Premi`eres observations

Avant d’analyser en d´etail l’´evolution du milieu granulaire suite `a la progression d’un intrus en son sein pour diff´erents confinements lat´eraux, nous posons un premier regard sur cette s´erie d’exp´eriences afin de rep´erer les points clef.

Nous constatons tout d’abord que la r´eduction de la largeur de la cellule 𝑊 `a 𝜙 constant fait ´evoluer notre syst`eme de mani`ere similaire `a l’augmentation de 𝜙 `a 𝑊 constant.

Nous observons en effet sur la figure 5.20 qu’une cavit´e derri`ere l’intrus se forme toujours, mais la surface de celle-ci, 𝐴𝑊, est r´eduite consid´erablement quand la largeur de la cellule de

Figure 5.20 – La s´erie de photos ci-dessus illustre d’un cˆot´e l’´evolution du sillage suite `a une augmen- tation du param`etre 𝜙, `a gauche, et de l’autre l’´evolution de ce mˆeme sillage suite `a la diminution du param`etre 𝑊 tout en gardant 𝜙 constant, `a droite, en utilisant toujours le mˆeme intrus de diam`etre 𝐷 = 20 mm et en augmentant le champ de vision de la cam´era.

(a) 𝐴𝑊(𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙) (b) 𝐹 (𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙)

Figure 5.21 – Les figures ci-dessus illustrent l’´evolution de la surface du sillage 𝐴𝑊, figure a, et de

la force 𝐹 moyenn´ee par zone sur dix exp´eriences, figure b, en fonction de la distance `a la paroi 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙.

Les diff´erentes couleurs correspondent `a diff´erentes largeurs de 𝑊 de la cellule en millim`etre.

Comme nous pouvons le constater sur la figure 5.21, cet effet de confinement se r´epercute sur la dur´ee des transitoires de formation de la cavit´e (figure 5.21 a), ainsi que sur l’´evolution avec la distance `a la paroi frontale, 𝑑𝑤𝑎𝑙𝑙, de la force moyenn´ee (figure 5.21 b) par zone.

niveaux de force augmentent avec la r´eduction de l’aire de la cavit´e.

5.4.2

Force et fluctuation de force

Nous commen¸cons par ´etudier l’´evolution de la force 𝐹 et de ses fluctuations, Δ𝐹𝑗 et Δ𝐹𝑢,

appliqu´ees sur l’intrus, en fonction du param`etre 𝐷/𝑊 dans la zone 5 comme nous l’avons fait pr´ec´edemment.

Nous constatons sur la figure 5.22 la pr´esence de deux r´egimes aux comportements distincts. La premi`ere ´etape d’´evolution de la force 𝐹 et de ses fluctuations de blocage Δ𝐹𝑗 et de

d´eblocage Δ𝐹𝑢 avec le param`etre 𝐷/𝑊 correspond `a l’intervalle 0, 074 < 𝐷/𝑊 < 0, 15. La

force et ses fluctuations n’y variant pratiquement pas valent approximativement 0, 5 N.

Au del`a de 𝐷/𝑊 = 0, 15, soit pour des largeurs de cellule 𝑊 < 135 mm, la force et ses fluctuations augmentent rapidement. La force est multipli´ee par 12 entre 𝐷/𝑊 = 0, 15 et 𝐷/𝑊 = 0, 23 passant de 0, 5 N `a 5, 4 N, et dans le mˆeme intervalle, les fluctuations de force sont multipli´ees par 6 passant de 0, 5 N `a 3, 1 N que ce soit dans le cas du blocage ou du d´eblocage. Nous pouvons d`es lors constater que le confinement lat´eral ne joue pratiquement pas sur les niveaux de force, pour des largeurs de cellule 𝑊 sup´erieures `a 135 mm dans le cas d’un intrus de diam`etre 𝐷 = 20 mm, ce qui correspond `a un confinement 𝐷/𝑊 = 0, 148.

Notons que lorsque nous avons ´etudi´e l’effet de la fraction d’empilement 𝜙 ou du diam`etre 𝐷, nous avons travaill´e avec une largeur de cellule 𝑊 = 269, 5 mm deux fois plus grande que la largeur de confinement 𝑊𝐶 de transition que nous venons d’´etablir. Notons que les simulations

par dynamique mol´eculaire de Zhou et al [11] montrent un mˆeme effet du confinement lat´eral sur les valeurs de force, mais d`es les valeurs de 𝐷/𝑊 ´egales `a 0, 03.

5.4.3

Distance de blocage/d´eblocage

Nous avons ´egalement ´etudi´e l’´evolution des distances de blocage/d´eblocage Δ𝑋𝑗 et Δ𝑋𝑢

du syst`eme en fonction du param`etre 𝐷/𝑊 (figure 5.23).

Comparativement aux autres observables, les distances de blocage et de d´eblocage ´evoluent peu avec le confinement 𝐷/𝑊 (de l’ordre d’un facteur deux au plus) comme c’´etait d´ej`a le cas quand nous avions fait varier 𝜙 et 𝐷. Nous remarquons tout de mˆeme que ces distances diminuent sensiblement `a mesure que la distance entre les parois lat´erales diminue. Dans le cas du blocage, cette distance passe de 1, 25 mm, soit 0, 25 Dg, pour les faibles confinements

(𝐷/𝑊 = 0, 0742), `a 0, 5 mm, soit 0, 1 Dg, pour les confinements les plus ´elev´es (𝐷/𝑊 = 0, 223).

Dans le cas du d´eblocage, cette distance passe de 0, 85 mm, soit 0, 17 Dg, pour les confinement

les plus faibles (𝐷/𝑊 = 0, 0742), `a 0, 35 mm, soit 0, 07 Dg, pour les plus ´elev´es (𝐷/𝑊 = 0, 223).

Il faut remarquer que malgr´e cette ´evolution constat´ee des distances de blocage et de d´eblocage avec le confinement lat´eral, ces distances caract´eristiques restent toujours de l’ordre de grandeur de la taille d’un pore entre grains.

(a) 𝐹 (𝐷/𝑊 ) (b) 𝑆𝑑𝐹 (𝐷/𝑊 )

(c) Δ𝑗𝐹 (𝐷/𝑊 ) (d) 𝑆𝑑Δ𝑗𝐹 (𝐷/𝑊 )

(e) Δ𝑢𝐹 (𝐷/𝑊 ) (f) 𝑆𝑑Δ𝑢𝐹 (𝐷/𝑊 )

Figure 5.22 – Les figures ci-dessus repr´esentent, en fonction du param`etre 𝐷/𝑊 pour 𝐷 = 20 mm, l’´evolution de la force, des fluctuations de force de blocage et de d´eblocage, respectivement figures a, c et e, et leurs ´ecarts type respectifs, figures b, d et f.

Cette ´evolution nous sugg`ere le m´ecanisme global de r´eorganisation du milieu granulaire induite par le passage de l’intrus. La largeur de la cellule de travail diminuant, l’espace poral total devant l’intrus, seule surface libre en amont de ce dernier, diminue. Cette diminution des r´eserves d’espace libre devant l’intrus a pour effet d’accroˆıtre les niveaux de force.

(a) Δ𝑋𝑗(𝐷/𝑊 ) (b) 𝑆𝑑Δ𝑋𝑗(𝐷/𝑊 )

(c) Δ𝑋𝑢(𝐷/𝑊 ) (d) 𝑆𝑑Δ𝑋𝑢(𝐷/𝑊 )

Figure 5.23 – Les figures ci-dessus repr´esentent l’´evolution avec le param`etre 𝐷/𝑊 de la distance de blocage Δ𝑋𝑗 figure a, de d´eblocage Δ𝑋𝑢 figure c, et leurs ´ecarts type respectifs figures b et d.

5.4.4

Raideur

Compte-tenu des r´esultats pr´ec´edents, les raideurs effectives de blocage et de d´eblocage, 𝐾𝑗 et 𝐾𝑢, du milieu granulaire vont ´egalement ´evoluer en fonction du param`etre 𝐷/𝑊 (figure

5.24).

Ainsi, dans l’intervalle 0, 07 < 𝐷/𝑊 < 0, 15 la raideur du milieu granulaire est quasi constante et est de l’ordre de 900 ± 100 N/m. Pour le plus fort confinement, les raideurs sont de l’ordre de 6000 N/m dans le cas du blocage et de 9000 N/m pour celui du d´eblocage.

5.4.5

Surface du sillage

Nous nous focalisons maintenant sur l’aire maximale 𝐴𝑚𝑎𝑥 atteinte par la cavit´e lors de

premi`ere phase de ”chargement” ainsi que sur l’aire moyenne obtenue en r´egime stationnaire dans la zone 5 du parcours de l’intrus (figure 5.25).

(a) 𝐾𝑗(𝐷/𝑊 ) (b) 𝑆𝑑𝐾𝑗(𝐷/𝑊 )

(c) 𝐾𝑢(𝐷/𝑊 ) (d) 𝑆𝑑𝐾𝑢(𝐷/𝑊 )

Figure 5.24 – Les figures ci-dessus repr´esentent l’´evolution de la raideur effective du milieu granulaire dans le cas du blocage 𝐾𝑗, figure a, et du d´eblocage 𝐾𝑢, figure c, ainsi que leurs ´ecarts type respectifs,

figure b et d, calcul´es `a partir de dix r´ealisations successives pour un mˆeme jeu de param`etres.

En repr´esentation ”log-log”, (figure 5.25 b), nous constatons que l’aire maximum, 𝐴𝑀 𝑎𝑥

𝑊 ,

suit une loi de puissance en 𝑊 : 𝐴𝑀 𝑎𝑥

𝑊 = 𝐶𝑊𝛽, avec 𝐶 = (11, 5 ± 2, 5) 10−3et 𝛽 = 2, 07 ±0, 09.

Cette aire maximum de cavit´e peut donc s’´ecrire sous la forme 𝐴𝑀 𝑎𝑥_𝑊 = 𝐶𝑊2 o`u 𝐶 est une constante sans dimension.

L’aire moyenne du sillage dans la zone 5, 𝐴𝑍5

𝑊, montre la mˆeme pente de 2 pour 𝑊 ≥ 135 mm

repr´esent´ee par la droite en pointill´e vert(figure 5.25 b). Nous constatons cependant une rupture dans ce comportement pour 𝑊 ≈ 135 mm.

De mani`ere analogue au paragraphe portant sur 𝜙, nous calculons l’aire ´equivalente com- pact´ee, 𝐴𝐶, associ´ee `a l’aire de la cavit´e en utilisant la relation 𝐴𝐶 = 𝐴𝑊_𝜙0𝜙

𝐶−𝜙 avec 𝜙

0

𝐶 = 83, 53%

(figure 5.26).

Ainsi sur la figure 5.26 nous constatons que l’aire compact´ee associ´ee `a l’aire maximum, 𝐴𝑀 𝑎𝑥

𝐶 , suit une loi de puissance en 𝑊 : 𝐴𝑀 𝑎𝑥𝐶 = 𝐵𝑊2 avec 𝐵 = 0, 43 ± 0, 14.

(a) 𝐴 (𝑊 ) 𝑙𝑖𝑛 − 𝑙𝑖𝑛 (b) 𝐴 (𝑊 ) 𝑙𝑜𝑔 − 𝑙𝑜𝑔

Figure 5.25 – Les figures ci-dessus repr´esentent, moyenn´ee sur 5 exp´eriences successives pour un mˆeme jeu de param`etres, l’´evolution de l’aire dans la zone 5, 𝐴𝑍5_𝑊, et l’aire maximum du sillage laiss´e par l’intrus au cours du chargement initial du milieu, 𝐴𝑀 𝑎𝑥_𝑊 .

Figure 5.26 – La figure ci-dessus repr´esente l’´evolution de l’aire ´equivalente compact´ee, 𝐴𝐶, en fonc-

tion de 𝑊 , en consid´erant l’´evolution de l’aire dans la zone 5, 𝐴𝑍5

𝐶 , et l’aire maximum du sillage laiss´e

par l’intrus, 𝐴𝑀 𝑎𝑥_𝐶 .

consiste `a consid´erer que l’aire maximum compact´ee 𝐴𝑀 𝑎𝑥

𝐶 est un cˆone devant l’intrus de demi-

angle au sommet 𝜃, selon la figure 5.28. Ce cˆone compact´e serait produit par la compression du milieu granulaire lors de l’avanc´ee de l’intrus. Cette hypoth`ese est compatible avec les mesures de compacit´e locale devant l’intrus (figure 5.27). Cependant, cette mesure de compacit´e a ´et´e effectu´ee dans une fenˆetre rectangulaire la plus large possible devant l’intrus, soit `a 2𝐷𝑔 des

bords du champs de vision et ´egalement `a 2𝐷𝑔 devant l’intrus pour ´eviter les effets de bords.

Cette fenˆetre ne co¨ıncide donc pas avec la zone hypoth´etique compact´ee de forme triangulaire. Malgr´e tout, nous voyons que la compacit´e (moyenn´ee sur cinq exp´eriences) `a l’avant de l’intrus

commence d’abord par croˆıtre de fa¸con importante lors de la phase de chargement correspondant `a la cr´eation de la cavit´e arri`ere jusqu’`a 𝐴𝑀 𝑎𝑥

𝑊 .

Figure 5.27 – La figure ci-dessus repr´esente l’´evolution avec la distance de parcours 𝑑 de la fraction d’empilement 𝜙, la compacit´e, mesur´ee dans une fenˆetre rectangulaire devant l’intrus et moyenn´ee point par point sur cinq exp´eriences r´ealis´ees pour 𝑊 = 269, 5 mm.

Il y a donc bien une compaction `a l’avant de l’intrus. Si l’on fait l’hypoth`ese que cette zone compact´ee est un cˆone, alors l’aire de ce cˆone s’´ecrit

𝐴𝑐𝑜𝑛𝑒 = 𝑊 2 ℎ = ( 𝑊 2 )2 1 tan 𝜃 .

Figure 5.28 – La figure ci-dessus mod´elise le cˆone de compaction dont nous pouvons imaginer la pr´esence au devant de l’intrus.

Compte-tenu de l’ajustement de 𝐴𝑀 𝑎𝑥

𝐶 en fonction de 𝑊2, ce calcul nous donne donc acc`es

`a l’angle 𝜃, demi angle d’ouverture du cˆone : tan 𝜃 = _4𝐵1 , soit 𝜃 = 30∘_.

Nous pouvons faire de mˆeme avec l’aire compact´ee ´equivalente associ´ee `a 𝐴𝑍5

𝑊 dans la zone

5. 𝐴𝑍5

𝐶 suit une loi de puissance de 𝑊 : 𝐴𝑍5𝐶 = 𝐵𝑊2 avec 𝐵 = 0, 190 ± 0, 007, et donc 𝜃 = 52∘.

A supposer qu’un cˆone de compaction se forme au devant de l’intrus, nous constatons que l’angle d’ouverture de ce dernier croˆıt `a l’approche de la paroi frontale. Ceci semblerait indiquer que la transition entre la zone compact´ee et la zone moins dense symbolis´ee par la limite de ce cˆone se d´eplace vers l’arri`ere de l’intrus au cours de l’avanc´ee de ce dernier au sein du milieu granulaire.

Si nous revenons maintenant sur les r´esultats du paragraphe concernant les param`etres 𝜙 et 𝐷, nous avions vu que l’aire ´equivalente compact´ee en zone 5 en faisant varier 𝐷 et 𝜙 ≤ 𝜙★ <sub>= 81, 8 % ´etait ´egale `a 𝐴</sub>𝑍5

𝐶 = 12700 ± 1600 mm2. Les exp´eriences ´etaient r´ealis´ees `a

largeur 𝑊 = 269, 5 mm constante. En identifiant 𝐴𝑍5 𝐶 `a 𝑊

2

4𝑡𝑎𝑛𝜃, nous trouvons un angle 𝜃 ≈ 54˚

quel que soit le diam`etre d’intrus, valeur tr`es proche du 𝜃 obtenu en zone 5 dans les autres s´eries d’exp´eriences `a 𝑊 variable.