L'Enseignement de la Géométrie
« Au lieu de nous f a i r e trouver desdémonstra-tions, on nous les dicte ; au lieu de nous apprendre à raisonner, le maître raisonne pour nous et n'exerce que notre mémoire. » Les Emile ne manquent pas dans nos écoles techniques du premier degré, mais ils ont pour la chose enseignée la plus grande consi-dération et, pour celui qui l'enseigne, estime et amitié. Aussi, dès novembre, nous écoutent-ils avec la plus grande attention... raisonner à leur place. E t lorsque nous tentons de les f a i r e participer à nos ébats dans la pure logique, nous constatons avec peine que, malgré notre enthousiasme, notre foi, la chaleur de notre enseignement, ils y f o n t piètre figure.
Soyons loyaux et reconnaissons, en hommes de bonne volonté, que notre enseignement de la géo-métrie n'a pas toute l'efficience qu'il devrait avoir. Pourquoi ? Laissons à Rousseau le soin de nous le dire : « J ' a i dit que la géométrie n'était pas à la portée des enfants, mais c'est notre f a u t e. Nous ne sentons pas que leur méthode n'est point la nôtre et ce qui devient pour nous l'art de raisonner n'est pour eux que l'art de voir. » Devons-nous nous laisser aller au découragement, devons-nous laisser p a r t i t nos élèves avec l'idée que la géométrie est une science hermétique, hors de leur entendement ? De nos désillusions, de nos échecs, de nos efforts, doivent naître les moyens de mettre à la portée de l'immense majorité de nos élèves cette géométrie, clef de la nature, selon la forte expression d'Alain.
Les semaines pédagogiques sur l'enseignement des mathématiques, la confrontation des idées, la divulgation dans une revue des méthodes et appa-reillages expérimentaux mis en œuvre, ne peuvent être profitables qu'à tous, maîtres et élèves.
Cet essai de concrétisation d'un enseignement trop abstrait, qui souleva t a n t d'opposition, n'avait en soi rien de révolutionnaire, ni surtout de nouveau. « L'enseignement de la géométrie a pour but de classer et de préciser les notions acquises par l'observation, d'en déduire d'autres et de montrer leurs applications à des problèmes qui se posent dans la vie. On doit donc partir du réel pour aboutir
au réel... Beaucoup de vérités géométriques essen-tielles peuvent être mises en évidence au moyen des exercices de géométrie expérimentale. » (Instruc-tions officielles pour les E.P.S., 30 septembre 1920).
Le g r a n d géomètre H a d a m a r d , à peu près à la même époque, se prononce dans le même sens. « L'enseignement de la géométrie a subi, non plus seulement dans ses détails, mais dans tout son esprit, des modifications profondes depuis long-temps attendues et universellement réclamées. On tend à le f a i r e reposer pour les commençants sur la pratique et l'intuition, et non plus sur la méthode euclidienne dont ils sont incapables de comprendre l'utilité. » (Leçons de géométrie, préface 2° édition). C'est peut-être à l'illustre Clairaut qu'il f a u t attribuer l'idée pédagogique « d'accrocher les m a -thématiques au réel ». E n exposant ses réflexions sur l'origine de la géométrie, il est conduit à penser qu'il f a u t f a i r e suivre a u x débutants une route voisine de celle suivie par les anciens mesureurs de terrains. « On me reprochera peut-être en quelques endroits de ces éléments, de m'en rapporter trop au témoignage des yeux et de ne pas m ' a t t a c h e r assez à l'exactitude rigoureuse des démonstrations. Je prie ceux qui pourraient me f a i r e un pareil reproche d'observer que je ne passe légèrement que sur des propositions dont la vérité se découvre pour peu qu'on y fasse attention. Euclide avait à convaincre des esprits obstinés, qui se faisaient gloire de se refuser aux vérités les plus évidentes. Mais les choses ont changé de face. Tout raison-nement qui tombe sur ce que le bon sens seul décide d'avance est aujourd'hui en pure perte et n'est propre qu'à obscurcir la vérité et à dégoûter le lecteur.» ( P r é f a c e des Eléments.)
Les difficultés de l'enseignement de la géométrie n'ont p as échappé aux éducateurs de tous les temps. Clairaut pense qu'il peut être facilité en ne la détachant pas de la réalité dont elle est issue. Ce n'était pa s l'avis d'Euclide. Son royal élève, le P h a r a o n Ptolémée, trouvant les démonstrations de son m a î t r e trop compliquées, essaya, mais en vain, d'obtenir en sa faveur un aplanissement des
cultés de la route. « Seigneur, lui fut-il répondu, il n'y a pas en géométrie de chemin particulier pour les rois. » Oui, m a i s Euclide avait à se défendre contre les sophistes et ne pouvait le faire mieux que par une extrême rigueur dans ses démons-trations.
Le problème est tout autre pour nous, surtout dans notre enseignement technique du premier de-gré. Il ne s'agit pas plus de former des m a t h é m a-ticiens éminents que de convaincre des auditeurs prêts à tout nier systématiquement. Il s'agit, tout en f a i s a nt acquérir à nos élèves les connaissances indispensables à la pratique intelligente de leiiv profession, de leur apprendre à observer, réfléchir, raisonner juste. Les élèves qui échappent à notre enseignement sont ceux qui ne veulent pas appren-dre et ceux qui ne le peuvent pas. Les premiers ne fréquentent p a s nos écoles. Les autres, ceux qui n'ont p a s d'aptitude particulière pour les mathé-matiques, nous sollicitent totalement. Nous devons nous appliquer entièrement à les leur enseigner avec persévérance et ingéniosité. Il est trop facile de dire : « C e t e n f a n t manque d'intelligence», pour masquer notre impuissance. P a r là même, nous nous condamnons, s'il est vrai, comme le pense Henri Poincaré, que tout être normal peut com-prendre les éléments des mathématiques.
Quelles sont les raisons de nos insuccès ?-Elles tiennent d'abord à notre nature. Les hommes et davantage les e n f a n t s sont peu enclins à l'effort soutenu. Les questions qui se présentent au départ en géométrie sont aisément accessibles à une intel-ligence moyenne, car elles résultent d'une série de généralisations antérieures. Mais elles s'enchaînent d'une manière rigoureuse. Une attention constante est nécessaire pour suivre cet enchaînement. Nos enfants, après les années d'épreuves qu'ils viennent de supporter, sont moins que j a m a i s capables de la fournir. Elles tiennent surtout à la peine de l'enfant à apprendre des définitions abstraites qu'il ne rattache à rien, à suivre des démonstrations sou-vent compliquées dont il ne voit pas la nécessité. Les relations d'inégalité dans le triangle, pour ne citer qu'un exemple, sont absolument intuitives et les démonstrations qui peuvent en être données ne sont propres « qu'à obscurcir la vérité ». Il f a u t donc soutenir l'attention de l'enfant et on ne s a u r a i t mieux y parvenir qu'en éveillant son intérêt par l'évocation de f a i t s f r a p p a n t son imagination. L'expérience y réussit admirablement dans l'étude des sciences physiques. On lui reproche surtout d'amuser. T a n t mieux ; l'enfant reposé pourra alors prêter une plus grande attention. Un excellent moyen de l'amener à nous la refuser est de lui proposer une accumulation inconsidérée d'inutiles théorèmes. La géométrie doit être à la fois pour nous un but et un moyen, mais il ne f a u d r a i t pas que cela nous incite à l'étudier uniquement en elle-même et pour elle-elle-même. D'autre part, enseigner c'est répéter, m a i s il ne f a u t p a s laisser venir l'ennui. L ' e n f a n t demande que son intérêt soit sans
cesse excité. Amenons-le à nous prêter son atten-tion, mais ne dépassons p a s ses possibilités.
Comment y parvenir ? La géométrie est née de l'expérience. Les Grecs l'édifièrent en t a nt que science et, à la différence des peuples anciens, por-t a n por-t leurs efforpor-ts à la résolupor-tion des problèmes pratiques, ils l'estimèrent surtout pour son rôle dans la formation intellectuelle. De toute évidence, il ne f a u t pas se priver de cet admirable instrument qui habitue les e n f a n t s à la précision, à la rigueur, et les éloigne du parti-pris, de l'arbitraire. Mais il ne f a u t pas leur laisser ignorer qu'on peut en retrouver partout les premiers éléments et d'abord dans les ateliers que nos élèves fréquentent aussi longtemps que nos classes. Il y a de la géométrie partout, disait Leibnitz. Oui, m a i s il f a u t amener l'enfant à s'en rendre compte. Il f a u t aider le f u t u r géomètre à se réaliser et, après de multiples obser-vations, l'aider à passer du concret à l'abstrait. Clairaut pensait que la géométrie devait être ensei-gnée en deux temps. D'abord par la méthode natu-relle, observation et expérience. Ensuite, après ce premier contact donnant des idées claires et évitant à l'enfant l'effort d'assimilation exigé par les rai-sonnements abstraits, par la méthode euclidienne.
Il est difficile, chez nous, en trois a n s de scola-rité, d'observer ces deux cycles.
Mais ne peut-on essayer de les fondre harmo-nieusement et de créer des méthodes propres à l'en-seignement technique ? P a r t i r de l'observation, du réel, puis, par l'expérience, f a i r e découvrir par intuition certaines propriétés. L ' e n f a nt sera amené progressivement au raisonnement, car il exigera vite la certitude que celui-oi seul peut donner. Dès lors, le but est atteint, puisque la nécessité de la démonstration s'impose, elle sera bien acceptée. Il serait tout aussi néfaste de vouloir tout montrer par l'expérience que de vouloir tout démontrer. Le raisonnement doit permettre de dépasser les résul-t a résul-t s donnés par l'expérience, celle-ci n ' é résul-t a n résul-t urésul-tilisée que pour soutenir l'attention, exciter la curiosité. En définitive, s'élever du particulier au général, f a i r e découvrir les définitions abstraites, fair e sa p a r t à l'expérience, ne p a s tout démontrer systé-matiquement, m a i s seulement lorsque l'élève exige la démonstration ou est en mesure de la comprendre; donner enfin des exercices de contrôle concrets, accessibles à la plupart et non aux meilleurs, per-m e t t a n t à l'enfant de se rendre coper-mpte que tout effort produit un résultat.
J'essaierai de montrer, dans un prochain article, comment on pourrait appliquer les principes pré-cédents dans un Collège Technique. J e f e r a i égale-ment p a r t d'une expérience en cours à l'E.N.N.A. de Nantes, expérience m o n t r a n t n o t a m m e n t l'aide que peuvent et doivent se prêter les m a î t r e s des différentes disciplines d'une même Ecole Technique.
L A B A R T H E
Professeur au Collège Technique de Nantes chargé de cours à l'E.N.N.A.
