UPMC 1M001 Analyse et alg` ebre pour les sciences 2013-2014
Feuille 3 : Th´ eor` emes de Rolle et des accroissements finis, d´ eveloppements limit´ es
Exercice 1. Soit f :R → Rd´erivable. On suppose quef0 ne s’annule pas. Montrer que f ne peut pas ˆetre p´eriodique.
Exercice 2. Soienta, b, c∈R.Montrer qu’il existex∈]0,1[tel que 4ax3+ 3bx2+ 2cx=a+b+c.
Exercice 3. Soit f : [a, b] → R de classe C2 et v´erifiant f(a) = f0(a) et f(b) = f0(b). Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel quef(c) =f00(c).
Indice : on pourra introduire une fonction auxilliaire d´ependant def(x),f0(x)etexp(x) Exercice 4. Soitf :R→Rune fonction d´erivable. Montrer que
∀x >0, ∃c >0, f(x)−f(−x) =x(f0(c) +f0(−c)).
Exercice 5. A l’aide du th´` eor`eme des accroissements finis, d´eterminer
x→+∞lim
(x+ 1) exp
1
x+ 1
−xexp
1
x
.
Exercice 6. Soitf l’application d´efinie sur son ensemble de d´efinitionDparf(x) = ln(1 +x)
√1 +x−1. 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinitionDdef.
2. Rappeler les d´eveloppements limit´es `a l’ordre1au voisinge de0 dex7→ln(1 +x)etx7→√ 1 +x.
3. Montrer quef admet une limite en0.
4. Existe-t-il un nombre r´eel l tel que l’application g d´efinie sur [0,+∞[ par g(x) = f(x) pour x > 0 et g(0) =l soit continue sur[0,+∞[?
Exercice 7. Soitf :R→Rla fonction d´efinie parf(x) =
cosh(√
x) six≥0 cos(√
−x) six <0 1. Ecrire les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 4 decos(x)etcosh(x)au point 0.
2. Montrer quef est de classeC1et poss`ede un d´eveloppement limit´e d’ordre 2 en 0 puis le calculer.
Exercice 8. Calculer les limites suivantes : 1. lim
x→0
1
sin2(x)− 1 x2
2. lim
x→0
1
x− 1
ln(1 +x)
3. lim
x→0
ln(cosx)
x2 et en d´eduire lim
x→+∞
cos
1
x x2
4. lim
x→0
(1 +x)1/x−e x 5. lim
x→+∞ln
x
x+ 1
6. lim
x→+∞
√1 +xcos
1
x
Exercice 9. Calculer :
1. le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 en 0 dearctan, 2. le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 1 dearctan, 3. le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0 deln(1 +ex), 4. le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0 de x−sin(x) 1−cos(x).
Exercice 10. On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =ex(sinx+ cosx)−1 1. Calculerf0(x), f00(x)etf000(x).
2. Montrer, en utilisant la formule de Taylor-Lagrange pour f entre0 et un pointx de R, que, pour tout x∈[−π
6,π
6], on a : |f(x)−(2x+x2)| ≤ |x|3. 1
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3. On rappelle quef(x) =ex(sinx+ cosx)−1.
(a) D´eterminer le plus grand intervalleI contenant0sur lequelf est croissante.
(b) D´eterminer l’imageJ de l’intervalleI par la fonctionf. (c) Montrer quef est une bijection deI surJ.
Soitg:J →I l’application r´eciproque def. 4. (a) Calculer la d´eriv´ee degau point0.
(b) On admet quegadmet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre2 en0que l’on note : g(y) =a1y+a2y2+y2(y)
Calculera1, et v´erifier quea2=−1 8 .
(c) Donner l’´equation de la tangente au grapheΓdegau point d’abscisse0. Pr´eciser la position de cette tangente par rapport `a Γ.
Exercice 11. On veut ´etudier la fonctionf d´efinie sur l’intervalleI=]−π/2, π]par :f(x) = ln(1 + sinx) 1. (a) Montrer que f est d´efinie,continue et d´erivable sur I.
(b) Etudier lim
x→−π/2f(x).
2. (a) D´eterminer le d´eveloppement limit´e def `a l’ordre 3 au voisinage de z´ero de la fonctionf.
(b) En d´eduire l’´equation de la tangente au graphe au point(0; 0)et la posi- tion du graphe par rapport
`
a la tangente.
3. (a) Montrer sans calcul quef est croissante sur l’intervalleI1=]−π/2, π/2]et d´ecroissante sur l’intervalle I2=]π/2, π]. D´efinirf(I1) etf(I2)
(b) En d´eduiref(I).f est-elle une bijection de I sur f(I) ?
4. (a) Donner l’expression def0 f00 les d´eriv´ees premi`eres et secondes def et calculer leurs valeurs enπ/2.
(b) Qu’en d´eduit-on ? Le r´esultat ´etait-il pr´evisible ?
5. (a) Montrer qu’il existe un pointcde l’intervalleI1tel quef(c) =−ln 2en ´enoncant le th´eor`eme utilis´e.
(b) c est-il unique ? Pourquoi ? Donner la valeur dec.
6. Donner le tableau de variation def surIen regroupant les r´esultats pr´ec´edents. On repr´ecisera les valeurs def,f0 aux points0, π/2;π. Tracer le graphe def surI.
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