Zone de stagnation devant l’intrus

Nous avons constat´e sur les champs cumul´es que, sur l’axe de translation de l’intrus, les mouvements des grains sont tr`es diff´erents de ceux des autres grains. Les grains en regard de l’intrus ne peuvent ˆetre d´egag´es imm´ediatement sur le cˆot´e et sont bloqu´es un certain temps par celui-ci.

Nous d´efinissons une zone dite ”zone de stagnation” en localisant les grains les moins mobiles dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Pour d´efinir le seuil de mobilit´e, les d´eplacements instantan´es de tous les grains du champ de vision sont calcul´es en mesurant leurs distances parcourues entre deux acquisitions successives `a l’aide de la relation distance = √(𝑋𝑖− 𝑋𝑖+1)2 + (𝑌𝑖− 𝑌𝑖+1)2,

𝑖 et 𝑖 + 1 ´etant les num´eros des acquisitions successives. Le trac´e de la distribution des d´eplacements des grains est repr´esent´e sur la figure 4.14 dans le cas de notre exp´erience qui sert `a illustrer ce chapitre. Nous avons d´ecoup´e le parcours de l’intrus au sein du milieu gra- nulaire en cinq zones distinctes de mˆeme dur´ee de parcours et repr´esent´e les distributions des d´eplacements dans chacune de ces zones sur la figure 4.14.

Figure 4.14 – Nous avons repr´esent´e ci-dessus les probabilit´es des d´eplacements entre deux acquisi- tions en millim`etre de tous les grains pr´esents dans le champ de vision de la cam´era pour les 5 zones d’´evolution de l’intrus par rapport `a la paroi frontale.

Nous constatons en comparant les cinq zones du parcours de l’intrus qu’il y a peu de diff´erences dans leurs profils de probabilit´es de d´eplacements, ces derniers se superposant `a peu pr`es. Dans cette distribution, nous distinguons trois types de d´eplacements de grains (figure 4.14). Le premier type correspond `a des grains ayant des d´eplacements entre deux acquisitions plus importants que le d´eplacement du plateau dans le r´ef´erentiel du laboratoire, c’est `a dire sup´erieur `a 𝑈0 = 1/6 mm. Les grains associ´es sont acc´el´er´es au sein du milieu granulaire.

Le deuxi`eme type de d´eplacements correspond `a des grains ayant un d´eplacement entre deux acquisitions de l’ordre de 𝑈0, le d´eplacement du plateau dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Ces

d´eplacements de grains donnent un pic de type gaussien centr´e sur 1/6 mm, c’est-`a-dire 𝑈0.

Les grains se d´epla¸cant ainsi entre deux acquisitions suivent tant bien que mal le mouvement du plateau, nous pouvons penser que leur interaction avec l’intrus reste limit´ee. Le troisi`eme et dernier type de d´eplacement de grains correspond `a des d´eplacements bien plus petits que celui du plateau dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Nous pouvons penser que les grains ayant de tels d´eplacements sont bloqu´es par l’intrus et sont presque immobiles dans le r´ef´erentiel du

laboratoire.

Apr`es avoir ´etabli une statistique des d´eplacements sur l’ensemble de nos diff´erentes exp´eriences, nous d´efinissons une valeur de d´eplacement seuil entre deux acquisitions de 0, 075 mm, soit 0, 015 𝐷𝑔, o`u 𝐷𝑔 est un diam`etre d’un gros grain, soit 5 mm. Les grains dont le

d´eplacement entre deux images cons´ecutives est inf´erieur `a ce seuil d´efinissent par leur position une zone que nous nommerons zone de stagnation (figure 4.15). Il faut noter que le plateau se d´epla¸cant de 1/6 mm, soit 1/30 𝐷𝑔, entre chaque acquisition, la moiti´e de cette distance est

´egale `a 1/60 𝐷𝑔 soit 0, 016 𝐷𝑔, ce qui est proche de ce seuil. Les grains de la zone de stagnation

se d´eplacent donc au maximum deux fois plus lentement que le plateau dans le r´ef´erentiel du laboratoire.

(a) zone 1 (b) zone 5

(c) zone 1 `a 5

Figure 4.15 – Les cartographies ci-dessus repr´esentent les champs de stagnation devant l’intrus. Les points de stagnation ci-dessus correspondent aux positions des grains dont le d´eplacement dans le r´ef´erentiel du plateau entre deux images successives est inf´erieur au seuil choisi. L’abscisse et l’ordonn´ee sont donn´ees en diam`etre de gros grains 𝐷𝑔, soit 5 mm. La figure a correspond `a la premi`ere zone

d’´evolution de l’intrus au sein du milieu granulaire. La figure b correspond `a la cinqui`eme zone de notre d´ecoupage exp´erimental. Enfin, la figure c correspond `a la superposition des points de stagnations pour l’ensemble des zones d’´evolution de l’intrus.

dire ayant un d´eplacement dans le r´ef´erentiel du laboratoire inf´erieur au seuil que nous nous sommes fix´es, semble peu ´evoluer avec la distance `a la paroi frontale. Par contre, pour diff´erente zones d’approche `a la paroi nous constatons sur la figure 4.15 une ´evolution de la localisation de la zone de stagnation.

Initialement situ´ee exclusivement sur le devant de l’intrus en zone 1 (figure 4.15 a), la zone de stagnation fait peu `a peu le tour de l’intrus comme nous le constatons en zone 5 (figure 4.15 b).

D’autre part l’extension axiale de la zone de stagnation tend `a diminuer avec l’approche de la paroi frontale. Nous constatons par ailleurs que les positions des centres des grains stagnant dessinent devant l’intrus des portion de cercles dont les rayons correspondent au rayon de l’intrus lui-mˆeme plus les rayons d’un nombre entier de grains. Les grains bloqu´es par l’intrus ont une tendance `a la ”cristallisation” devant ce dernier. Au-del`a de trois tailles de grains, la cristallisation produite par la paroi solide de l’intrus disparaˆıt, la position des grains stagnant devant celui-ci est moins bien d´efinie. D’un incr´ement d’image `a l’autre (l’extension de cette zone de stagnation ´evolue beaucoup, et les grains ”bloqu´es” peuvent acqu´erir un d´eplacement important ensuite. D`es lors, les cartographies des champs de d´eplacement devant l’intrus sont fluctuantes.

Enfin, nous voyons clairement qu’en zone 1, les grains de la zone de stagnation en contact avec l’intrus sont repartis sur un pourtour limit´e par un cˆone ayant pour sommet le centre de l’intrus et faisant un demi angle d’ouverture de 80˚par rapport `a l’axe de translation. Au-del`a, les grains n’arrivent pas `a ˆetre bloqu´es par l’intrus et sont ´evacu´es vers l’arri`ere rapidement.

5

Dynamique du milieu granulaire

Nous ´etudions dans ce chapitre l’´evolution de la dynamique de notre milieu granulaire en fonction de nos diff´erents param`etres de contrˆole. La difficult´e de cette ´etude repose sur le nombre important de ces derniers et leurs couplages. Nous avons donc ordonn´e notre expos´e de mani`ere `a ce que le lecteur comprenne `a la fois l’importance relative de chaque param`etre et leurs liens entre eux.

Au cours de cette ´etude nous jouons sur un seul param`etre `a la fois, ´evaluant ainsi leur influence respective sur l’´ecoulement.

5.1

Param`etre 𝑣

Nous commen¸cons par ´etudier l’influence de la vitesse de translation 𝑣 de l’intrus dans le milieu granulaire. Exp´erimentalement c’est le plateau sur lequel repose les grains qui se translate dans le r´ef´erentiel du laboratoire, l’intrus restant fixe dans ce mˆeme r´ef´erentiel. Pour ´etudier l’influence de 𝑣 sur notre milieu granulaire nous fixons les autres param`etres de contrˆole. A ce stade, nous nous int´eressons au comportement moyen du milieu granulaire au cours de l’avanc´ee de l’intrus. Nous travaillons donc sur la totalit´e du parcours de l’intrus. Ainsi les moyennes temporelles sont effectu´ees sur l’ensemble du parcours de l’intrus. Au cours de cette partie le diam`etre de l’intrus 𝐷 est fix´e. Nous utilisons uniquement l’intrus de diam`etre 𝐷 = 20 mm, soit 4 Dg o`u 𝐷𝑔 est un diam`etre de gros grains, c’est-`a-dire 5 mm. La largeur de la cellule de travail

est elle-aussi fix´ee. Nous travaillons avec la cellule la plus large possible, 𝑊 = 269, 5 mm, soit 53, 9 𝐷𝑔, ce qui donne un confinement lat´eral 𝐷/𝑊 = 0, 0742. Nous testons l’influence de 𝑣 pour

𝜙 allant de 80, 5 % `a 83 %. Au cours de cette s´erie d’exp´eriences les vitesses que nous testons s’´etalent sur 2 d´ecades, allant de 100 mm/min `a 1 mm/min soit de 16, 7 𝜇m/s `a 1, 67 mm/s. Ces vitesses sont comparables `a celles employ´ees par Geng, Behringer [10], et I. Albert, R. Albert, Kahng et al [1, 2, 3, 4]. Elles se situent dans une gamme plus restreinte par rapport `a celles employ´ees par Chehata et al [15].

Nous ´etudions la force 𝐹 et ses fluctuations, Δ𝐹𝑗 et Δ𝐹𝑢, appliqu´ees sur l’intrus. Nous

constatons leurs ´evolutions en fonction de la fraction d’empilement 𝜙 pour diff´erentes valeurs du param`etre 𝑣 (figure 5.1).

(a) Δ𝐹𝑗(𝜙) (b) 𝑆𝑑Δ𝐹𝑗(𝜙)

(c) Δ𝐹𝑢(𝜙) (d) 𝑆𝑑Δ𝐹𝑢(𝜙)

(e) 𝐹 (𝜙)

Figure 5.1 – Les figures ci-dessus montrent l’´evolution de la force 𝐹 et de ses fluctuations, Δ𝐹𝑗et Δ𝐹𝑢,

moyenn´ees sur l’ensemble du parcours de l’intrus et dix r´ealisations cons´ecutives correspondant au mˆeme jeu de param`etres, ainsi que leurs ´ecarts type respectifs, en fonction de la fraction d’empilement 𝜙 pour un confinement 𝐷/𝑊 = 0, 0742 et les trois vitesses de translation de l’intrus 𝑣 dans le r´ef´erentiel du plateau test´ees sur un intrus de diam`etre 𝐷 = 20 mm : 100 mm/min, 10 mm/min et 1 mm/min.

tr`es rapidement avec la fraction d’empilement. Nous reviendrons sur cet effet plus tard.

du milieu granulaire, les forces et leurs fluctuations se superposent relativement bien. Ainsi, dans l’intervalle de vitesse ´etudi´e, nous ne constatons pas d’influence de cette derni`ere sur la dynamique de notre milieu granulaire. Cette absence d’influence de la vitesse sur la force de traˆın´ee dans la gammes de vitesses ´etudi´ees est en accord avec les r´esultats de I. Albert et al [1], ainsi que ceux de Chehata et al [15] pour les mˆemes gammes de vitesse. Cette ind´ependance avec la vitesse diff´erencie les milieux granulaires ”denses” des milieux granulaires `a faible fraction d’empilement o`u une d´ependance en 𝑣2 <sub>est attendue [16, 17], des milieux solides frottants o`u</sub>

une d´ependance en 𝐿𝑜𝑔 𝑣 est g´en´eralement observ´ee, et des fluides visqueux ”ordinaires” o`u une d´ependance de la force lin´eaire avec 𝑣 est obtenue aux faibles nombre de Reynolds.