1.3 Topologie (lieu d’utilisation des th´ eor` emes)

Cours Fonctions de deux variables

par Pierre Veuillez

1 Support th´ eorique

1.1 Repr´ esentation

Plan et espace : Grˆace `a un rep`ere cart´esien

O,~i,~j

du plan, les couples (x, y) de R² peuvent ˆetre repr´esent´e par des points M de coordonn´ees (x, y)du plan.

Pour une fonction f deR² dans R, grˆace `a un rep`ere

O,~i,~j, ~k

de l’espace, l’image de (x, y) sera repr´esent´ee par un point d’altitude z =f(x, y).

L’ensemble de ces points formera une surface repr´esentative.

Pour mieux appr´ehender cette surface, on pourra chercher des courbes de niveaux, des coupes verticales (comment les caract´eriser),ou des perspectives.

Exemple : f(x, y) = x²−y²

Courbes de niveau

Coupes x constant Coupes y constant

Repr´esentation fil de fer Surface ombr´ee

1.2 Distance

Probl`ematique : Les extrema de fonctions ne se caract´erisent pas de la mˆeme fa¸con suivant que la fonction est ou n’est pas d´erivable ”autour” d’eux

Sif est deux fois d´erivable sur [a, b] et qu’elle est extremum enx∈]a, b[,que peut-on dire de f⁰(x), def⁰⁰(x) ?

En est-il de mˆeme ena et en b?

D’o`u la n´ecessit´e pour une fonction de R² dans R de d´efinir l’alentour d’un point A= (x, y), la proximit´e ou la distance entre points.

D´efinition : La distance -euclidienne- entreA= (x, y) etB = (x⁰, y⁰) estd(A, B) = q

(x−x⁰)²+ (y−y⁰)² Propi´et´es : d(A, B) = 0 ⇐⇒A=B

d(A, C)≤d(A, B) +d(B, C) in´egalit´e triangulaire.

1.3 Topologie (lieu d’utilisation des th´ eor` emes)

Repr´esentation : Pour repr´esenter un ensemble donn´e par intersection, on hachure les parties refus´ees.

Pour repr´esenter un ensemble donn´e par r´eunion, on hachure les parties accept´ees.

Exercice 1 : Repr´esenter

D={(x, y)∈R² / x²+y² ≤1 et x≥0}

E ={(x, y)∈R² / x²+y² >1 ou x >0}

Exercice 2 M´ethode : F ={(x, y)∈R² / x−y≤1}

On trace la fronti`ere puis on teste `a x ouy constant : y fix´e, si x est plus grand est-on encore dans l’ensemble ?

Boules : Laboule ouverte de centreA et de rayon r est le disque sans son bord : B˚(A, r) =

M ∈R² / d(A, M)< r

La boule ferm´ee de centre A et de rayon r est le disque avec son bord : B(A, r) =

M ∈R² / d(A, M)≤r Ouvert : D est un ouvert de R² si tout point de D est `a l’int´erieur de D.

Enonc´e math´ematique : pour tout pointA de D, il existe r >0 tel que ˚B(A, r)⊂ D.

L’´enonc´e devra pr´eciser si l’ensemble consid´er´e est un ouvert ou pas.

Ferm´e : D est un ferm´e de R² si son compl´ementaire est un ouvert.

L’´enonc´e devra pr´eciser si l’ensemble consid´er´e est un ferm´e ou pas.

Born´e : D est un born´e dans R² s’il existe r >0 tel que D ⊂B˚(O, r), L’´enonc´e devra pr´eciser si l’ensemble consid´er´e est born´e ou pas.

Fronti`ere (hors programme) : Comment caract´eriser la fronti`ere d’un ensemble ?

Id´ees g´en´erales (hors programme) • les ensembles donn´es par des in´egalit´es strictes ”conti- nues” sont des ouverts ;

En effet, une in´egalit´e stricte reste vraie `a proximit´e d’un point o`u elle est v´erifi´ee (... si la condition est continue)

• Les produits cart´esiens d’intervalles ouverts deR sont des ouverts de R². Exemple : D= ]0,1[×]0,+∞[ ={(x, y) / x∈]0,1[ et y ∈]0,+∞[}

• Une intersection finie d’ouvert est un ouvert. Une r´eunion quelconque d’ouvert est un ouvert Contre exemple : T+∞

n=1B˚ O,¹_n

={O} est un ferm´e.

2 Limite et continuit´ e

2.1 D´ efinition

Limite : Soit D ⊂ R² etf :D →R.

On dit quef a pour limite`enA= (a, b)∈ Det on note limM→Af(M) = `ouf(M)→f(A) quand M →A si :

f(x, y) est aussi proche de ` que l’on veut pourvu que M = (x, y) soit suffisamment proche de A..

Formalisation :

pour toutε >0 (la proximit´e que je veux) il existe α >0 (il existe une proximit´e) tel que, si d(A, M)≤α (en de¸c`a de laquelle)

alors |`−f(M)| ≤ε (aussi proche que je veux) Continuit´e : Soit D ⊂ R² etf :D→R.

On dit que f est continue en A∈ D si f(M)→f(A) quand M →A.

2.2 Op´ erations

R´ef´erences : les fonctions coordonn´ees (x, y)→x et (x, y)→y sont continues sur R²

Op´erations : Les sommes, produits quotient et compos´ees de fonctions continues sont continues, sous les r´eserves habituelles :

- d´enominateur non nul, pour les quotients.

- image par la premi`ere dans l’ensemble de continuit´e de la seconde, pour les compos´ees.

Exercice 3 : D´eterminer les ensembles de continuit´e de :

f(x, y) = x+y est la somme de (x, y)→x et (x, y)→y continues sur R² g(x, y) = ln (x+y) est la compos´ee de f et de ln.

h(x, y) = x·y

x+y est le quotient de (x, y)→x·y et de (x, y)→x·y k(x, y) =p

x² +y²−1 est la compos´ee de √

et de la somme des compos´ees (x, y)→x→x² et de (x, y)→y →y²

2.3 Extremum

Th´eor`eme : f continue sur un ferm´e born´e de R² alors f a un minimum et un maximum (absolu).

Le th´eor`eme ne pr´ecise pas comment le trouver !

3 D´ eriv´ ees partielles

3.1 D´ erivation

D´efinition : La d´eriv´ee partielle de f(x, y) par rapport `ax est la d´eriv´ee de x→f(x, y) o`u y est consid´er´e comme param`etre.

Elle est not´ee p= ∂f

∂x ou f_x⁰. De mˆeme pourq = ∂f

∂y =f_y⁰ o`u xest consid´er´e comme un param`etre.

r= ∂²f

∂x² =f_x⁰⁰2 est la d´eriv´ee de x→ ∂f

∂x(x, y) o`uy est consid´er´e comme param`etre, s= ∂²f

∂x∂y =f_x,y⁰⁰ est la d´eriv´ee de x→ ∂f

∂y (x, y) o`u y est consid´er´e comme param`etre, s= ∂²f

∂y∂x =f_y,x⁰⁰ est la d´eriv´ee de y→ ∂f

∂x(x, y) o`u x est consid´er´e comme param`etre, t= ∂²f

∂y² =f_y⁰⁰2 est la d´eriv´ee de y→ ∂f

∂y (x, y) o`u x est consid´er´e comme param`etre, p, q, r, s, ett sont les ”notations de Monge”

M´ethode : pour calculer les d´eriv´ees secondes, il faut d’abord calculer la d´eriv´ee premi`eres en (x, y) et c’est cette expression que l’on re-d´erive alors.

Exercice 4 : D´eterminer sur quel ensemble f estC² est calculer ses d´eriv´ees partielles premi`eres et secondes, avec :

f(x, y) = x

y et f(x, y) = ln (x+y) y

Classe C¹ : f fonction de R² dans R est de classe C¹ si elle est d´erivable par rapport `a chaque variable et si ses d´eriv´ees partielles sont continues.

Classe C² : f fonction de R² dans R est de classe C² si elle est d´erivable par rapport `a chaque variable et si ses d´eriv´ees partielles sont d´erivable et si les d´erives partielle secondes sont conti- nues.

Op´erations : Les sommes, produits, quotients et compos´ees de fonctions de classe C¹ (resp C²) sont de classe C¹ (resp C²) (sous les hypoth`eses habituelles)

- Si h(x, y) = g(f(x, y)) alors ∂h

∂x(x, y) = g⁰(f(x, y))∂f

∂x(x, y) (comme les compos´ees de fonctions de R dans R )

- Nouveaut´e : g(x) =f(u(x), v(x)) alors

g⁰(x) = ∂f

∂x(u(x), v(x))·u⁰(x) + ∂f

∂y (u(x), v(x))·v⁰(x)

N.B. il faut d’abord calculer les d´eriv´ees partielles de f avant del es appliquer `a (u(x), v(x)) Th´eor`eme (Schwarz) : Sif est de classe C² sur un ouvert O alors

∂²f

∂x∂y = ∂²f

∂y∂x en tout point de O.

3.2 D´ eveloppements limit´ es

Th´eor`eme admis : Si f est de classe C¹ en (a, b) alors il existe une fonction ε qui tend vers 0 en (0,0) telle que

f(a+h, b+k) = f(a, b) + ∂f

∂x(a, b)·h+∂f

∂y (a, b)·k+√

h²+k² ε(h, k)

Economie : En n´egligeant le reste, on ´ecrira (notation diff´erentielle) df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy

avecdx =h, dy=k etdf =f(a+h, b+k)−f(a, b) les variations de x, y et de f(x, y). G´eom´etrie : La surface repr´esentative de la partie principale du d´eveloppement limit´e

(x, y)→f(a, b) +^∂f_∂x(a, b)·(x−a) +^∂f_∂y (a, b)·(y−b) est le plan tangent `a celle def en (a, b). Approcher les variations de f par la partie principale du d´eveloppement limit´e, revient `a ap- procher la surface repr´esentative par le plan tangent.

Th´eor`eme : Si f est de classe C² en (a, b) alors il existe il existe une fonction ε qui tend vers 0 en (0,0) telle que

f(a+h, b+k) = f(a, b) + ∂f

∂x(a, b)·h+∂f

∂y (a, b)·k +h²∂²f

∂x² (a, b) + 2hk ∂²f

∂y∂x(a, b) +k²∂²f

∂y² (a, b) + h²+k²

ε(h, k)

4 Extrema

4.1 Extrema locaux

D´efinition : (a, b) est un extremum local (ou relatif) def surDs’il existe un ouvertO tel que (a, b) est extremum absolu surO ∩ D.

Th´eor`eme (Condition n´ecessaire) : Soit f de classeC¹ sur un ouvertO deR². Si f a un extremum local en (a, b)∈ O alors p= ^∂f_∂x(a, b) = 0 et q= ^∂f_∂y(a, b) = 0

Preuve : Si f a un extremum local en (a, b), c’est aussi un extremum local pour les fonctions (x, b)→f(x, b) et (a, y)→f(a, y), sur un intervalle ouvert !

D´efinition : (a, b) est un point critique de f si ^∂f_∂x(a, b) = 0 et ^∂f_∂y(a, b) = 0

G´eom´etrie : Un point critique est un point en lequel le plan tangent `a la surface repr´esentative de f est horizontal.

Ce peut ˆetre un sommet, un col, ou autre chose...

Les extrema locaux sont donc `a chercher parmi les point critiques (pour les fonctions C¹).

Th´eor`eme (Condition suffisante) : Soit f de classeC² sur un ouvertO deR², et (a, b)∈ O.

p, q, r, s, ett notations de Monge.

Si p=q= 0 et rt−s² >0alors f a un extremum relatif en (a, b). C’est un maximum si r <0 (ou t <0) et un minimum sir >0 (ou t >0) Si p=q= 0 et rt−s² <0alors f n’a pas d’extremum relatif en (a, b). C’est un ”col” (selle de cheval)

Si p=q= 0 et rt−s² = 0 alors on ne sait pas.

Exercice : f(x, y) =x²+ 2xy+my²

D´eterminer, suivant la valeur de m, les points critiques et les extrema locaux de f.

4.2 Extrema absolus

M´ethode : Le ou les extrema absolus seront parmi

- les extrema locaux de l’int´erieur qui est un ouvert (m´ethode ci–dessous)

- ou parmi les extrema de la fronti`ere (que l’on cherche en param`etrant la fronti`ere, xfonction dey ou y fonction de x ).

Exercice 5 : D´eterminer les maxima de f(x, y) =x²−y² sur le ferm´e born´e D= [0,1]×[0,1]. M´ethode g´en´erale : f ´etant continue, on sait qu’elle a un maximum global.

On recherche les maxima locaux sur ]0,1[×]0,1[ qui est un ouvert.

Puis sur les bords :I ={(0, y) / y ∈[0,1]},J ={(1, y) / y ∈[0,1]},K ={(x,0) / x∈[0,1]}

etL={(x,1) / x∈[0,1]}.

Plus directement : On a f(1,0) = 1. Si y 6= 0 ou alors f(x, y) < x² ≤ 1 et si x < 1 alors f(x, y) ≤x² <1. Donc pour tout (x, y)6= (1,0) on a f(x, y)<1 et (1,0) est le maximum de f sur D