Le cas des courbes ferm´ees n´ecessite un traitement particulier `a cause de l’absence d’extr´emit´e. Nous pr´esenterons donc d’abord la m´ethode des coupures dans le cas d’un milieu curviligne poss´edant deux extr´emit´es et son extension aux courbes ferm´ees sera faite apr`es. Dans la suite de cette section, I ⊂ C d´esignera de fa¸con g´en´erique l’ensemble de points dont on v´erifie l’´equilibre. L’id´ee est de v´erifier tout d’abord l’´equilibre de l’ensemble du milieu curviligne, puis de le v´erifier pour deux familles de parties de plus en plus petites avant de le v´erifier pour toutes les parties.
2.4.1 Cas des milieux curvilignes avec extr´emit´es
La configuration que l’on suppose en ´equilibre est s 7→ x(s) avec s ∈ C = (0, `). Le milieu est suppos´e soumis `a
• une densit´e de forces lin´eiques s 7→ f(s) ;
• une densit´e de couples lin´eiques de moment s 7→ m(s) ;
• une force et un moment (´eventuellement nuls) `a chaque extr´emit´e, soit (F0,M0) en s = 0 et (F`,M`) en s = ` ;
• ´eventuellement, une famille de forces et de couples ponctuels (extr´emit´es exclues) que l’on in-dexera par l’abscisse curviligne si du point o`u ils sont appliqu´es, i.e. (Fsi,Msi) d´esigne la force et le moment de l’effort ponctuel appliqu´e au point g´eom´etrique x(si). L’ensemble de ces points est not´eP,
il peut ˆetre vide, mais est suppos´e de cardinal fini,
P = ∅ ou bien P = {s1,· · · , sn} (ensemble des points soumis `a des efforts ext´erieurs ponctuels) . 1. Equilibre global : on prendI = C. Pour que la condition d’´equilibre soit satisfaite, il faut donc que la r´esultante et le moment r´esultant de tous les efforts ext´erieurs agissant sur le milieu curviligne soient nuls. L’´equilibre des forces donne
Equilibre global des forces : 0 = F0+ Z `
0
f (s)ds + X
si∈P
Fsi + F` . (2.2)
Pour ´ecrire l’´equilibre des moments, on peut choisir n’importe quel point du plan pour y calculer ces moments. En prenant le point x(0), on obtient
Equilibre global des moments :
0 = M0+ Z ` 0 m(s)ds + Z ` 0 (x(s)− x(0))∧. f (s)ds + X si∈P Msi+X si∈P (x(si)− x(0))∧. Fsi+M`+ (x(`)− x(0))∧. F` (2.3)
(i) l’ensemble du milieu curviligne avec iciP = {s1, s2, s3}
(ii) les parties amont et aval apr`es coupure au point s6∈ P
(iii) les parties amont et aval apr`es la coupure au point s2∈ P.
Noter que les efforts ponctuels exerc´es en s2 avant la coupure ne figurent plus
Figure 2.2 – Chargement de tout ou partie du milieu curviligne suppos´e en ´equilibre dans la confi-guration repr´esent´ee : en vert clair, les densit´es lin´eiques de forces et de moments ; en vert sombre, les forces et les moments aux extr´emit´es ; en rouge, les forces et les moments ponctuels ; en bleu, les efforts int´erieurs.
2. Equilibre des intervalles (s, `) : on prendI = (s, `) avec s ∈ C. Cette partie est soumise : • en s, `a l’action de la partie amont du milieu et donc, par d´efinition, `a la force Rr(s) et au moment Mr(s) ;
• sur (s, `), `a la densit´e lin´eique de forces f et de moments m ;
• sur les points si appartenant `a P ∩ (s, `), aux efforts ponctuels correspondants ; • en `, `a la force F` et au momentM`.
En ´ecrivant l’´equilibre des forces, on obtient
Equilibre des forces sur (s, `) : 0 = Rr(s) + Z `
s
f (˜s)d˜s + X
si∈P∩(s,`)
Fsi+ F` . (2.4) En calculant les moments au point x(s), la condition d’´equilibre des moments donne
Equilibre des moments sur (s, `) : 0 = Mr(s) + Z ` s m(˜s)d˜s + Z ` s (x(˜s)− x(s))∧. f (˜s)d˜s + X si∈P∩(s,`) Msi+ X si∈P∩(s,`) (x(si)− x(s))∧. Fsi+M`+ (x(`)− x(s))∧. F` . (2.5)
Ces relations d’´equilibre fournissent donc les efforts int´erieurs s7→ Rr(s) et s7→ Mr(s) en termes des efforts ext´erieurs et de la configuration d’´equilibre.
3. Equilibre des intervalles (0, s) : on prend I = (0, s) avec s ∈ C. Cette partie est soumise : • en 0, `a la force F0 et au momentM0;
• sur (0, s), `a la densit´e lin´eique de forces f et de moments m ;
• sur les points si appartenant `a P ∩ (0, s), aux efforts ponctuels correspondants ;
• en s, `a l’action de la partie aval du milieu et, par d´efinition, `a la force R(s) et au moment M(s). En ´ecrivant l’´equilibre des forces, on obtient
Equilibre des forces sur (0, s) : 0 = F0+ Z s
0
f (˜s)d˜s + X
si∈P∩(0,s)
Fsi+ R(s) . (2.6) En calculant les moments au point x(s), la condition d’´equilibre des moments donne
Equilibre des moments sur (0, s) : 0 = M0+ (x(0)− x(s))∧. F0+ Z s 0 m(˜s)d˜s + Z s 0 (x(˜s)− x(s))∧. f (˜s)d˜s + X si∈P∩(0,s) Msi+ X si∈P∩(0,s) (x(si)− x(s))∧. Fsi+ M (s) . (2.7)
Remarque 2.1. Si on choisit l’origine O du rep`ere pour calculer les moments, l’´equation d’´equilibre des moments s’´ecrit
0 = M0+ x(0)∧. F0+ Z s 0 m(˜s)d˜s + Z s 0 x(˜s)∧.f (˜s)d˜s + X si∈P∩(0,s) Msi+ X si∈P∩(0,s) x(si)∧. Fsi+ x(s)∧.R(s) + M (s) (2.8)
qui est ´equivalente `a (2.7) en tenant compte de (2.6).
Ces relations d’´equilibre fournissent donc la r´epartition des efforts int´erieurs s7→ R(s) et s 7→ M(s) en termes des efforts ext´erieurs et de la configuration d’´equilibre.
4. Equilibre de tous les intervalles (s0, s00) avec 0 ≤ s0 < s00 ≤ ` : Montrons maintenant que les conditions d’´equilibre obtenues pr´ec´edemment, `a savoir (2.2)–(2.7), sont suffisantes pour assurer l’´equilibre de n’importe quel intervalle. On prend doncI = (s0, s00). Cette partie est soumise :
• en s0, `a l’action de la partie derri`ere du milieu et donc `a la force Rr(s0) et au moment Mr(s0) ; • sur (s0, s00), `a la densit´e lin´eique de forces f et de moments m ;
• sur les points si appartenant `a P ∩ (s0, s00), aux efforts ponctuels correspondants ;
• en s00, `a l’action de la partie devant du milieu et donc `a la force R(s00) et au moment M (s00). Noter que l’on se sert ici du fait que les efforts int´erieurs sont, par hypoth`ese, des efforts locaux qui ne d´ependent pas des voisinages de points derri`ere ou devant consid´er´es. En cons´equence, les efforts exerc´es en s0 apr`es coupure en ce point ne d´ependent pas du fait que l’on ait coup´e aussi en s00(et vice versa). Ce sont n´ecessairement les mˆemes que ceux que l’on a calcul´e en ´ecrivant l’´equilibre de (s0, `), i.e.Rr(s0) et Mr(s0) donn´es par (2.4) et (2.5) (idem pour les efforts en s00).
En calculant la r´esultante des forces, on obtient
R´esultante des forces sur (s0, s00) = Rr(s0) + Z s00
s0 f (˜s)d˜s + X
si∈P∩(s0,s00)
Fsi+ R(s00). Si l’on prend (2.4) avec s = s0 et (2.6) avec s = s00, qu’on les additionne et qu’on retranche (2.2), il vient 0 = Rr(s0) + Z s00 s0 f (˜s)d˜s + X si∈P∩(s0,`) Fsi+ X si∈P∩(0,s00) Fsi−X si∈P Fsi+ R(s00). Comme P si∈P∩(s0,`)Fsi +P si∈P∩(0,s00)Fsi −P si∈PFsi = P si∈P∩(s0,s00)Fsi, on en d´eduit que la r´esultante des forces sur (s0, s00) est nulle. On proc`ede de mˆeme pour le moment r´esultant sur (s0, s00) et on d´eduit de (2.3), (2.5) et (2.7) que le moment r´esultant est nul (le d´etail des calculs est laiss´e `a titre d’exercice). Par cons´equent, l’intervalle (s0, s00) est en ´equilibre d`es lors que (2.2)–(2.5) sont satisfaites. Exercice 2.2. V´erifier que le moment r´esultant de l’ensemble des efforts ext´erieurs s’exer¸cant sur l’intervalle (s0, s00) est nul d`es lors que (2.2)–(2.7) sont satisfaites.
2.4.2 Cas des milieux curvilignes `a courbe ferm´ee
Int´eressons-nous maintenant au cas o`u le milieu continu n’a pas de bord. La configuration que l’on suppose en ´equilibre est s 7→ x(s) avec s ∈ C = [0, `) et x(0) = x(`). Pour les efforts ext´erieurs, une diff´erence majeure par rapport aux milieux curvilignes ouverts est que, comme ici il n’y a pas d’extr´emit´es, il n’y a plus les efforts associ´es. On d´efinit toujoursP comme l’ensemble des points de C (´eventuellement vide) sur lesquels sont exerc´es des efforts ext´erieurs ponctuels, mais notons que s = 0 peut ˆetre un tel point (c’est le cas sur la figure 2.3).
1. Equilibre global : on prendI = C. L’´equilibre des forces donne Equilibre global des forces : 0 =
Z ` 0
f (s)ds + X
si∈P
Fsi (2.9)
alors que l’´equilibre des moments calcul´e au point x(0) donne Equilibre global des moments :
0 = Z ` 0 m(s) + (x(s)− x(0))∧. f (s)ds +X si∈P Msi+ (x(si)− x(0))∧. Fsi . (2.10)
2. Equilibre des intervalles (s, `) : on prend I = (s, `) avec s ∈ C = [0, `). Cette partie3 est soumise :
• en s, `a la force Rr(s) et au moment Mr(s) ;
• sur (s, `), `a la densit´e lin´eique de forces f et de moments m ;
• sur les points si appartenant `a P ∩ (s, `), aux efforts ponctuels correspondants ;
• en `, cet intervalle est soumis aux efforts des voisinages devant 0 (i.e. les intervalles du type (0, h)) et donc `a la force R(0) et au moment M (0).
En ´ecrivant l’´equilibre des forces, on obtient
Equilibre des forces sur (s, `) : 0 = Rr(s) + Z `
s
f (˜s)d˜s + X
si∈P∩(s,`)
Fsi+ R(0) . (2.11) En calculant les moments au point x(s), la condition d’´equilibre des moments donne
Equilibre des moments sur (s, `) :
0 = Mr(s) + Z ` s m(˜s) + (x(˜s)− x(s))∧. f (˜s)d˜s + X si∈P∩(s,`) Msi+ (x(si)− x(s))∧. Fsi + M (0) + (x(0)− x(s))∧. R(0) . (2.12)
3. Quand s = 0, l’´etude de l’´equilibre de (0, `) diff`ere de celle faite pr´ec´edemment pour l’´equilibre global car le point s = 0 ne fait plus partie du domaine ´etudi´e
(i) L’ensemble du milieu avec son chargement, iciC = [0, `) et P = {0, s1}.
(ii) La partie amont (0, s) avec son chargement apr`es coupure du milieu aux points 0 et s.
(iii) La partie aval (s, `) avec son chargement apr`es coupure du milieu aux points 0 et s. Figure 2.3 – Cas d’un milieu curviligne `a courbe ferm´ee avec des efforts ponctuels en s = 0.
Ces relations d’´equilibre fournissent donc les efforts int´erieurs s7→ Rr(s) et s7→ Mr(s) en termes des efforts ext´erieurs, de la configuration d’´equilibre et des efforts int´erieurs R(0) et M (0). En particulier, en ´ecrivant (2.11) en s = 0 on obtient Rr(0) + R(0) =− Z ` 0 f (˜s)d˜s− X si∈P∩(0,`) Fsi.
En tenant compte de (2.9), on en d´eduit que Rr(0) + R(0) =
(
0 si 06∈ P
F0 sinon .
De mˆeme, en ´ecrivant (2.12) en s = 0 et en tenant compte de (2.10), on obtient Mr(0) + M (0) =
(
0 si 06∈ P
M0 sinon .
On retrouve ici le r´esultat g´en´eral qui sera ´enonc´e dans P-2.1 : le principe de l’action et de la r´eaction ne s’applique en s = 0 que si aucun effort ext´erieur ponctuel n’est exerc´e en s = 0.
3. Equilibre des intervalles (0, s) : on prendI = (0, s) avec s ∈ (0, `). Cette partie est soumise : • en 0, `a la force Rr(0) et au moment Mr(0) ;
• sur (0, s), `a la densit´e lin´eique de forces f et de moments m ; • sur les points si∈ P ∩ (0, s), aux efforts ponctuels correspondants ;
• en s, `a l’action de la partie devant du milieu et donc `a la force R(s) et au moment M(s). En ´ecrivant l’´equilibre des forces, on obtient
0 = Rr(0) + Z s 0 f (˜s)d˜s + X si∈P∩(0,s) Fsi + R(s).
En tenant compte de la relation entre Rr(0) et R(0), on peut aussi l’´ecrire Equilibre des forces sur (0, s) : 0 =−R(0) +
Z s 0
f (˜s)d˜s + X
si∈P∩[0,s)
Fsi+ R(s) . (2.13)
En calculant les moments au point x(s), la condition d’´equilibre des moments donne 0 = Mr(0) + (x(0)− x(s))∧. Rr(0) + Z s 0 m(˜s) + (x(˜s)− x(s))∧. f (˜s)d˜s + X si∈P∩(0,s) Msi+ (x(si)− x(s))∧. Fsi+ M (s).
En tenant compte de la relation entre (Rr(0), Mr(0)) et (R(0), M (0)), on peut aussi l’´ecrire Equilibre des moments sur (0, s) :
0 = −M(0) − (x(0) − x(s))∧. R(0) + Z s 0 m(˜s) + (x(˜s)− x(s))∧. f (˜s)d˜s + X si∈P∩[0,s) Msi+ (x(si)− x(s))∧. Fsi + M (s) . (2.14)
Ces relations d’´equilibre fournissent donc la r´epartition des efforts int´erieurs s7→ R(s) et s 7→ M(s) pour s6= 0 en termes des efforts ext´erieurs, de la configuration d’´equilibre et de (R(0), M(0)). On voit donc qu’`a ce stade R(0) et M (0) restent ind´etermin´es.
4. Equilibre des intervalles (s0, s00) avec 0 ≤ s0 < s00 ≤ ` : Montrons maintenant que les conditions d’´equilibre obtenues pr´ec´edemment, `a savoir (2.9)–(2.12), sont suffisantes pour assurer l’´equilibre de n’importe quel intervalle de ce type. On prend doncI = (s0, s00). Cette partie est soumise : • en s0, `a l’action de la partie derri`ere du milieu et donc `a la force Rr(s0) et au moment Mr(s0) ; • sur (s0, s00), `a la densit´e lin´eique de forces f et de moments m ;
• sur les points si appartenant `a P ∩ (s0, s00), aux efforts ponctuels correspondants ;
• en s00, `a l’action de la partie devant du milieu et donc `a la force R(s00) et au moment M (s00). En calculant la r´esultante des forces, on obtient
R´esultante des forces sur (s0, s00) = Rr(s0) + Z s00
s0
f (˜s)d˜s + X
si∈P∩(s0,s00)
Fsi+ R(s00).
Si l’on prend (2.11) avec s = s0 et (2.13) avec s = s00, qu’on les additionne et qu’on retranche (2.9), il vient 0 = Rr(0) + R(0) + Rr(s0) + Z s00 s0 f (˜s)d˜s + X si∈P∩(s0,`) Fsi+ X si∈P∩(0,s00) Fsi−X si∈P Fsi+ R(s00). Comme P si∈P∩(s0,`)Fsi +P si∈P∩(0,s00)Fsi −P si∈PFsi = P si∈P∩(s0,s00)Fsi, on en d´eduit que la r´esultante des forces sur (s0, s00) est nulle. On proc`ede de mˆeme pour le moment r´esultant sur (s0, s00) et on d´eduit de (2.3), (2.5) et (2.7) que le moment r´esultant est nul (le d´etail des calculs est laiss´e `a titre d’exercice). Par cons´equent, l’intervalle (s0, s00) est en ´equilibre d`es lors que (2.2)–(2.5) sont satisfaites.
Exercice 2.3. V´erifier que le moment r´esultant de l’ensemble des efforts ext´erieurs s’exer¸cant sur l’intervalle (s0, s00) est nul d`es lors que (2.2)–(2.7) sont satisfaites.
2.4.3 Extension aux assemblages de milieux curvilignes
Exercice 2.4. Appliquer la m´ethode des coupures pour d´eterminer les efforts int´erieurs `a l’angle d’un portique en forme de T soumis `a son poids propre et `a la base `a des efforts tels que l’´equilibre global soit possible, les deux autres extr´emit´es ´etant libres.
`
A cet angle, i.e. au point de jonction des 2 barres du T, les efforts int´erieurs sont d´efinis comme l’in-dique la figure ci-contre.