Sup PCSI2 — Devoir 2001/04 Introduction
◮La suite deFibonacciest d´efinie par les relationsF0= 0, F1= 1 etFn =Fn−1+Fn−2 pourn>2.
Q1 De combien de fa¸cons peut-on daller une all´ee de 2 m`etres de large etnm`etres de long, avec des dalles de 2 m`etres par 1 ?
Quelques ´egalit´es
◮Pour chacune des questions suivantes, il peut ˆetre int´eressant de calculer les premiers termes de la suite consid´er´ee, et de conjecturer une expression au vu des r´esultats obtenus.
Q2 Donnez une expression simple de Pn= X
06k6n
Fk. Q3 Donnez une expression simple de Qn = X
06k6n
(Fk)2.
Q4 Donnez une preuve g´eom´etrique du r´esultat pr´ec´edent (une preuve que ma grand-m`ere aurait pu comprendre).
Q5 Donnez une expression simple de Rn=Fn+1Fn−1−(Fn)2. L’´egalit´e obtenue est attribu´ee `a Cassini. Q6 Donnez une expression simple de Sn= (Fn)2+ (Fn+1)2.
Q7 Donnez une expression simple de Tn = (Fn+1)2−(Fn−1)2. Q8 Donnez une expression simple de Un= X
16k<2n
FkFk−1. Q9 Donnez une expression simple de Vn = X
16k6n
F2k−1. Q10 Donnez une expression simple deWn= X
06k6n
F2k. Q11 Donnez une expression simple deXn= X
062k6n
Ckn−k. Q12 Donnez une expression simple deYn= X
06k6n
CknFk. Q13 Donnez une expression simple deFk+1Fn+1+FkFn.
Q14 Avec un t´elescopage, donnez une expression simple deZn= X
16k6n
1 FkFk+2
. D´eterminez alors la limite de la suite de terme g´en´eralZn.
Expression deFn
Q15 Avec la m´ethode vue en cours, exprimezFn en fonction deτ =1 +√ 5 2 et−
1 τ =1−
√5 2 . Q16 Montrez queFn est l’entier le plus proche de τn
√5. Q17 D´eterminez la limite de la suite de g´en´eralsn = X
16k6n
(−1)k FkFk+1
.
[Devoir 2001/04] Compos´e le 1er mai 2004
