6.2 Champs de d´eformations, de rotation et de temp´eratures
6.2.3 Champs de temp´eratures
Jusqu’`a pr´esent seul le comportement cin´ematique moyen de notre milieu granulaire nous ´etait accessible. Pour palier ce manque de visibilit´e concernant les fluctuations des d´eplacements, nous avons utilis´e une grandeur capable de les quantifier : la temp´erature granulaire. De mani`ere similaire `a Chehata et al [15], nous d´efinissons cette temp´erature dans chacune des cases du maillage comme ´etant la moyenne sur la totalit´e des grains passant dans cette case du carr´e de la diff´erence entre le d´eplacement moyen (dans cette case) et le d´eplacement instantan´e (lui aussi dans cette case), le tout pond´er´e par la masse du grain, cette somme ´etant finalement divis´ee par la dur´ee au carr´e d’un incr´ement de temps entre deux acquisitions :
𝑇𝑐 = 1 2 ∑ 𝑖𝑚𝑖(𝑢𝑖− 𝑢𝑐)2 𝑁 Δ𝑡2
dur´ee Δ𝑡 et dont le centre se trouve dans la case 𝑐 consid´er´ee `a l’instant 𝑖, 𝑢𝑐 est la valeur
moyenne de ce d´eplacement sur la zone d’´etude consid´er´ee dans la case 𝑐, et 𝑁 le nombre de grains qui passent dans la case. La somme porte sur l’ensemble des grains dont le centre se trouvait dans la case 𝑐 pour les images correspondant `a une zone de parcours de l’intrus.
Notons que cette ”temp´erature” a en fait la dimension d’une ´energie et caract´erise les fluctuations par rapport `a l’´ecroulement moyen.
Pour avoir un aper¸cu de l’´evolution de la temp´erature granulaire nous avons repr´esent´e sur les cartographies de la figure 6.24 les champs de temp´erature granulaire devant l’intrus pour deux zones d’approche `a la paroi frontale 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙, zone 1 et zone 5, et deux fractions d’empilement
𝜙.
(a) 𝜙 = 80, 5 %, zone 1, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔 (b) 𝜙 = 82, 8 %, zone 1, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔
(c) 𝜙 = 80, 5 %, zone 5, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔 (d) 𝜙 = 82, 8 %, zone 5, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔
Figure 6.24 – Les figures a, b, c, et d sont les champs de temp´erature granulaire devant un intrus de diam`etre 𝐷 = 29, 9 mm soit 5, 98 𝐷𝑔. Nous avons repr´esent´e les champs correspondant aux fraction
d’empilement 𝜙 = 80, 5 % (figures a et c) et 𝜙 = 82, 8 % (figures b et d) au cours de la progression de l’intrus dans la zone 1 (figures a et b) et dans la zone 5 (figures c et d).
Nous observons que la temp´erature, et donc les fluctuations des d´eplacements par rapport au champ moyen, restent fortement localis´ees sur l’intrus lui mˆeme. De plus, devant l’intrus, nous constatons qu’aux faibles fraction d’empilement 𝜙, la distance `a la paroi frontale 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙diminuant,
la temp´erature du milieu granulaire, autrement dit les fluctuations d’´ecoulement autour de l’´ecoulement moyen, s’accentuent. Initialement localis´ees sur l’intrus lui mˆeme, ces fluctuations finissent par se repartir sur une couronne d’un diam`etre d’intrus autour de l’intrus lui-mˆeme avec le codage couleur utilis´e. Aux plus fortes fractions d’empilement 𝜙, cette croissance de la couronne de perturbation avec 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙n’est presque pas perceptible sur les champs de temp´erature.
A 𝜙 important la temp´erature semble donc peu fonction de 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙.
(a) 𝜙 = 80, 5 %, zone 1, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔 (b) 𝜙 = 82, 8 %, zone 1, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔
(c) 𝜙 = 80, 5 %, zone 5, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔 (d) 𝜙 = 82, 8 %, zone 5, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔
Figure 6.25 – Les figures a, b, c, et d sont les champs de temp´erature granulaire `a l’arri`ere d’un intrus de diam`etre 𝐷 = 29, 9 mm soit 5, 98 𝐷𝑔. Nous avons repr´esent´e les champs correspondant aux fraction
d’empilement 𝜙 = 80, 5 % (figures a et c) et 𝜙 = 82, 8 % (figures b et d) au cours de la progression de l’intrus dans la zone 1 (figure a et b) et dans la zone 5 (figure c et d).
Toujours dans l’optique d’avoir un aper¸cu de l’´evolution de la temp´erature granulaire nous avons cette fois repr´esent´e sur les cartographies de la figure 6.25 les champs de temp´erature granulaire `a l’arri`ere de l’intrus pour les mˆemes valeurs de 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙 et de 𝜙.
L’´evolution de la temp´erature `a l’arri`ere de l’intrus avec les param`etres 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙et 𝜙 semble aller
dans le mˆeme sens que devant celui-ci, `a ceci pr`es qu’il y a une asym´etrie entre avant et arri`ere caus´ee par la pr´esence du sillage. Ainsi aux faibles fractions d’empilement le sillage, surface vide de grains, limite de facto la temp´erature granulaire en zone 1. Aux plus fortes fractions
d’empilement ou pr`es de la paroi frontale, nous retrouvons la couronne de perturbation d’une taille d’intrus environ. Nous voyons ´egalement sur la figure 6.25 d que la temp´erature derri`ere l’intrus peut ˆetre tr`es grande, indiquant que les fluctuations de d´eplacements sont importantes l`a o`u la cavit´e se forme et s’´ecoule successivement.
(a) zone 1, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔 (b) zone 1, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔
(c) zone 5, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔 (d) zone 5, 𝐷 = 5, 98 𝐷𝑔
Figure 6.26 – Les graphiques a, b, c, et d sont les profils de temp´erature granulaire dans le cas d’un intrus de diam`etre 𝐷 = 29, 9 mm soit 5, 98 𝐷𝑔 pour l’ensemble des 𝜙 test´ees en zone 1 et 5. Nous
avons repr´esent´e les profils des temp´eratures le long de l’axe de translation de l’intrus (graphiques b et d) ainsi que ceux perpendiculaires au d´eplacement moyen des grains dans son r´ef´erentiel (graphiques a et c) au cours de la progression de l’intrus dans la zone 1 (graphiques a et b) et dans la zone 5 (graphiques c et d).
Pour avoir une id´ee plus pr´ecise de l’´evolution de la temp´erature avec 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙 et 𝜙 nous
avons trac´e, pour les zones 1 et 5 du mˆeme intrus et l’ensemble des fractions d’empilement 𝜙 test´ees, les profils de temp´erature (figures 6.26) correspondant aux profils de d´eplacements vu pr´ec´edemment.
Les profils en zone 1 montrent une augmentation de la temp´erature avec le param`etre 𝜙, que ce soit sur les coupes parall`ele ou transversale `a l’´ecoulement. De plus, la diminution de 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙 tend `a augmenter la temp´erature pour les composantes les plus faibles.
diff´erents param`etres : loin de la paroi frontale, 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙´etant grand, plus la fraction d’empilement
du milieu granulaire 𝜙 est faible plus le potentiel de croissance des rouleaux de recirculation est important. En s’approchant de la paroi frontale, le milieu granulaire atteint une zone sta- tionnaire, la valeur maximale de Ω, de Γ𝑀 𝑎𝑥 et de la temp´erature n’´evoluant plus avec 𝐷 et
𝜙.
6.3
Conclusion
Dans ce chapitre, nous nous sommes d’abord concentr´es sur les champs de d´eplacements puis de d´eformation moyenn´es autour de l’intrus. Nous avons donc effectu´e une moyenne d’ensemble (sur 5 exp´eriences), spatial (dans des cases de 1, 2 diam`etre de gros grains) et temporel (pour plusieurs zones d’approche `a la paroi frontale, chaque zone ´etant d´efinie comme un parcours de l’intrus d’environ 10 diam`etres de gros grain, ce qui correspond `a environ 300 images suc- cessives). Notons que les champs de d´eplacements ont ´et´e calcul´es `a chaque fois entre 2 images cons´ecutives pour une avanc´ee 𝑈0 = 1/6 mm de l’intrus et ont ´et´e repr´esent´es dans le r´ef´erentiel
du plateau. Nous avons vu que les cartographies des champs de d´eplacements moyens ´evoluent avec l’approche `a la paroi frontale, et que les valeurs de vorticit´e maximale ou de maximum de la d´eformation maximale ou de temp´erature croissent `a mesure que la distance `a la paroi frontale, 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙 diminue. Ces ´evolutions sont davantage marqu´ees pour les compacit´es macroscopiques les
plus faibles. Nous relions ces effets `a la mise en place progressive des rouleaux de recirculation qui permettent d’´evacuer les grains vers l’arri`ere de l’intrus. Au d´ebut du chargement, l’avanc´ee de l’intrus conduit `a une pouss´ee des grains vers l’avant, entraˆınant une compression en amont et la formation de la cavit´e `a l’arri`ere. La compressibilit´e du milieu granulaire ´etant limit´ee, il n’y a bientˆot plus de r´eserve d’espace libre accessible `a l’avant de l’intrus et le m´ecanisme de recirculation se met en place pour permettre l’avanc´ee ult´erieure de l’intrus. Ces recirculations conduisent `a un remplissage partiel de la cavit´e `a l’arri`ere de l’intrus. Les compacit´es faibles correspondant `a des compressibilit´es plus importantes du milieu granulaire, les transitoires de compression vers l’avant durent plus longtemps, c’est-`a-dire que l’intrus doit se d´eplacer d’une distance plus grande pour engendrer une recirculation d’amplitude similaire.
A l’approche de la paroi frontale, les caract´eristiques de l’´ecoulement moyen sont station- naires et les champs de d´eplacements moyens obtenus sont compatibles avec une hypoth`ese d’incompressibilit´e globale. les port´ees moyennes de la perturbation introduite par l’intrus sont fonction de son diam`etre mais ne d´ependent plus de la compacit´e. Cependant, les fluctuations par rapport au champ moyen (quantifi´ees par la temp´erature) semblent toujours un peu plus importantes, surtout derri`ere l’intrus, mˆeme en fin de parcours pour les compacit´es macrosco- piques 𝜙 les plus grandes. Les valeurs importantes des fluctuations de force pour les grandes valeurs de 𝜙 seraient donc `a mettre en parall`ele avec les fluctuations par rapport aux champs des d´eplacements moyens.
7
Bilan et Perspectives
Dans un premier temps, ce chapitre r´esume l’ensemble de nos observations sur le com- portement d’un milieu granulaire confin´e soumis `a l’avanc´ee d’un intrus, et tente de relier la dynamique `a la cin´ematique du syst`eme, afin de comprendre le couplage entre la force et ses fluctuations d’un cˆot´e, et le mouvement des grains de l’autre. Dans un deuxi`eme temps, nous allons essayer de recadrer nos r´esultats par rapport aux cas limites des mod`eles ´elastiques et plastiques.