ARTheque - STEF - ENS Cachan | La traction

la

traction

..

par m.t ar dive au s o usvdir e ctau r ENSET

Le but de cet article est de montrer comment il est possible de transposer. une leçon du niveau de la mattrise au niveau du lycée" tout en conserVant lâ structure" mais en n'utilisant que des for-mul.atrione compréhensibles par des él-ëvee de Lère,

Le texte pourrait servir de

b~~e

à

u~e

leçon d'agrégation ou à une leçon effectiverrent faite. en fin de classe, de Lère,

A- Au niveau de. L'enseignement supérieur, on établit ci'abord la loi

fondamental.e des lllili~ux curVlM-g~es.:

~ dR ds ~ dM ds + -+ f

=

o

=

o

R

et

M

étant les ê lêmeut s de réduction en G des torseurs

c.aracté-risant les efforts 'intérieurs à un mi.l i.eu curviligne (fig

n.

On monüre ;:q~e, compte tenu de l "hypochêse de N'a,yie;~ BERNOULLI

. . .

1·,°) les'déplacements (fig 2) sont caractêri së s pat un

tor-seur d'éléments de réduction en G :

-+

W rotation de la section droite_{,.:,1 .... '··}

j

tt

déplacement du point G

" ' , ' , . 2°):1'es' odéfbtniat'ÏbtJ:sétaiitcat'actérisêes, e l'l.es, pat le

torseur dérivé du précédent par rapport à s (abscisse curviligne

caractérisant G)

...

~

~

=

...

dw. ds -+ _dtt -+ ~

E.

=

-

+ 'tA W ds.

Les éléments précédents sont liés pa~ l~s lois de comportement

qui peuvent s'écrire, en projetant ~,M,

1

,l

sur un trièdre

G

1.,

ft}3 (avec

11

=

t

et (ift JGf) axes principaux d'inertie

de la section droite de la poutre passant par G) :

RI =alE.J. R₂ ... a₂

e

2 MI. = b_l rI M_{2 ... b2} ~2 où _al = E 8 a 2 = G 82 b l = G IG b2 ... E 12

avec E et G modules d'Young et de Coulomb des matériaux

8 aire de la section droite

8

2 et 83 grandeur équivalente à une aire

I

G, 12, 13 moment d'inertie de la section par rapport à

G, G

Tl-

et G ,.

On termine en retrouvant les lois de comportement des milieux

curvilignes à partir de la loi de co~porte~ènt desmi1ieus â

trois dimensions, à savoir .:

'. 13

e .

'=

.L-13 . 2G·'

6

11 = tS"

-

~

-

(Ir22 + ~ ) E 11 E 33

. ê

₂₂ = ()

-

1-

( cr

33

+ Ô

u

) E 22 E ~.- -,' . ,~! ë;.:.: :, 1 (Ç"33

-

i

( ($"'11 + _Cf"22 ) =

...

33 ,E E

tE

12 Il:

.I:Jl.

2G

.r

23

11-

2G'

qui est la loi .de HOOIΠ.

On peut alors expri.mer les contraintes en un point de la sec don

droite en fonction des éléments de ·rêduction dès efforts in~é,rieu!rs"

Le cheminement exposé

ai~des8u8

Sera proposé

pour

une .aZà8seau

niveau du Zyoée, pour Zes

8oZZi~itations

simpZes..

-

~

'

c

-'

R

B

-Ma

schématisation d'un milieu' curviligne et des efforts intérieurs à un tel milieu.

"""

-;.~:4

. tlF

_M =:

s:

-

-

' .

G'"(M,"C

L

est le

vec~~:~,f

contrainte au point M pour une

-

A

•

A

_G..

..

-

₈

lIlIl

-

A

A

,

_ ....~I---...--..--~..iIII" . . .

-Na..,

No,t

La définition de la traction pure montre que, én l'absence d'efforts extérieurs, la ligne caractéristique doit être droite et l'effort normal constant.

t

x.

j1i~=j

.:x. .. 1f lB

•

-

Gex." )

G(x.)

-.

B

A

_-NIx.;1)

_N

fx.)

~9'

5

équilibre d'un morceau quelconque de poutre

G

₁ :x.1) G(:lC. ,B Avo.n~ de~

,

.

-

....

Ulxùl U(x.)

J

1

l

A

)

Ci &

Ap"'~fo

dJJ.

caractérisatibn de la variation du déplacemênt' d'un point en fonction de son abscisse

1 1

,N..

_{... 1} N

_...

_{' 1}

..

~ ...,~

Mi

1 M

...

...

...

....

G..

G

déplacement d'un point quelconque d'une section circulaire

B - Leçon de Première (environ 3heures)

- RAPPELS

)- g2~~E~ : (fig 1)

Volume engendré par une surface plane (S) dont le centre

de gravitéG, décrit une courbe (C), le plan (rr) contenant (S)

restant perpendiculaire à (C) en G.

Les dimensions de la surface S sont petites par rapport au rayon de' courbure en tout point de la courbe C ; elles varient

peu et de façon continue quand G décrit

(C).

Chaque section droite est caractérisée par l'abscisse

cur-viligne s de son centre de gravité mesurée sur la courbe (C)

orien-tée.

2- Contraintes et éléments de réduction des efforts intérieurs

---+

~ étant le vecteur unitaire tangent en G à la courbe (C)

La densité de force intérieure ou contrainte est mise en évidence par une coupure faite, en général, suivant une section

droite (S)

En écrivant l'équilibre de la partie de ,la partie de la poutre

constituée des points d'abscisse ~> S et en tenant compte du

théorème des actions réciproques, on~btient

(fig 3)

..

=

N effort normal ~

=

T effort tranchant -+

=

M moment -de torsion

t -+ flexion

=

M moment de f 4> ~ R - N -+ ...,. ~ (MG. OC) 'Z: -+ ... MG - Mt

des forces extérieures sur la partie de poutre par 6'

>.5

-+ -+ ... (R •t') "C système définie ainsi : ~ ~ ~ A F (M)

=

6"

(M, ~) A S Or\. définit F e~(»s -+

-+

-+ ~ (AF)

=

R ( F <S"

>

s ) e ..

-.

...

...

MG(AF)

=

M ( F ) G e ..,.'~

>

s

...

_{R résultante}

1

1

3- !!XE~E~~~~~

:

a) linéarité, petites déformations

b) hypothèse de Navier BERNOULLI : les sections droites

restent planes et perpendiculaires à la courbe (C) après

défor-mation.

c) principe de St Venant : une partie de poutre étant iso~

lée, les contraintes dans une section droite située loin des points d'application des charges ne dépendent que des éléments de réduc-tion de ces charges au centre de gravité de la secréduc-tion.

II - DEFINITION DE LA TRACTION PURE - CONSEQUENCES

~~E.ÜÜJ:i:~g

Une poutre est soumise à la traction pure si, quel que soit G, les

éléme~t~de réduction du système des forces intérieures se

rédui-sent a N.

a) Supposons qu'il n'y ait pas de charge répartie

poutre. La continuité demande 5.ue le~ actions ext.!rieutes

trémités de la poutre soient

A

= - NA

B

= + NB' (fig

sur la aux ex-4)

En isolant une on doit avoir 1

G

Pour réaliser cette dernière égalité vectoriëlle.; il faut que N soit constant et que la ligne AB soit droite. (fig 4)

b) On montre que la ligne caractéristique..doit être encore

droite si les charges réparties sont de la' forme f =

ft

c) On peut encore avoir traction pure si les charges ré-parties sont quelconques, mais la ligne caractéristique n'est plus droite (exemple:chainette).

tr r -

LOI FONDAMENTALE DE LA TRACTION PURE :

Nous nousJlaceronsd~ns le cas. ~ù les charg

_7s

réparties

sont de la forme l'

=

f~ et ou, par consequent, la l~gne

carac-téristique est droite.

Nous noterons X l'abscisse curviligne de G (fig 5)

Isolons Une petite. portion de poutre pour laquelle f(x)

On a, en écrivant l'équilibre de cette portion N(x) - N(x l) + fm(x) (x-xI)

=

0 N(x).~ ,N(x_{l )} + f (x)

=

0 m x - x 1

Par définition de la dérivée en xl de la fonction N de la varia-ble x

~(l5fl=

-

f

(x-e)

dx

en tout point on a donc -dN = - f

dx

c'est la loi fondamentale de la traction.

Remarque si f ... 0 N

=

C C =, constante

si f = Cte ==~ N(x) = -a'7x + C C

=

constante

Les constantes figurant dans N sont déterminées en

écri-vant que, aux extrémités de la poutre, i l y a continuité entre

effort normal et charges extérieures.

Exemple : poutre verticale soumise seulement à son propre poids

N(l)

=

0

IV - ALLONGEMENT UNITAIRE

o

=

-art

+ C

N(x)

=

~ (1 - x)

C

=

1

Appelons u (Xl) le déplacement du pointG

I d'abscisse xl

,et comparons le au déplacement d'un point G voisin (fig 6)

.».

x - x

1

représente le taux de variation de'û entre les abscisses x et xI

"

Par

définition; l'allongement unitaire i,.(x)

est

la limite de ce

t.aux de variation

i(x)

= -

du (x)

dx

~

Laiconnaf asance de la fonction i de la variable.!.. renseigne sur les

v -

LOI DE COMPORTEMENT POUR LA TRACTION PURE :

En élasticité linéaire N et i sont liés linéairement.

On a N

=

a i a

=

constante

L'expérience montre, et nous allons essayer de la

justi-fier, que a

=

ES, E étant le module d'Young du matériau et S la

surface de la section droite.

On peut écrire N(x)

=

ES(x) i(x)

La loi de comportement nous permet de déterminer i(x), donc u(x) , quand on connait les forces extérieures et donc N(x) par la loi fondamentale.

Exemple : poutre soum1.se à son propre poids en supposant la

sec-tion constante i(x) = N(x) = m- ( 1 - x ) ES ES ( lx - 2 ) + C u(x) -co- x ES 'L avec u(o)

=

0 u(x)

₌

~( lx - _x2 ) , ES Z.

Déplacement de l'extrémité de la poutre

VI - ETABLISSEMENT DELA

,LOr

DE COMPORTEMENT

Nous, supposerons que la section droite est un cercle.

AllQt;lgements unitaire~ en un point M quelconque de la

section

Deux hypothèses vont nous permettre de les préciser

1) l'hypothèse de Navier Bernoulli

2) l' hypothèse de' symétrie de révolution (un point se'

déplace dans le plan qu'il forme avec l'a~e de la poutre) (fig 7)

L'hypothèse de Navier Bernoulli nous permet de dire que :

u·

(M)

x 1

u (M) = u (N) = u (G)

x x x

On peut ainsi définir

C

(M) ::: du_x (M)

xx

dx

comme on a défini i(G)

et écrire que

:~

xx (M)

=

C

xx (N)

=

't..

(G)

ê

_yy = ~y

=

dy u (N) Y - uy y (M)

e

renseigne sur les variations de u pour les points situés

e

yy y

dans une section donnée.

Relation entre les contraintes et l'effort normal

---.

Appelons~ la composante du vecteur contrainte\I(M)

";t)

sur la direction

X?

Par définition : N

=

L

\J

(M).fJS

Mf.5 xx

E

Dans le cas de la traction, elle s'exprime par

E

(M)

=

\l

xx (H)

xx

E

E

yy (M) =

-l-

\T

xx (M)

~

coefficient de Poisson du matériau.

) 0)

E

(M) =

t

(N)

xx xx

entraine: ~ (M)

xx

=

i (M et N appartenant à la même section)

=

\ï

(N)

=

~

xx

La contrainte ~ est donc constante dans une section droite.

xx

On peut écrire N

=

Z

\;""

(M) /) S

_'"

\l

L

ÂS

MIs

xx ~S

N =q-S

\\=..!i

S

La loi de Hooke s'écrit donc

.

.

i

₌

Ji

SE

qui donne la loi-de traction simple.

ce comportement en 20 ) ~.

3>

N constante .

-

--

-

_{est une en y} yy E S

.M.-y = - - - -

~N

y ES