Champs cumul´es

Jusqu’`a pr´esent, nous avons repr´esent´e les champs de d´eplacements instantan´es, c’est `a dire entre deux images cons´ecutives correspondant `a un d´eplacement du plateau de 𝑈0 = 1/6 mm,

soit 𝑈0 = 𝐷𝑔/50. Nous allons maintenant utiliser ce que nous nommons le champ cumul´e.

Dans le r´ef´erentiel du laboratoire, ce champ est simplement obtenu par la succession des positions des grains que nous suivons pendant une dur´ee 𝑗 en nombre d’images.

Pour obtenir ce champ dans le r´ef´erentiel du plateau nous soustrayons `a la position de chaque grain le d´eplacement cumul´e du plateau depuis sa mise en mouvement. L’abscisse des grains pour le champ cumul´e est donc ´egale `a l’abscisse dans le r´ef´erentiel du laboratoire : 𝑋𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙(𝑗) = 𝑋𝑙𝑎𝑏𝑜(𝑗) o`u 𝑗 est le nombre d’images acquises depuis la mise en mouvement du

plateau. L’ordonn´ee du champ cumul´e est ´egale `a l’ordonn´ee du grain dans le r´ef´erentiel du labo- ratoire auquel nous retranchons le d´eplacement total du plateau depuis sa mise en mouvement : 𝑌𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙(𝑗) = 𝑌𝑙𝑎𝑏𝑜(𝑗) − 𝑈0𝑗 o`u 𝑈0 est le d´eplacement du plateau entre chaque acquisition.

informations sur la cin´ematique de notre milieu. Un grain non perturb´e par le passage de l’intrus aura une trajectoire rectiligne dans le r´ef´erentiel du laboratoire, mais dans le r´ef´erentiel du plateau la trajectoire en champ cumul´e sera un point, le grain ne bougeant pas par rapport au plateau. Un grain perturb´e par le passage de l’intrus et revenant `a sa position initiale verra sa trajectoire dessiner une bosse au milieu d’une trajectoire rectiligne dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Dans le r´ef´erentiel du plateau cette trajectoire dessinera une boucle ferm´ee plus ou moins allong´ee en fonction de la distance sur laquelle le grain est perturb´e par l’intrus.

Le champ cumul´e de l’´ecoulement dans le r´ef´erentiel du laboratoire est repr´esent´e sur la figure 4.12, `a l’avant (figure 4.12 a) et `a l’arri`ere de l’intrus (figure 4.12 b), et dans le r´ef´erentiel du plateau sur la figure 4.13, `a l’avant (figure 4.12 a) et `a l’arri`ere de l’intrus (figure 4.12 b).

(a) (b)

Figure 4.12 – Les champs de d´eplacements cumul´es dans le r´ef´erentiel du laboratoire, pr´esent´es ci- dessus dans le cas d’un intrus de 20 mm de diam`etre, se d´epla¸cant `a 𝑣 = 100 mm/min pour un confinement lat´eral 𝐷/𝑊 = 0, 0742 et une fraction d’empilement 𝜙 = 82, 6 ± 0, 2 %, illustrent les trajectoires des grains devant (figure a) et derri`ere (figure b) l’intrus. Les prises de vues avant et arri`ere ont ´et´e effectu´ees au cours de deux exp´eriences diff´erentes ayant le mˆeme jeu de param`etres de contrˆole 𝜙, 𝐷/𝑊 , 𝐷. L’abscisse et l’ordonn´ee sont donn´ees en diam`etre de gros grain 𝐷𝑔, soit 5 mm.

En regardant les trajectoires dessin´ees par les grains dans le r´ef´erentiel du laboratoire, trois cas de figure semblent se dessiner. Tout d’abord, loin de l’intrus lat´eralement, `a plusieurs diam`etres d’intrus de celui-ci, les grains sont peu affect´es par sa pr´esence. Les trajectoires des grains sont quasi-rectilignes. A mi-distance de l’axe de translation de l’intrus et de la limite lat´erale du champ de vision, `a environ un diam`etre d’intrus de celui-ci, les trajectoires des grains se courbent `a l’approche de l’intrus. Les grains sont d´eport´es lat´eralement, s’´eloignant de celui-ci avant de revenir sur leurs axes de d´eplacements initiaux une fois l’intrus d´epass´e. Enfin les grains se trouvant sur l’axe de translation de l’intrus ont des trajectoires oscillantes. Ils ralentissent devant l’intrus, avant d’ˆetre ´evacu´es sur les cˆot´es. Ces grains dessinent une zone que nous nommons zone de stagnation `a l’avant de l’intrus.

Dans le r´ef´erentiel du plateau (figure 4.13), l’intrus s’enfon¸cant dans le milieu granulaire, nous constatons que les trajectoires des grains tendent `a dessiner des boucles (le code couleur

(a) (b)

Figure 4.13 – Les champs de d´eplacements cumul´es des grains pr´esent´es ci-dessus sont les d´eplacements devant (champ a) et derri`ere l’intrus (champ b) au cours de deux exp´eriences diff´erentes ayant les mˆemes param`etres 𝜙, 𝐷/𝑊 , 𝐷 dans le r´ef´erentiel du plateau. L’abscisse et l’ordonn´e sont donn´ees en diam`etre de gros grains 𝐷𝑔 soit 5 mm. Le code couleur est le mˆeme pour 4.13 et 4.12, les

mˆemes grains ´etant repr´esent´es dans les deux r´ef´erentiels.

est le mˆeme pour les trajectoires 4.13 et 4.12, les mˆemes grains ´etant repr´esent´es dans les deux r´ef´erentiels). Les grains semblent d´evier lat´eralement `a l’approche de l’intrus et revenir plus ou moins bien dans leur position initiale. Comme pr´ec´edemment, nous pouvons distinguer trois cas en fonction de la distance lat´erale des grains `a l’axe de translation de l’intrus. Loin de l’intrus, `a une distance ´equivalente `a plusieurs diam`etres d’intrus, `a la limite du champ de vision, les trajectoires des grains dessinent de tr`es petites boucles d’un diam`etre de l’ordre du dixi`eme de diam`etre de gros grain 𝐷𝑔, ce qui montre une l´eg`ere influence du passage de l’intrus `a travers le

milieu granulaire mˆeme pour les grains les plus ´eloign´es. A mi-distance de l’axe de translation de l’intrus et de la limite du champ de vision, `a un diam`etre d’intrus de distance de celui-ci, les boucles se font plus grosses, avoisinant le diam`etre d’un gros grain. Enfin, sur l’axe de l’intrus, les boucles s’´etirent sur plusieurs diam`etres de gros grains pour ne jamais se refermer. Dans tous les cas de figure, les boucles ne sont jamais parfaitement rondes et ferm´ees. Il est difficile de dire si le milieu granulaire est modifi´e de mani`ere irr´eversible ou si la non fermeture des boucles est simplement due `a la difficult´e de suivre les grains pendant toute la dur´ee de l’exp´erience, ces derniers sortant tr`es souvent du champ de vision avant d’avoir pu retrouver leurs abscisses initiales.