Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360 B
Mardi 30 octobre 2007
Topologie et Calcul Diff´ erentiel Interrogation
Dur´ee 2 heures 30 – sans document
I
SoitEun espace vectoriel norm´e de dimension finie. On consid`ere le sous-ensembleGdeL(E) form´e des applications lin´eaires isom´etriques de E dans lui-mˆeme (c’est-`a-dire des applications lin´eairesT v´erifiant kT xk=kxk pour toutx).
1) Montrer que G est ferm´e et born´e dansL(E) et en d´eduire que G est une partie compacte deL(E).
2) Montrer que si S et T appartiennent `a G, il en est de mˆeme de S−1 et de S−1◦T, et que l’application (S, T)7→S−1◦T est continue deG×G dansG.
3) Soitf une fonction complexe continue surG. Pour toutSdeG, on notefSla fonction continue T 7→f(S−1◦T). Montrer que la fonction (S, T)7→f(S−1◦T) est uniform´ement continue surG×G, et en d´eduire que l’application S7→fS est continue deGdans l’espaceC(G,C) muni de la norme de la convergence uniforme, puis que l’ensemble{fS :S ∈G} est compact dansC(G,C).
II
Soient (En)n∈N une suite d’espaces m´etriques complets et, pour tout n, fn :En+1 →En une application continue. On suppose que, pour toutn,fn(En+1) est partout dense dansEn. On veut montrer que, pour tout ouvert non vide U0 de E0, on peut trouver un ´el´ement z = (zn)n∈N de P =Q
n∈NEn satisfaisantz0∈U0et, pour tout n:fn(zn+1) =zn.
Pour toute partie non vide X d’un espace m´etrique, on d´esigne par diam(X) son diam`etre, c’est-`a-dire diam(X) = supx,y∈Xd(x, y).
1) Montrer qu’il existe un pointx1deE1tel quef0(x1)∈U0, puis qu’on peut trouver une boule ouverteU1deE1centr´ee en x1telle que f0(U1)⊂U0et diam(f0(U1))62−1(utiliser la continuit´e def0 enx1).
2) Montrer qu’on peut trouver un pointx2∈E2 tel quef1(x2)∈U1, puis une boule ouverteU2
deE2 centr´ee enx2telle quef1(U2)⊂U1, diam(f1(U2))62−2et diam(f0◦f1(U2))62−2(utiliser la continuit´e de f1 et def0◦f1 enx2).
3) Montrer par r´ecurrence surnqu’on peut construire un pointxn dansEn et une boule ouverte Un deEn centr´ee en xn satisfaisant fn(xn+1)∈Un,fn(Un+1)⊂Un, et, pour tout p6n:
diam(fp◦fp+1◦. . .◦fn(Un+1))62−n .
4) Pourpfix´e etn>p, on d´esigne parFp,nle sous-ensemble ferm´efp◦fp+1◦. . .◦fn(Un+1) deEp. Montrer que Fp,n 6=∅, queFp,n+1⊂Fp,n et que diam(Fp,n) 62−n. En d´eduire que l’intersection Tn>pFp,n est un singleton{zp}deEp.
5) Montrer que, si p6n,fp(zp+1)∈fp(Fp+1,n)⊂Fp,n et en d´eduire que, pour toutp,fp(zp+1) appartient `a T
n>pFp,n.
6) Montrer que z0∈U0 et que fp(zp+1) =zp pour toutp.
III
Soient E un espace m´etrique compact et (xn) une suite de points de E. On suppose que limn→1d(xn, xn+1) = 0. On d´esigne parA l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (xn).
1) Montrer que Aest une partie compacte et non vide de E.
2) On veut montrer que A est connexe. Montrer que, sinon, on peut trouver deux parties compactes non vides et disjointes X et Y de A telles que A = X ∪Y, qu’il existe un ε > 0 tels que d(x, y)>3εsi (x, y)∈X×Y et unN tel qued(xn, xn+1)< εsi n>N.
On pose alors H = {z ∈ E : d(z, A) > ε}, et on choisit a0 ∈ X et a1 ∈ Y. Montrer que pour tout entier n0 > N, il existe p > n0 tel que d(xp, a0) < ε et q > p tel que d(xq, a1) < ε.
Montrer alors que l’ensembleJ ={n∈[p, q] :d(xn, X)< ε} contientp et nonq, donc poss`ede un plus grand ´el´ement k, qui v´erified(xk, X)< ε etd(xk, Y)>2ε; en d´eduire qued(xk+1, X)>ε et d(xk+1, Y)> ε, et enfin quexk+1∈H. Conclure que H contient une infinit´e de termes de la suite (xn) et en d´eduire queA∩H6=∅, en contradiction avec la d´efinition deH.
Conclure queA est connexe.
D´esormais, on ne suppose plus queE est compact.
Soient (xn) une suite dans E = R v´erifiant limn→1|xn−xn+1| = 0, et A l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (xn).
3) Donner un exemple o`uA=∅.
4) On veut montrer que A est un intervalle. Montrer que, dans le cas contraire, il existerait b ∈R\A,a0 et a1 dans A tels que a0 < b < a1 et ε >0 tel que A∩]b−2ε, b+ 2ε[= ∅. Montrer qu’il existerait alors N tel que |xn−xn+1| < ε pour n > N, puis que pour tout entier n0 > N on peut trouver p > n0 et q > p tels que xp < b et xq > b. Montrer alors comme en 2) que l’ensemble J = {n∈ [p, q] :xn < b} contientp et non q, et que son plus grand ´el´ement k v´erifie xk < b < xk+1 < xk+ε. En d´eduire que [b−ε, b+ε] contient une infinit´e de termes de la suite (xn), donc queA rencontre [b−ε, b+ε].
On veut montrer que le r´esultat pr´ec´edent ne s’´etend pas lorsque E =R2. 5) Pourx>0, on posef(x) =x1/3cos(πx1/3) et, pourx∈R,g(x) = 1
x2+ 1. Montrer que, pour x>1, on a|f0(x)|6 π+ 1
3x1/3 et, pourx∈R,|g0(x)|6 1
1 +x2 61.
En d´eduire que, pour tout entier n>1, on a |f(n+ 1)−f(n)|6 π+ 1
3n1/3, et que pour tout x et tout y r´eels, on a |g(y)−g(x)|6|y−x|.
6) On d´efinit la suite (zn) = ((xn, yn)) dansR2 par xn =f(n) et, en notantk l’entier >−1 tel que k3< n6(k+ 1)3
yn=
Ωg(xn) sik est pair 0 sik est impair Montrer que|xn+1−xn|6 π+ 1
3n1/3, que|yn+1−yn|6 π+ 1
3n1/3 sinn’est pas de la forme k3 et que, si n=k3,
|yn+1−yn|6 π+ 1
3k +g(k.(−1)k) = π+ 1
3n1/3 + 1 n2/3+ 1 . En d´eduire qued(zn, zn+1)→0.
D´emontrer que l’ensemble A des valeurs d’adh´erence de (zn) est contenu dans la r´eunion des ensembles ferm´es disjoints F0={(x, y) :y= 0} etF1={(x, y) :y= 1
x2+ 1}, que (0,0)∈A∩F0
et (0,1)∈A∩F1, et enfin queAn’est pas connexe.
