COURS 08 PROBABILITES 2020 2021

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CHAPITRE 8

PROBABILIT´

ES

⊙

La théorie des probabilités est une mathématisation de l’incertitude des phénomènes. On a joué aux dés depuis l’antiquité en Égypte, en Mésopotamie, en Inde il y a 5000 ans, mais aussi aux cartes en Chine, Inde, Arabie et Égypte et beaucoup plus tard à Venise, Nuremberg et Paris au XIVe _si`_ecle.

Le véritable début de la théorie des probabilit´_{es date de la correspondance entre Pierre de Fermat et} Blaise Pascal en 1654 au sujet d’une désormais célèbre question posée par le chevalier de M´eré au sujet du problème des partis et du lancer de deux dés. Le trait´_{e de Huygens, qui fait le point sur cette question,} est resté le seul ouvrage important de la théorie des probabilités jusqu’au début du XVIIIe_si`_ecle.

Abraham de Moivre publie en 1718 The Doctrine of Chances contenant des problèmes combinatoires dont la formule de Stirling, des probabilités conditionnelles ainsi qu’une approximation de loi normale par une loi binomiale, c’est la première version du théorème central limite dit théor`_{eme de Moivre-Laplace.}

Puis Jacques Bernoulli énonce la loi des grands nombres, nommée ainsi plus tard par Poisson. Nicolas Bernoulli publie en 1711 sa thèse de doctorat o`u apparaˆıt pour la première fois la loi uniforme discr`_{ete et enfin Daniel Bernoulli étudie, autour de 1732, des applications du calcul des probabilités aux} problèmes d’assurance, à l’astronomie, au calcul d’erreur ou au paradoxe de Saint-Pétersbourg.

Joseph-Louis Lagrange publie vers 1770 un mémoire contenant des problèmes de durée d’un jeu de hasard et utilisant des lois continues. Débute alors la considération du caractère continu des probabilités. Au début du XIXe_si`_{ecle, Laplace publie son traité intitulé Théorie analytique des probabilités dans lequel} il présente des résultats asymptotiques étant ainsi un des premiers ouvrages à distinguer des énoncés de principes probabilistes aux estimations des probabilités observées à la suite d’une expérience.

La théorie des probabilités va prendre un nouvel essor vers le début du XXesiècle grâce à l’introduction du concept de mesures qui apparaissent sous différentes d´_{efinitions suivant les travaux de Georg Cantor} en 1884, de Giuseppe Peano en 1887 ou Camille Jordan en 1892. Mais c’est à ´Emile Borel que l’on attribue la paternité de la th´eorie de la mesure avec l’introduction d’ensembles de mesure nulle en 1897, et de la classe des parties appelées bor´eliennes depuis. En 1901, Henri-L´_{eon Lebesgue utilise cette théorie de} la mesure pour développer la théorie de l’intégration qui généralise l’int´_{egrale de Riemann. Sous limpulsion} de Johann Radon en 1913, cette théorie se généralise sur Rn _{puis sur un ensemble plus abstrait Ω muni} d’une tribu.

C’est `_{a partir de 1930 que Andre¨ı Kolmogorov fonde mathématiquement la théorie des probabilités} en posant les trois axiomes des probabilités qui la définissent de manière rigoureuse et consistante.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : ensembles

- 1 : équipotence (HP). . . .page 112 - 2 : ensembles finis. . . .page 112 - 3 : applications et cardinaux. . . .page 113 - 4 : dénombrement. . . .page 114 - 5 : ensembles dénombrables (HP). . . .page 115 Partie 2 : espace probabilis´e

- 1 : tribu. . . .page 116 - 2 : probabilit´e. . . .page 117 Partie 3 : conditionnement et ind´ependance

- 1 : probabilité conditionnelle. . . .page 119 - 2 : évènements indépendants. . . .page 121

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PARTIE 8.1 : ENSEMBLES

8.1.1 : ´

Equipotence (HP)

⊙

On admet connu l’ensemble N muni de ses deux lois internes + et × avec leurs propriétés respectives (neutre, commutativité, associativité) et croisées (distributivité), de ses deux ordres6 (total) et | avec leurs compatibilités vis-à-vis de + et ×. Le principe de récurrence fait partie de ces propriétés de base de N.

TH ÉOR ÈME SUR LES EXTREMA DES PARTIES DE N (ÉNORME) 8.1 :

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément (un minimum) et toute partie non vide majorée admet un plus grand élément (un maximum).

D ´EFINITION 8.1 :

On dit que deux ensembles non videsE etF sont ´equipotents, not´eE∼F, s’il existe f:E→F bijective.

EXEMPLE 8.1 : • Il est clair que N ∼ N∗ grˆace `a l’applicationn7→n+1. • R ∼]−π

2; π 2

[

par l’interm´ediaire de la fonctionArctan.

REMARQUE HP 8.1 :

• Cette relation d’équipotence est réflexive, symétrique et transitive mais ce n’est pas une relation d’´_{equivalence car il n’existe aucun ensemble contenant tous les ensembles (voir paradoxe de Russell).} • On admet le théorème de Cantor-Bernstein qui affirme que, pour deux ensembles E et F, s’il existef:E→Fetg:F→Einjectives, alors EetFsont équipotents.

8.1.2 : Ensembles finis

SoitE un ensemble, on dit que Eest fini si E=∅ ou s’il existe un entiern∈ N∗ tel queE∼ [[1;n]]. On dit que E est infini dans le cas contraire.

REMARQUE 8.2 : SiE̸= ∅ est fini, on montre que ∃!n∈ N∗, E∼ [[1;n]].

SoitE un ensemble fini, on d´efinit son cardinal, not´e card (E) ou |E| ou #E, par : card (E) =0siE=∅ ; card(E) =no`un est l’unique entierntel queE∼ [[1;n]] sinon.

REMARQUE 8.3 : • Pour deux entiersa6b, on a card ([[a;b]]) =b−a+1.

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ENSEMBLES 113

PROPOSITION SUR LES PARTIES DES ENSEMBLES FINIS 8.2 : Pour deux ensembles non vides finis E etF : (E∼F)⇐⇒(card (E) = card (F)).

SoitE un ensemble fini, alors toute partie Ade E est finie et on a card (A)6 card (E). De plus, si A⊂E, on aA=E⇐⇒ card (A) = card (E).

REMARQUE 8.4 : • Toute intersection et toute r´eunion finie d’ensembles finis est finie.

• Soit, pour une partie A d’un ensemble E, la fonction indicatrice (appelée aussi fonction car-actéristique) deA, notée11A, par11A(x) =1six∈Aet 11A(x) =0six∈E\A.

• SiE est fini, on a∀A∈P(E), card (A) = ∑ x∈E

11_A(x).

• AlorsA=B⇐⇒11A=11B, etA⊂B⇐⇒11A611B, puis11E=1et11∅=0(fonctions constantes). • SiAetBsont des parties deE,11A∩B=11A11B et 11A∪B=11A+11B−11A11B.

• En notant Ale compl´ementaire deAdansE,11

A=1−11Ad’o`u11A\B=11A−11A11B et en sommant les images de tous lesx∈E: card (A) = card (E)− card (A) et card (A\B) = card (A)− card (A∩B).

PROPOSITION SUR LE CARDINAL D’UNE R ´EUNION 8.3 :

SoitAetBdeux parties d’un ensemble finiE, alors : card (A∪B) = card (A) + card (B)−card (A∩B).

8.1.3 : Applications et cardinaux

TH ÉOR ÈME SUR DES CONDITIONS D’INJECTIVIT É ET DE SURJECTIVIT É 8.4 : Soit f:E→Fune application avec E ensemble fini, alors on a :

• Im(f) est fini et card (Im f)6 cardE ; de plus, card (Im f) = card (E)⇐⇒finjective. • siF est fini on a card (Im f)6 cardF ; de plus, card (Im f) = card (F)⇐⇒f surjective.

PROPOSITION 8.5 :

Si f:E→Fest une application entre deux ensembles finis :

finjective =⇒ card (E)6 card (F) ; fsurjective =⇒ card (E)> card (F) ; f bij. =⇒ card (E) = card (F).

REMARQUE 8.5 : D’o`_{u le principe des tiroirs de Dirichlet : si deux ensembles} Eet Fsont finis et si card (E)>card (F) alors il n’y a pas d’injection deEdansF(trop de chaussettes pour les tiroirs).

TH ÉOR ÈME SUR UNE CARACT ÉRISATION DE LA BIJECTIVIT É POUR UNE APPLICATION ENTRE ENSEMBLES DE M ÊME CARDINAL ( ÉNORME) 8.6 :

Soit f :E →F une application entre deux ensembles finis de mˆeme cardinal (en particulier si

E=Ffini), alors on a : f injective⇐⇒ fsurjective ⇐⇒ f bijective.

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8.1.4 : D´

enombrement

PROPOSITION SUR LE CARDINAL D’UNE R ´EUNION DE PARTIES 8.7 : Soitn∈ N∗ etE₁,· · ·, E_n ensembles finis disjoints deux `a deux : card

( ∪n k=1 E_k ) = n ∑ k=1 card (E_k).

REMARQUE 8.7 : • Si {E₁,· · ·, E_p} constitue une partition deEfini : n ∑ k=1

card (E_k) = card (E). • Soit p∈ N∗, E et F deux ensembles finis et f:E→F qui v´erifie : ∀y ∈F,y poss`ede exactement p

ant´ec´edent(s). Alors card (E) =pcard (F) (lemme des bergers).

PROPOSITION SUR PRODUITS CART ´ESIENS ET ENSEMBLES DE FONCTIONS 8.8 : SoitE,Fdeux ensembles finis de cardinaux respectifsn,p, alors E×Fest fini et card (E×F) =np. Par r´ecurrence, Em est fini pour m∈ N∗ et card (Em) =nm.

SoitE et Fdeux ensembles finis de cardinaux respectifs n etp, alors card (F(E, F)) =pn.

REMARQUE 8.8 : Cela justifie la notationFE pour les familles d’éléments deFindexées parE.

PROPOSITION SUR LES ARRANGEMENTS ET PERMUTATIONS 8.9 : SoitE et Fdeux ensembles finis de cardinaux respectifs n etp avec n6p. Il y a exactement An_p= p!

(p−n)! injections de E dans F.

Il y a aussi An_p n-listes (oun-uplets) d’´el´ements distincts deF.

SoitE un ensemble fini de cardinal n, alors il y a exactement n! permutations de E.

REMARQUE 8.9 : • Le nombre de surjections entre ensembles finis est plus difficile à établir. • En mettant en bijection les parties de Eet les fonctions caractéristiquesf∈F(E,{0, 1}),...

PROPOSITION SUR LES PARTIES D’UN ENSEMBLE ET COMBINAISONS 8.10 : SoitE un ensemble fini de cardinal n,P(E) est fini et card(P(E))=2n.

SoitE un ensemble fini de cardinal n etp∈ [[0;n]], alors en notantPp(E) l’ensemble des parties de E à p éléments, on a Pp(E) fini et card

( Pp(E) ) = n! p!(n−p)!.

REMARQUE HP 8.10 : Plus g´en´eral, si (Ak)16k6n est une famille de parties d’un ensemble finiE: card ( ∪n k=1 Ak ) = n ∑ k=1 (−1)k+1( ∑ 16i1<···<ik6n card ( ∩k j=1 Aij ))

(formule du crible ou de Poincar´e).

Si (n, p)∈ N × Z, on d´efinit le coeﬃcient binomial ( n p ) = n! p!(n−p)! sip∈ [[0;n]] et ( n p ) =0sinon.

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ENSEMBLES 115

PROPOSITION SUR LES COEFFICIENTS BINOMIAUX 8.11 : On dispose sur les coeﬃcients binomiaux de formules classiques :

∀(n, p)∈ N∗× Z, ( n p ) = ( n−1 p ) + ( n−1 p−1 ) , ( n p ) = ( n n−p ) , p ( n p ) =n ( n−1 p−1 ) . SoitA un anneau, (x, y)∈A2,n∈ N, xy=yx: (x+y)n= n ∑ k=0 ( n k )

xkyn−k (binˆ_{ome de Newton).}

REMARQUE 8.11 : • Formule classique : ∀n∈ N, ∀p>n,

p ∑ k=n ( k n ) = ( p+1 n+1 ) .

• Il est souvent plus pratique d’´ecrire ces coeﬃcients sous forme polynomiale : ( n 1 ) =n, ( n 2 ) = n(n−1) 2 , ( n 3 ) = n(n−1)(n−2) 6 , ( n 4 ) = n(n−1)(n−2)(n−3) 24 , etc...

EXERCICE CLASSIQUE 8.2 : Formule de Vandermonde.

Montrer que si (a, b)∈ N2_: ∑n k=0 ( a k )( b n−k ) = ( a+b n ) .

REMARQUE HP 8.12 : Si x1,· · ·, xpsont péléments d’un anneau qui commutent deux à deux :

∀n∈ N, (x₁+· · · +x_p)n= ∑ (k1,···,kp)∈ Np k1+···kp=n n! k₁!· · ·k_p!x k1 1 · · ·x kp

p (formule du multinˆome).

On compte les xk1

1 · · ·x kp

p (pour (k1,· · ·, kp) ∈ Np tel que k1+· · ·kp = n) obtenus en d´eveloppant (x1+· · · +xp)n :

(

n k1

)

pour le choix des parenth`eses o`u l’on prendx1, (

n−k1

k2 )

celles restantes o`u l’on prend x2, etc... jusqu’`a

(

n−k1− · · · −kp−1

k_p

)

=1(plus de choix) pour celles o`u l’on prendxp.

En eﬀectuant le produit (arbre de choix) : ( n k1 )( n−k₁) k2 ) · · · ( n−k₁− · · · −k_p₋₁ kp ) = n! k1!· · ·kp! .

EXERCICE 8.3 : Les entiersnetk´etant donn´es, soitE_n l’ensemble des solutions (α₁,· · ·, α_k) de Nk _{de l’´}_{equation :} _α

1+· · · +αk=n. SoitFn l’ensemble des applications strictement croissantessde [[0;k]] dans N telles ques(0) =0ets(k) =n+k. Calculer cardF_n et en d´eduire cardE_n.

ORAL BLANC 8.4 : Centrale PSI 2012

a. Compter les applications surjectives de [[1;n+1]] dans [[1;n]]. b. Compter les applications surjectives de [[1;n+2]] dans [[1;n]].

8.1.5 : Ensembles d´

enombrables (HP)

On dit qu’un ensemble est dénombrable s’il est ´equipotent à N. Un ensemble est dit au plus dénombrable s’il est fini ou d´enombrable.

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REMARQUE 8.13 : • N∗ est dénombrable carf: N → N∗ telle quef(n) =n+1est bijective. • Z est dénombrable carf: N → Z telle quef(2n) =netf(2n+1) =−n−1est une bijection. • N × N est dénombrable carf: N2_{→ N telle que}_f₍_{n, m}_{) =}1

2

(

(n+m)2₊_3n₊_m)_{est bijective.} • Edénombrable s’écriraE={x0,· · ·, xn,· · ·} = {xn |n∈ N} (écriture en extension).

PROPOSITION 8.12 :

Si E est fini et F dénombrable alors E×F est dénombrable. Si E etF sont dénombrables alors E×Fest dénombrable.

REMARQUE 8.14 : • Toute partie d’un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable. • La réunion de deux ensembles dénombrables l’est encore.

• Toute réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrables l’est encore. • Tout produit fini d’ensembles dénombrables l’est encore.

EXEMPLE 8.5 : • Ni R, niP(N) ne sont dénombrables. • Même s’il est dense dans R, Q est dénombrable.

PARTIE 8.2 : ESPACE PROBABILIS´

E

8.2.1 : Tribu

⊙

Dans l’optique de formaliser les expériences al´eatoires, on appelle univers, not´e traditionnellement Ω, l’ensemble de toutes les issues (ou éventualités, épreuves, résultats) possibles d’une telle exp´erience : jet de dé, choix d’une boule dans une urne, tirage du loto,...

EXEMPLE 8.6 :

• Pile ou face : on prendra Ω = {0, 1} (0pour pile et1pour face) pour un seul lancer,{0, 1}n pour un nombrenfini de lancers et{0, 1}Npour une suite d´enombrable de lancers.

• Dans une urne contenantnboules discernables (numérotées), si on effectueptirages d’une boule avec remise, on pourra prendre Ω = [[1;n]]p_.

Soit Ω un ensemble, on appelle tribu sur Ω toute partieA⊂P(Ω) (ouA∈P(P(Ω))) telle que : • Ω ∈A.

• SiA∈AalorsA∈A(complémentaire deAdans Ω). • Si (An)n∈ N est une suite d’éléments deAalors

+_∪∞ n=0

An∈A.

SiAest une tribu sur Ω, univers d’une expérience aléatoire, les éléments deAsont appel´es les évènements de l’expérience aléatoire.

PROPOSITION SUR LES PROPRI ÉT ÉS D’UNE TRIBU 8.13 : Si Aest une tribu sur Ω et A etB deux évènements de A:

• ∅ ∈A ;A∪B∈A; A∩B∈A et aussiA\B∈A. • Si (An)n∈ N est une suite d’´el´ements deA alors

+∩∞ n=0

An ∈A.

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ESPACE PROBABILIS ´E 117 REMARQUE 8.15 : Un peu de terminologie :

• Ω est appelé évènement certain, ∅ = Ω est appelé évènement impossible. • SiAest un évènement, l’évènementAest appel´e év`enement contraire deA. • Siω∈ Ω et si {ω} ∈A, on dit que{ω} est un évènement élémentaire.

• Soit (A, B)∈A2_{, l’´}_ev`_enement _A_∪_B_(resp. _A_∩_B_{) est aussi appel´}_{e ”}_A_ou_B_{” (resp. ”}_A_et _B_”). • Soit (A, B)∈A2_{, si} _A_⊂_B_{, on dit que l’´}_ev`_enement_A_{implique l’´}_ev`_enement_B_.

• Deux évènements Aet Bsont dits incompatibles siA∩B=∅. • SiA∈A, les évènementsAet Asont incompatibles.

• SiAetBsont des ´ev`enements incompatibles,C∈AetCimpliqueA, alorsCetBsont incompatibles.

EXEMPLE 8.7 : Soit trois d`es de couleurs différentes, on lance les trois dès et on appelle A

l’évènement : A= “la somme des trois dès vaut10”. Modéliser cette expérience.

REMARQUE 8.16 : Quelques tribus classiques (à part celles des cheveux propres ou sales,....) : • La tribu triviale {∅,Ω} ou seules2parties de Ω sont des évènements.

• La tribu pleineP(Ω) où toutes les parties de Ω sont des évènements. • SiA∈P(Ω),{∅, A, A,Ω} est la tribu engendrée parA.

8.2.2 : Probabilit´

e

SoitAune tribu sur un ensemble Ω, on appelle probabilit´e sur (Ω,A) toute P :A→ [0;1] telle que : • P(Ω) =1(l’évènement certain a une probabilité maximale de 1).

• ∀(A_n)_n_{∈ N}∈AN suite d’évènements2à2 incompatibles, P (₊_∞ ∪ n=0 A_n ) = +∑_∞ n=0 P(A_n) (σ-additivité).

Un espace probabilisé est un triplet (Ω,A,P), oùAest une tribu sur Ω et P une probabilité sur (Ω,A). ⊙

On retrouve la définition de probabilité vue en première année où sur un ensemble fini Ω, on avait pris

A=P(Ω) (tribu pleine) et o`u la seconde condition ´etait P(A∪B) = P(A) + P(B) pourA,Bincompatibles.

PROPOSITION SUR LES PROPRI ÉT ÉS D’UNE PROBABILIT É 8.14 : Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé :

• P(∅) =0 (l’évènement impossible a une probabilité minimale de 0). • Soit n∈ N∗ etA1,· · ·, An des évènements 2 à 2incompatibles : P

( _n ∪ k=1 Ak ) = n ∑ k=1 P(Ak). • Pour A∈A, on a P(A) =1− P(A). • Pour (A, B)∈A2_{, on a}_A_⊂_B₌_{⇒ P(}_A₎_{6 P(}_B_). • Pour (A, B)∈A2_{, on a} _P(_A_∪_B_{) =} _P(_A_{) +}_P(_B₎_{− P(}_A_∩_B_). ⊙

Dans un univers infini, l’axiome P(A∪B) = P(A) + P(B) pour A, B incompatibles suﬃrait seulement `

a ´etablir (par une r´ecurrence facile) que P ( _n ∪ k=1 Ak ) = n ∑ k=1

P(Ak) siA1,· · ·, An sont des évènements2à 2 incompatibles mais on ne pourrait pas aller jusqu’à laσ-additivité.

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PROPOSITION DE SOUS-ADDITIVIT ´E FINIE 8.15 :

Pour des ´ev`enements A1,· · ·, An : P ( _n ∪ k=1 Ak ) 6 ∑n k=1 P(Ak).

EXEMPLE 8.8 : Sur une classe de38étudiants, en oubliant les années bissextiles et en supposant l’équiprobabilité des jours de naissance, quelle est la probabilité que deux d’entre eux soient nés le même jour (pas forcément de la même année) ?

REMARQUE 8.17 : Quelques probabilités définie sur les évènements élémentaires : • Sur un ensemble fini Ω = {ω1,· · ·, ωn}, la probabilité uniforme est définie par P

( {ωk}

) = 1

n.

• Sur un ensemble fini Ω = {ω₀,· · ·, ω_n}, on peut définir la probabilité binomiale de paramètre p∈]0;1[ en posant P({ω_k})= ( n k ) pk(1−p)n−k. PROPOSITION 8.16 :

Si Ω ={ωn | n ∈ N} est d´enombrable et si (pn)n∈ N ∈ [0;1]N est une suite telle que +∑∞ n=0

pn =1, alors il existe une unique probabilit´e P sur Ω telle que ∀n∈ N, P({ωn}

)

=pn : la probabilit´e de A⊂ Ω sera alors P(A) = ∑

ω∈A

P({ω}) (soit une somme finie soit la somme d’une s´erie).

Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé etAun évènement, alors : • on dit que Aest un év`enement négligeable si P(A) =0. • on dit que Aest un év`enement presque sûr si P(A) =1.

TH ÉOR ÈME DE CONTINUIT ÉS CROISSANTES ET D ÉCROISSANTES ET DE SOUS-ADDITIVIT É ( ÉNORME) 8.17 :

Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé, soit (A_n)_n_{∈ N} une suite quelconque d’évènements :

• Si (An)n∈ N est croissante pour l’inclusion (∀n∈ N, An ⊂An+1), alors on a la relation dite de continuit´e croissante : P

(₊_∞ ∪ n=0 An ) = lim n→+∞P(An).

• Si (An)n∈ Nest décroissante pour l’inclusion (∀n∈ N, An+1⊂An), alors on a la relation dite de continuité décroissante : P

(₊_∞ ∩ n=0 An ) = lim n→+∞P(An). • Si ∑ n>0P(An) converge alors P (₊_∞ ∪ n=0 An ) 6+∑∞ n=0

P(An) (c’est la sous-additivit´e).

REMARQUE 8.18 : • Une réunion finie ou dénombrable d’évènements négligeables est négligeable. • Une intersection finie ou dénombrable d’évènements presque sûrs est presque sûr.

• La sous-additivit´e est vraie si ∑ n>0P(

A_n) diverge et qu’on pose alors +∑∞ n=0

P(A_n) = +∞ mais l’in´egalit´e

perd alors nettement de son intérêt. Elle en a peu d’ailleurs dès que +∑∞ n=0

(9)

CONDITIONNEMENT ET IND ´EPENDANCE 119

EXEMPLE 8.9 : On jette ind´efiniment un dé non pipé à f > 1 faces, montrer que l’évènement

A=“on tombe au moins une fois sur1” est presque sˆur.

REMARQUE FONDAMENTALE 8.19 : Soit (An)n∈ Nune suite quelconque d’´ev`enements :

P (₊_∞ ∪ n=0 An ) = lim n→+∞P ( _n ∪ k=0 Ak ) et P (₊_∞ ∩ n=0 An ) = lim n→+∞P ( _n ∩ k=0 Ak ) .

PARTIE 8.3 : CONDITIONNEMENT ET IND´

EPENDANCE

⊙

Dans toute cette partie, on consid`ere un espace probabilis´e (Ω,A,P).

8.3.1 : Probabilit´

e conditionnelle

SoitB∈Aun évènement tel que P(B)> 0. SiA∈Aest un évènement quelconque, on d´efinit la probabilit´e conditionnelle de Asachant B, notée P_B(A) (ou même P(A|B)), par la relation suivante :

PB(A) = P(A|B) = P (A∩B)

P(B) ce qui ´equivaut `a P(A∩B) = P(B)PB(A) = P(A|B)P(B).

REMARQUE 8.20 : • Attention, il n’existe pas d’évènement appelé “AsachantB” dans la tribuA. • La formule reste vraie si P(B) =0en convenant que P_B(A)P(B) =0même si P_B(A) n’est pas défini.

PROPOSITION DE STRUCTURE DE LA PROBABILIT É CONDITIONNELLE 8.18 : SoitB∈Aet P(B)> 0, PB :A→ [0;1] définie comme ci-dessus est une probabilité sur (Ω,A).

EXEMPLE 8.10 : Si Ω = [[1;6]]3 _et _A₌_P_{(Ω) pour repr´}_{esenter le jet simultan´}_{e de trois d´}_{es non} pipés, la probabilité de faire un421sachant que les trois dés ont donné un résultat différent est de 1

20.

TH ÉOR ÈME SUR LA FORMULE DES PROBABILIT ÉS COMPOS ÉES 8.19 :

SiA1,· · ·, An sont des ´ev`enements deAtels que P(A1∩ · · · ∩An−1)> 0, on a la formule suivante : P(A1∩ · · · ∩An) = P(A1)× PA1(A2)× PA1∩A2(A3)× · · · × PA1∩···∩An−1(An).

REMARQUE 8.21 :

• Cette formule permet `a priori de calculer la probabilit´e de toute intersection finie.

• On peut alors calculer la probabilité d’une intersection dénombrable par continuité décroissante.

EXERCICE 8.11 : Dans une urne, il y ap boules blanches et une seule boule noire. `A chaque ´etape, on tire une boule, on la remet dans l’urne en rajoutant aussibboule(s) blanche(s).

Quelle est la probabilité de l’évènement An = “on tire la boule noire à l’étapen et pas avant ” ? En déduire la probabilité de ne jamais tirer la boule noire si on répète ces opérations indéfiniment. Indication : on pourra exprimer P(A_n) sous la formeu_n₋₁−u_n.

(10)

On appelle système complet d’év`enements (not´e souvent SCE) toute famille (Ai)i∈Ifinie ou dénombrable d’évènements deux à deux incompatibles de réunion Ω :

• I est un ensemble d’indices fini ou d´enombrable. • ∀(i, j)∈I2, i̸=j=⇒Ai∩Aj=∅.

• ∪ k∈I

Ak= Ω.

REMARQUE 8.22 : • SiA⊂ Ω, (A, A) est un système complet fini d’évènements (engendré parA). • Si (A, B)∈P(Ω)2, la famille (A∩B, A∩B, A∩B, A∩B) l’est aussi (engendré parAetB). • Si Ω = {ω_n |n∈ N} est dénombrable et siA=P(Ω) alors ({ω_n})_n_{∈ N} est un SCE.

TH ÉOR ÈME ET FORMULE DES PROBABILIT ÉS TOTALES ( ÉNORME) 8.20 : Soit (An)n∈ N un système complet d’évènements et B ∈ A. Alors

∑ n∈ NP( B∩An) converge et P(B) = +∑∞ n=0 P(B∩A_n) = +∑∞ n=0 PAn(B)P(An) = +∑∞ n=0 P(B | A_n)P(A_n).

REMARQUE FONDAMENTALE 8.23 : • SiAest presque sûr et siB∈A: P(A∩B) = P(B). • La formule est vraie si (An)n∈ Nest une suite d’évènements2à2incompatibles tel que

+∑_∞ n=0

P(An) =1. • Même si pour certaines valeurs de n on a P(An) = 0, cette formule des probabilités totales reste vraie car on peut convenir que PAn(B)P(An) =0même si PAn(B) n’est pas clairement défini.

• Dans le cas d’un syst`eme complet fini (Ak)k∈[[1;n]], la formule devient : P(B) = n ∑ k=1

P(B∩Ak).

ORAL BLANC 8.12 : On place une boule rouge dans une urne. On lance un d´e à 6 faces non pipé. Si on fait un 6, on tire une boule dans l’urne, sinon on rajoute une boule blanche dans l’urne et on recommence. On ne fait qu’un seul tirage. Quelle est la probabilité de tirer la boule rouge ? Indication : on utilisera l’égalité−ln(1−x) =

+∑_∞ n=1

xn

n pour toutx∈] −1;1[.

TH ÉOR ÈME SUR LA PREMI ÈRE FORMULE DE BAYES 8.21 : Si A etB sont deux évènements tels que P(A)P(B)> 0: PB(A) = PA

(B)P(A) P(B) .

REMARQUE 8.24 : Cette formule de Bayes, comme la suivante qui en découle par la formule des probabilités totales, est aussi appel´ee formule de probabilités des causes.

TH ´EOR `EME SUR LA SECONDE FORMULE DE BAYES 8.22 :

Soit (A_n)_n_{∈ N} un système complet d’évènements et B un évènement tel que P(B)> 0. Alors on a la formule de Bayes sous une autre forme : PB(An) = PAn

(B)P(An) +∑∞

k=0

PAk(B)P(Ak)

(11)

CONDITIONNEMENT ET IND ÉPENDANCE 121 REMARQUE 8.25 : Bien sûr, si le système complet d’évènements (A1,· · ·, An) ne contient qu’un nombre fini d’évènements, cette formule se ramène à : ∀k∈ [[1;n]], PB(Ak) = PAk

(B)P(Ak) n ∑ i=1 PAi(B)P(Ai) .

EXERCICE CLASSIQUE 8.13 : On propose `a l’étude un test de dépistage d’un certain virus. • Une personne sur10000est infectée par ce virus dans la population.

• Quand une personne est malade, le test est positif `a99%.

• Quand une personne n’est pas malade, le test est n´egatif `a99, 9%.

Calculer la probabilité qu’une personne positive au test soit effectivement infectée.

8.3.2 : ´

Ev`

enements ind´

ependants

On dit que deux évènements AetBsont des ´evènements ind´ependants si P(A∩B) = P(A)P(B).

REMARQUE 8.26 : • Cette notion d’indépendance n’a rien à voir avec la notion d’incompatibilité. • Si P(B) =0, alorsAetBsont indépendants quel que soit l’évènementA.

EXEMPLE 8.14 : On consid`ere un dé cubique non pipé et on effectue un lancer.

On considère les évènements suivants : A = “le résultat est pair” ; B = “le résultat est impair” ;

C= “le résultat est 1ou2”. Étudier leur incompatibilité et leur indépendance deux à deux.

PROPOSITION SUR UNE CONDITION D’IND ´EPENDANCE 8.23 :

SoitA etB deux évènements tels que P(B)> 0: (A etB sont indépendants)⇐⇒ P_B(A) = P(A).

REMARQUE 8.27 : SiAetBsont des évènements indépendants alors : •Aet Bsont indépendants.

•Aet Bsont ind´ependants. •Aet Bsont ind´ependants.

EXERCICE 8.15 : Une urne contient des boules blanches et des boules rouges.

On effectue deux tirages successifs et on s’intéresse aux évènements A: “la première boule tirée est blanche” etB: “la deuxième boule tirée est blanche”.

´

Etudier leur ind´ependance si le tirage se fait avec remise, puis si le tirage est fait sans remise.

Soit (Ak)k∈[[1;n]] une famille d’évènements. On dit que A1,· · ·, An sont des évènements mutuellement ind´ependants si pour toute partie J⊂ [[1;n]] on a P

( ∩ j∈J Aj ) =∏ j∈J P(Aj).

(12)

REMARQUE 8.28 :

• Des évènementsA,Bet Csont mutuellement indépendants si l’on vérifie les4égalités :

P(A∩B) = P(A)P(B), P(A∩C) = P(A)P(C), P(B∩C) = P(B)P(C) et P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C). • Pour prouver l’indépendance mutuelle de névènements, il faut vérifier2n−n−1égalités.

• Toute sous-famille d’une famille d’évènements mutuellement indépendants l’est aussi.

• Si (A_k)_k_∈[[1;n]] est une famille d’évènements mutuellement indépendants et si on aB_k ∈{A_k, A_k}, alors (Bk)k∈[[1;n]] est aussi une famille d’évènements mutuellement indépendants.

• Des évènements mutuellement indépendants sont deux à deux indépendants (avec J de cardinal2) mais la réciproque est fausse.

EXEMPLE 8.16 : On lance deux d´es cubiques non pipés discernables (de couleurs différentes par exemple). On considère les trois évènementsA: “le premier donne un résultat pair” ;B: “le deuxième donne un résultat pair” ;C: “la somme des deux dés est paire”. Que peut-on dire de ces évènements ?

EXERCICE CONCOURS 8.17 :

SoitPl’ensemble des nombres premiers et, pours > 1, ζ(s) = +∑∞ n=1

n−s. a. Pour quels valeurs deλ∈ R, la famille(λn−s)

n∈ N∗ définit-elle une loi de probabilité sur N∗ par l’intermédiaire de∀n>1, P({n}) =λn−s ?

b. Pour p nombre premier, on pose Ap = pN∗. Montrer que les (Ap)p∈P sont mutuellement

indépendants pour la loi de probabilité précédente. c. Prouver queζ(s) = ∏ p∈P 1 1−p−s.

COMP´

ETENCES

• savoir reconnaˆıtre un ensemble fini, infini d´enombrable ou pas.

• déterminer le cardinal d’un ensemble fini en créant une bijection avec un ensemble plus simple. • trouver le cardinal d’un ensemble fini en le partitionnant en parties plus simples à dénombrer. • manipuler avec dextérité les coefficients binomiaux avec les multiples formules.

• savoir ´etablir qu’une partie deP(Ω) est une tribu.

• maˆıtriser la terminologie sur les différents types d’évènements. • savoir prouver qu’une application sur une tribu est une probabilité. • écrire un évènementA.... pour calculer P(A) par ... :

- comme une réunion d’évènements incompatibles σ-additivité. - comme une intersection finie d’évènements les “probabilités composées”. - comme réunion d’une suite croissante d’évènements continuité croissante. - comme intersection d’une suite décroissante d’évènements continuité décroissante. - selon un système complet d’événements les “probabilités totales”. • connaˆıtre les différentes formes de la formule de Bayes pour calculer une probabilité conditionnelle. • reconnaˆıtre dans une expérience l’incompatibilité ou l’indépendance d’évènements sans confondre. • ne pas mélanger les notions d’indépendance deux à deux ou mutuelle de plusieurs évènements.