Comportement d’une suite S 1
Comportement d’une suite
Pour reprendre contact n°1 à 6 p 153
I. Sens de variation d’une suite numérique Définitions
Une suite 𝑢𝑛 est croissante si, et seulement si, pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+1≥ 𝑢𝑛. Une suite 𝑢𝑛 est décroissante si, et seulement si, pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+1≤ 𝑢𝑛. Une suite 𝑢𝑛 est constante si, et seulement si, pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢𝑛+1= 𝑢𝑛.
Propriété
Une suite arithmétique de raison 𝑟 est croissante si 𝒓 > 𝟎, décroissante si 𝒓 < 𝟎 et constante si 𝒓 = 𝟎
La suite géométrique (𝑞𝑛)𝑛≥0 est croissante si 𝒒 > 𝟏, décroissante si 𝟎 < 𝒒 < 𝟏 et constante si 𝒒 = 𝟏 Démonstration (voir page 158)
Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique de raison 𝑟. Alors pour tout 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛+ 𝑟 soit 𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛= 𝑟
Si 𝑟 > 0, pour tout 𝑛 ∈ N, alors 𝑢𝑛+1 > 𝑢𝑛 donc 𝑢𝑛+1≥ 𝑢𝑛 : la suite est croissante.
Si 𝑟 < 0, pour tout 𝑛 ∈ N, alors 𝑢𝑛+1 < 𝑢𝑛 donc 𝑢𝑛+1≤ 𝑢𝑛 : la suite est décroissante.
Soit 𝑣𝑛= 𝑞𝑛 pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑞 > 0. Alors 𝑣𝑛+1= 𝑞𝑛+1= 𝑞 × 𝑞𝑛= 𝑞𝑣𝑛
Si 𝑞 > 1 : comme 𝑣𝑛> 0, on peut multiplier l’inégalité 𝑞 > 1 par 𝑣𝑛 et on obtient 𝑞𝑣𝑛> 𝑣𝑛 soit 𝑣𝑛+1> 𝑣𝑛 pour tout 𝑛. La suite est donc croissante.
Si 0 < 𝑞 < 1 : alors 0 < 𝑞𝑣𝑛< 𝑣𝑛 soit 𝑣𝑛+1< 𝑣𝑛. La suite (𝑞𝑛) est donc décroissante.
Remarque
Une suite peut être ni croissante, ni décroissante.
Par exemple la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢𝑛 = (−2)𝑛 pour 𝑛 ≥ 0 où 𝑢0 = 1; 𝑢1 = −2; 𝑢3 = 4; 𝑢4 = −8….
Exercices n°16 à 30 p 167 - 168
II. Approche de la notion de limite d’une suite
On observe le comportement des termes d’une suite lorsque 𝑛 devient « très grand », c’est-à-dire lorsque « 𝑛 tend vers +∞ ». Si une suite a une limite, celle-ci est unique.
A. Exemples de suites ayant pour limite un nombre réel Une suite (𝑢𝑛) a pour limite quand n tend vers +∞, si les termes 𝑢𝑛 deviennent tous aussi proches de que l’on veut, à condition de prendre 𝑛 suffisamment grand.
B. Exemples de suites ayant pour limite +∞ (ou−∞) Une suite (𝑢𝑛) a pour limite +∞ quand 𝑛 tend vers +∞, si les termes 𝑢𝑛 sont tous aussi grands que l’on veut, à condition de prendre 𝑛 suffisamment grand.
Si on choisit un nombre M quelconque, les termes 𝑢𝑛 seront tous supérieurs à M à condition de prendre 𝑛 assez grand.
De la même façon, une suite peut avoir pour limite −∞, comme la suite (−𝑛2)𝑛≥0
C. Exemple de suite n’ayant pas de limite
Certaines suites n’ont pas de limite. Par exemple, la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢𝑛 = sin 𝑛 pour 𝑛 ≥ 0 représentée ci-contre, n’a pas de limite quand 𝑛 tend vers +∞.
Exercices n°34 – 36 – 38 - 47 – 48 p 169 – 171 Exercices n°76 – 77 – 78 p 175 - 176
