Comportement d’une suite

(1)

Comportement d’une suite

Xavier Hallosserie

Lycée Blaise Pascal

mars 2016

Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 1 / 17

(2)

Sommaire

1.Sens de variation d’une suite numérique 1.1 Définitions

1.2 Étude du sens de variation

1.3 Cas des suites arithmétiques et géométriques

2.Représentation graphique d’une suite récurrente

3.Notion de limite d’une suite 3.1 Limite égale à un nombre réel 3.2 Limite égale à+∞ou−∞

3.3 Suite n’ayant pas de limite

(3)

Sommaire

(4)

Définition 1

(u

n

) est une suite définie sur l’ensemble

N

des entiers naturels.

Dire que (u

n

) est croissante signifie que pour tout entier naturel n, u

n+1>

u

n

;

Dire que (u

n

) est décroissante signifie que pour tout entier naturel n, u

n+16

u

n

.

Exemples :

(5)

Définition 1

(u

n

) est une suite définie sur l’ensemble

N

des entiers naturels.

Dire que (u

n

) est croissante signifie que pour tout entier naturel n, u

n+1>

u

n

; Dire que (u

n

) est décroissante signifie que pour tout entier naturel n, u

n+16

u

n

.

Exemples :

(6)

Sommaire

(7)

Propriété 1 (Différence u

n+1

− u

n

)

Si pour tout entier naturel n, u

n+1−

u

n>

0, alors la suite (u

n

) est croissante ;

Si pour tout entier naturel n, u

n+1−

u

n6

0, alors la suite (u

n

) est décroissante.

Exemple :

u

n

= u

n+1

= n

²−

2n + 1 et u

0

=

−5

(8)

Propriété 1 (Différence u

n+1

− u

n

)

Si pour tout entier naturel n, u

n+1−

u

n>

0, alors la suite (u

n

) est croissante ; Si pour tout entier naturel n, u

n+1−

u

n6

0, alors la suite (u

n

) est décroissante.

Exemple :

u

n

= u

n+1

= n

²−

2n + 1 et u

0

=

−5

(9)

Propriété 2 (Sens de variation d’une fonction) f est une fonction définie sur h

0 ; +∞ h

et, pour tout entier naturel n, u

n

= f(n).

Si la fonction f est croissante sur h

0 ; +∞ h

, alors la suite (u

n

) est croissante ;

Si la fonction f est décroissante sur h

0 ; +∞ h

, alors la suite (u

n

) est décroissante.

Exemple : v

n

= n

−

1 n + 1 pour n

∈N

(10)

Propriété 2 (Sens de variation d’une fonction) f est une fonction définie sur h

0 ; +∞ h

et, pour tout entier naturel n, u

n

= f(n).

Si la fonction f est croissante sur h

0 ; +∞ h

, alors la suite (u

n

) est croissante ; Si la fonction f est décroissante sur

h

0 ; +∞ h

, alors la suite (u

n

) est décroissante.

Exemple : v

n

= n

−

1 n + 1 pour n

∈N

(11)

Propriété 3 (Comparaison de u

_n+1

u

n

et 1)

On suppose que tous les termes de la suite (u

n

) sont strictement positifs.

Si, pour tout entier naturel n, u

n+1

u

n >

1, alors la suite (u

n

) est croissante ;

Si, pour tout entier naturel n, u

n+1

u

n 6

1, alors la suite (u

n

) est décroissante ;

Exemples :

w

n

= n

×

2

ⁿ

pour n

>

1

(12)

Propriété 3 (Comparaison de u

_n+1

u

n

et 1)

On suppose que tous les termes de la suite (u

n

) sont strictement positifs.

Si, pour tout entier naturel n, u

n+1

u

n >

1, alors la suite (u

n

) est croissante ; Si, pour tout entier naturel n, u

n+1

u

n 6

1, alors la suite (u

n

) est décroissante ; Exemples :

w

n

= n

×

2

ⁿ

pour n

>

1

(13)

Sommaire

(14)

Propriété 4

Une suite arithmétique de raison r est croissante si r > 0, décroissante si r < 0.

La suite (q

ⁿ

)

_n>0

est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.

(15)

Propriété 4

Une suite arithmétique de raison r est croissante si r > 0, décroissante si r < 0.

La suite (q

ⁿ

)

_n>0

est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.

(16)

Sommaire

(17)

1 2 3 4 5 6 7 8 1

2 3 4 5 6

0 u1 u2 u3u4

(18)

Sommaire

(19)

Étudier la limite d’une suite (u

n

), c’est étudier le comportement des termes u

n

quand on donne à n des valeurs entières de plus en plus grandes.

(20)

Sommaire

(21)

Sommaire

(22)