Mathématique ECS 1 8 janvier 2018
Devoir libre 7.
Exercice 1. On considère les vecteurs suivants deR4 :
e1= (2,−1,1,2), e2= (2,−1,6,1), e3= (6,−3,8,5)
On considère les ensembles
E = {(x, y, z, t)∈R4| −7x+z+ 5t= 0et x+y= 0}, F = Vect(e1,e2,e3).
(1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR4. (2) Déterminer une base de Eet une base deF
(3) Les sous-espaces vectorielsE etF sont-ils supplémentaires ?
Exercice 2. On étudie dans cet exercice le comportement de la suite(xn)n∈N∗ oùxn est la solution positive de l’équation (en) :nxn+1−(n+ 1)xn= 1.
On pose, pour toutn∈N∗ et pour toutx∈[0,+∞[, fn(x) =nxn+1−(n+ 1)xn. (1) Existence et encadrement de la solution xn..
(a) Soitn∈N∗. Montrer que l’équation (en)admet une unique solution xn dans ]0,+∞[. On pourra introduire et étudier une fonction.
(b) Etablir l’encadrement1 + 1
n ≤xn ≤1 + 2
n. Que peut-on dire de la suite(xn)n∈N∗? (2) Montrer que, pour tout réelβ, la suite définie parun=
1 +β
n n
converge et déterminer sa limite.
(3) Montrer que, pour tout réelβ, la suite définie parvn =fn
1 + β
n
converge et déterminer sa limite.
(4) Montrer que l’équation (x−1)ex= 1admet une unique solution réelleα, puis queα∈]1,2[.
(5) Soitε >0tel que 0< ε < α−1.
(a) Déterminer les limites lim
n→+∞fn
1 + α−ε n
et lim
n→+∞fn
1 + α+ε n
. (b) Etablir l’existence d’un entier naturelN tel que, pour tout entiern≥N,
1 +α−ε
n ≤xn ≤1 + α+ε n (c) En déduire alors la limite lim
n→+∞n(xn−1).
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