Séries entières (complément pour 5/2)
Exercice 1 Soit (un) une suite bornée, et pour tout n ∈ N, sn= n
X
k=0
uk.
a) Déterminer les rayons de convergence de U(x) = +∞ X k=0 uk k!x ket S(x) = +∞ X k=0 sk k!x k.
b) Trouver une relation entre U0, S et S0.
c) On suppose que (sn) tend vers une limite ` quand n tend vers +∞. Montrer qu’alors e
−x
S(x) tend vers une limite à préciser quand x tend vers +∞.
Exercice 2 Soit A ∈ Mp(C). Déterminer le rayon de convergence de
X
tr(An)znet exprimer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de A.
Exercice 3 On considère le problème de Cauchy y00+ xy0+ y = 1 avec y(0) = y0(0) = 0. a) On considère une série entièreXanxn de rayon de convergence R > 0. Si
X
anxn est solution de l’équation
différentielle, donner la relation de récurrence liant les termes de la suite (an).
b) Expliciter anen fonction de n, et donner alors le rayon de convergence de
X
anxn.
c) ExpliciterXanxnà l’aide des fonctions usuelles.
Exercice 4 Soit (an) ∈ (C
∗ )N
, telle que lim
n→+∞ an+3 an = ` ∈ R+ ∪ {+∞}. Déterminer le rayon de convergence de S =Xanzn.
Exercice 5 Pour n ∈ N on note Bnle nombre de partitions d’un ensemble à n éléments. On convient que B0= B1= 1. a) Montrer que Bn+1= n X k=0 n k ! Bk.
b) Montrer que le rayon de convergence R de la série entièreXBn
n!x
nest strictement positif.
c) On pose f : x 7→ +∞ X n=0 Bn n!x
n. Trouver une équation différentielle vérifiée par f sur ]−R, R[.
d) En déduire une expression de Bnsous la forme d’une série.
Exercice 6 Calculer wn= n X k=0 (−1)k 2k k ! 2n − 2k n − k ! à l’aide de f (x) = +∞ X n=0 2n n ! xn.
