[;i) ) - è \r,) "=["') )' [0 t)' ' 2)' (-3 - =l''). r=[t o=(: :( '

(1)

Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant choisi I'enseignement de spécialité Partie

A

: préliminaires

1. a)

^Soientⁿet Ndeux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :

n2 = N

-1

^modulo

^N.

Montrer que

I

fl xtrt

=1

^modulo

^N.

b)

^Déduire^dela question précédente un entier fr, tel ^que

: 5kr:1

modulo 26.

onadmettraquel'uniqueentier

Æ

telque: o<k<25

et

sk:-r

modulo

26vaut2l.

z.

ondonneresmarrices

, o=(: l), ^, :( ' ^-tl. r=[t ^o).

"=["') ^ety =l'').

(3 2)' (-3

⁴

)' [0 t)' '

[",J ^-- -

[y,,J'

a)

Calculer la matrice

6A-

A2 .

b)

En déduire que

A

est inversible et que sa matrice inverse, notée

A-r,

peut s'écrire sous la forme

A-r

= a

I

+ B

A,où aet B

^sontdeux^{réels que}

^l'on

déterminera.

c)

^Vérifier^que

:

-B = SA-t ^.

d)

^Démontrer^que

si AX

₌

I,

alors 5X =

BY

^. Partie B : procédure de codage

coder le mot ⁽⁽ET

),

en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

(r, )

o Le

mot à coder est rernplacé par la matrice

X =l

_-.-'

l,oir ^x,est

^I'entierreprésentant la

\*r/

première

lettre du mot et

^x

2 ^l'entier

représentant

la

deuxième,

selon le

tableau de correspondance ci-dessous ^:

o

Lamatrice

X

^esttransformée en la matric

e y :['t ₎ _,r,,"

que

:

I,

: AX

^.

\r,)

o Lamatrice I

est transformée en la matrice _{R = f}

t,

I ^{, où r.,}

^est^Ie^{reste de}

^la

^division

lr, t

euclidienne de y

,

^par²⁶^et

r,

le reste de la division euclidienn e de

y,

^par26.

.

Les entiers

r, et r,

donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de coruespondance ci- dessus.

Exempre : <

ou

> (mot à coder)

è ^x=

[;i) ) ^y =(]j) - ^- ^=(2i)-+ ^{( yE}

^>^(mot^codé).

A

B C D E F G H I J

K L M

0 I 2 J 4 5 6 7 8 9

l0

¹¹ l2

N

o

^P O R S

T

U

V w X Y

Z

13 l4 15 t6 17 t8

l9

20 21 22 23 24 25

l4MASCSG1l

_SUJET _Page_6/8

(2)

Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)

Lorsducodage, lamatrice

X

aététransforméeen lamatric

", =(''l ,",,.que: I =AX.

\v, )

[5t - )ts -tt

l.

^Démontrer

qu. ,

_]

--"'

f5",

⁼

-3yr+4y,

2.

En utilisant la question 1.b) de la partie A, établir que :

[x,

₌

I6v, +5v.

{' r'r /z

rnodulo26.

lxr=15y,+6y,

3.

Décoder le mot

(

_QP).

l4MASCSG1l

_SUJET _Page_7/8

[;i) ) - è \r,) "=["') )' [0 t)' ' 2)' (-3 - =l''). r=[t o=(: :( '

Exercice 4 (5 points)

A

1. a)

-1

N.

I

=1

N.

b)

: 5kr:1

onadmettraquel'uniqueentier

telque: o<k<25

sk:-r

26vaut2l.

z.

, o=(: l), , :( ' -tl. r=[t o).

"=["') ety =l'').

(3 2)' (-3

)' [0 t)' '

[",J -- -

[y,,J'

a)

6A-

b)

A

A-r,

A-r

I

A,où aet B

l'on

c)

:

d)

si AX

I,

BY

),

(r, )

o Le

X =l

l,oir x,est

\*r/

lettre du mot et

2 l'entier

la

selon le

o

X

e y :['t ) ,r,,"

:

: AX

\r,)

o Lamatrice I

t,

I , où r.,

la

lr, t

,

r,

y,

.

r, et r,

ou

è x=

[;i) ) y =(]j) - - =(2i)-+ ( yE

A

K L M

l0

o

T

V w X Y

l9

l4MASCSG1l

X

", =(''l ,",,.que: I =AX.

\v, )

l.

qu. ,

--"'

^N.

^N.

, o=(: l), ^, :( ' ^-tl. r=[t ^o).

"=["') ^ety =l'').

[",J ^-- -

^l'on

l,oir ^x,est

2 ^l'entier

e y :['t ₎ _,r,,"

I ^{, où r.,}

^la

è ^x=

[;i) ) ^y =(]j) - ^- ^=(2i)-+ ^{( yE}