

3 3 3 3

1 2 1 cos φ

4 1 2

1 3 1 1 π

α φ

16 16 4 2 3 2 3 3

sin φ

4 1 2

π π

' : α 3 3

3 3

φ α mod 2π

3 3

1 π

2 3 2π

0,1, 2,3

e er Quadrant

k

z i i F A

i i

r et et IV

D où et

z cis k k

Soit z z ave i i

c k alor

     

  

 

   

 

         

      

 

 

    

 

      





 



4 4

0 2

4 4

1 3

1 π 2 π 1 π 6 π

2 3 4 4 2 12 12

1 π 1 11π

0 : 2 :

2 12 2 12

1 5π 1 17π

1: 3 :

2 12 2 12

3

k 3

k k

s z cis cis

pour k z cis pour k z cis

   

         

   

         

   

         







_______________________________________________________________________________________

Exercice 2 : En partie extraits de (Ex C/D 09/2013) 1) Résolvez dans les équations suivantes :

 

2

2 2

2

à rejeter

2 1 1

) : 10 1 0 ln

10 10

10 1

1 1

ln ln

10 10

: 2 10 3 10 0

Posons : 0 ' : 3 10 0

: 2 0 5

Revenons à :

x x

x x x

x

x x x x x

x

e e

a E e CE e e x

e

x D

x D E e e e e e

t e d où t t

Racines t t

x t e

 



  

           

 

   

         

    

         

    

   

 

 

   

 

2 3 3 2 3 3 2 6

2 2

5 ln 5 ln 5

3 4 3 9 3

) 2 9 2 4 2

3 2 6 6 0 2 3 2;3

x x x x x x x

x D S

b E D E

x x x x x x x S

      

   

         

          

         

               

(3)

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2) Résolvez la limite suivante : 3

lim mettre sous la forme 1

1

x x



 

  

      

    

    

Par division ou décomposition

de la fraction

3 2 1 2 2

lim lim lim lim 1

1 1 1 1

2 1

: 2

1 1

1 2 1

1

2 1 li

x x x x

x x

x x x x L

Posons t x t x

x t

si x alors t t

x x

L

   

       

  

             

           

       

         



       









2

2 1 2 1

2

1 Multiplication

en croix

1 1 1

m 1 lim 1 lim 1

3 1 1

Autre méthode : : 1

1

t t

t t t

e

t t t e

x t

Posons xt

x t

t

t t

 

     

 

           

     

     

     

   3t xt 1

2 1 2 1

x t

si x alors x t t suite cf plus haut

  

   

         

3) Calculez les dérivées suivantes après avoir déterminé les domaines de définition de ces fonctions :

   

     

 

   

 

'

2

'

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2

0

2 2 2

0 2 2

) 1 Produit :

: ' 2 1 2 2 1

) 2 : 0

2 ln 2 2 2 2 1 2

: ' ln 2 2 2 1

x

f f

x x x

x x

f f

x x x x x x

a f x x e CE D D

x f x x e x e e x x

b f x Quotient CE x D D

x

x x

x f x x

x x



  

      

           

    

     

         

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Répartition des points: 30 ( 10+10+10 ) + 30 ( 13+7+10 )