Cas des petits d´ eplacements

4.6.1 Lin´earisation du probl`eme aux limites

Dans le probl`eme de la poutre de Galil´ee, on a vu que dans le cas de chargements faibles les d´eplacements et les d´eformations ´etaient faibles ce qui permettait de faire un traitement simplifi´e du probl`eme en le lin´earisant. Il s’av`ere que ce proc´ed´e peut se g´en´eraliser `a toutes les situations o`u le chargement est faible (par rapport `a un chargement de r´ef´erence qu’il s’agira de pr´eciser `a chaque fois). En effet, ce chargement faible induit des petits d´eplacements et des petites d´eformations par rapport `

a une configuration de r´ef´erence (qu’il s’agira aussi de bien choisir `a chaque fois), ce qui permet de simplifier le probl`eme en n´egligeant certains termes. On aboutit ainsi `a un probl`eme aux limites dit lin´earis´equi jouit de propri´et´es particuli`eres et qui se r´esout en g´en´eral beaucoup plus facilement que le probl`eme complet. Cette approche simplifi´ee, qui n’est pas sp´ecifique aux milieux curvilignes, est le coeur de la R´esistance des Mat´eriaux et du Calcul des Structures d´evelopp´es depuis plus d’un si`ecle en ing´enierie. On se propose de d´ecrire ici cette m´ethode de lin´earisation avant de l’illustrer sur quelques exemples.

Le proc´ed´e de lin´earisation peut se diviser en quatre grandes ´etapes qui sont d´ecrites ci-dessous. Pour simplifier la pr´esentation, nous supposerons que le milieu a un comportement ´elastique et qu’il se d´eforme peu et se d´eplace peu par rapport `a une configuration de r´ef´erence naturelle15.

1. Choix de la configuration de r´ef´erence. On suppose a priori que le milieu s’´ecarte peu d’une configuration de r´ef´erence naturelle qu’il faut commencer par pr´eciser. Connaissant la forme naturelle de l’objet par la relation S 7→ CR(S) entre l’abscisse curviligne (naturelle) et la courbure (naturelle), elle est connue `a un d´eplacement rigide pr`es. De fa¸con pr´ecise, connaissant S 7→ CR(S), on d´eduit par int´egration S7→ αR(S) `a une constante pr`es α0

R, αR(S) = α⁰_R+

Z S 0

CR( ˜S)d ˜S.

Puis sachant que x⁰_R(S) = cos αR(S)e₁ + sin αR(S)e₂, on obtient la configuration de r´ef´erence par int´egration `a un vecteur translation pr`es x0

R, xR(S) = x⁰_R+ Z S 0 cos αR( ˜S)d ˜S e₁+ Z S 0 sin αR( ˜S)d ˜S e₂.

Il s’agit donc de fixer les constantes α⁰_R et x⁰_R. Pour cela on s’aide des conditions aux limites du probl`eme. Leur d´etermination est imm´ediate dans le cas d’un probl`eme isostatique ou hyperstatique o`u on impose au moins trois conditions aux limites cin´ematiques, mais peut demander la r´esolution d’un probl`eme de statique de milieu rigide dans le cas hypostatique (on peut mˆeme avoir le choix entre plusieurs configurations de r´ef´erence si le probl`eme de statique de milieu rigide associ´e poss`ede plusieurs solutions). Il faut donc raisonner au cas par cas et nous verrons quelques exemples-type dans les sections qui suivent. Pour l’heure, nous supposerons que la configuration de r´ef´erence naturelle S7→ xR(S) a ´et´e identifi´ee.

15. On pourrait ´evidemment s’int´eresser aussi aux cas o`u l’on pr´ed´eforme le milieu curviligne avant de lui superposer

des chargements faibles qui l’´ecarteront peu de cette configuration d’´equilibre pr´ed´eform´ee. Pour l’essentiel, la proc´edure est la mˆeme, mais le probl`eme aux limites lin´earis´e obtenu diff`ere du fait de la pr´esence des pr´ed´eformations. La m´ethode de lin´earisation se g´en´eralise aussi aux milieux in´elastiques.

2. Lin´earisation des ´equations d’´equilibre. Comme le milieu s’´ecarte peu de la configuration de r´ef´erence S7→ xR(S), la premi`ere simplification consiste `a ´ecrire les ´equations d’´equilibre en n´egligeant les changements de g´eom´etrie et en identifiant la configuration d’´equilibre avec la configuration de r´ef´erence. De fa¸con pr´ecise, on fait les approximations suivantes :

(a) D´ecomposition des efforts int´erieurs. La force int´erieure R(S) est d´ecompos´ee sur la base locale de la configuration de r´ef´erence(tR(S), nR(S)) :

R(S) = N (S) tR(S) + T (S) nR(S) ,

alors que l’effort normal et l’effort tranchant se d´efinissent normalement par rapport `a la base locale de la configuration d’´equilibre (t(S), n(S)).

(b) Efforts ext´erieurs. Les efforts ext´erieurs r´epartis sont d´efinis par leur densit´e (f_R, m_R) par rap-port `a la configuration de r´ef´erence en n´egligeant les variations de longueur, i.e. s<sup>0</sup>(S)≈ 1. Les efforts ext´erieurs ponctuels (y compris les efforts aux extr´emit´es) sont appliqu´es aux points dans leur confi-guration de r´ef´erence. Lorsque ces efforts d´ependent de la position ou de l’orientation du milieu dans le plan, leur valeur est prise en identifiant la configuration d’´equilibre `a la configuration de r´ef´erence, cf le probl`eme de la tige soumise `a une force centrifuge.

(c) Equations d’´equilibre. Compte tenu des approximations pr´ec´edentes, les ´equations d’´equilibre locales s’´ecrivent finalement

                   R⁰(S) + f_R(S) = 0 ∀S ∈ CR\ PR M⁰(S) + 1 T (S) + m_R(S) = 0 ∀S ∈ CR\ PR [[R]](S_i) + F_Si = 0 ∀Si ∈ PR [[M ]](Si) + MSi = 0 ∀Si ∈ PR

o`u les termes encadr´es en rouge sont ceux susceptibles d’avoir ´et´e simplifi´es par rapport au probl`eme complet. En particulier, si l’on projette l’´equation locale d’´equilibre des forces sur le rep`ere local de la configuration de r´ef´erence, on obtient

     N⁰(S)− CR(S) T (S) + f_R(S)·tR(S) = 0 T⁰(S) + CR(S) N (S) + f_R(S)·nR(S) = 0

´equations qui ne font intervenir que la g´eom´etrie de la configuration de r´ef´erence.

(d) Conditions aux limites. On peut ˆetre conduit `a lin´eariser ´egalement les conditions aux limites. C’est en particulier le cas pour les conditions d’encastrement ou d’appui simple. On se contentera de les ´etudier sur des exemples.

3. Lin´earisation des relations d´eformations-d´eplacements. Les inconnues cin´ematiques naturelles pour le probl`eme aux limites lin´earis´e sont les deux composantes (u, w) du vecteur d´eplacement ξ, i.e. le d´eplacement d’extension et la d´eflexion. La rotation, la d´eformation d’extension et la d´eformation

de flexion s’expriment en termes de u, w, de leurs d´eriv´ees et de la courbure de r´ef´erence. On adopte ici l’hypoth`ese HPP et on utilise les expressions lin´earis´ees, cf Chapitre 1

           ε = ξ⁰· tR = u⁰− CRw, ω = ξ⁰· nR= w⁰+ CRu, κ = (ξ⁰· nR)⁰ = w⁰⁰+ (CRu)⁰

4. Lin´earisation des relations constitutives. On pourrait limiter le proc´ed´e de lin´earisation aux trois ´etapes pr´ec´edentes car elles s’appuient uniquement sur l’hypoth`ese HPP postulant que les d´eplacements et les d´eformations sont petits. Elles ne n´ecessitent aucune hypoth`ese sur la loi de comportement. On peut tr`es bien concevoir un probl`eme en petits d´eplacements et petites d´eformations en ´elasto-plasticit´e o`u la relation contrainte-d´eformation est fortement non lin´eaire. En effet, pour beaucoup de mat´eriaux les non-lin´earit´es de comportement ont lieu `a des niveaux de d´eformation d’extension de l’ordre de 10⁻⁴–10⁻³ et les d´eformations `a rupture ne d´epassent pas quelques pourcents. En cons´equence, une grande majorit´e des probl`emes d’ing´enierie se traitent dans le cadre HPP avec des comportements non lin´eaires, y compris les probl`emes de rupture et de propagation de fissures.

Toutefois, sachant que la plupart des mat´eriaux ont un comportement que l’on peut consid´erer comme lin´eairement ´elastique dans une certaine plage de d´eformations, on peut aussi adopter ce cadre de comportement lin´earis´e si le chargement est suffisamment faible. Dans ce cas la loi constitutive s’´ecrit

     N = EA ε− EC κ M =−EC ε + EI κ

dans le cas d’une section h´et´erog`ene, cf Chapitre 3. Elle se r´eduit `a N = EAε et M = EIκ dans le cas d’une section homog`ene.

Si l’on examine le probl`eme aux limites obtenu apr`es ces quatre ´etapes de lin´earisation, on constate imm´ediatement les simplifications suivantes par rapport au probl`eme complet d’origine :

• Tous les efforts ext´erieurs ne d´ependent que de la configuration de r´ef´erence et sont donc connus a priori;

• Du fait de la lin´earit´e des ´equations d’´equilibre par rapport aux efforts int´erieurs, de la lin´earit´e des relations g´eom´etriques entre les d´eformations et les d´eplacements et de la lin´earit´e des relations constitutives entre les efforts int´erieurs et les d´eformations, le probl`eme aux limites obtenu est lin´eaire par rapport aux inconnues (N, T, M, u, w) ;

• En ´eliminant les efforts int´erieurs et en conservant les d´eplacements comme inconnues principales, on obtient un syst`eme diff´erentiel lin´eaire du quatri`eme ordre en w et du deuxi`eme ordre en u. Toutes ces simplifications font que le probl`eme aux limites lin´earis´e jouit de propri´et´es remarquables que nous pourrons constater sur les exemples qui suivent et que nous d´emontrerons dans le chapitre d´edi´e aux approches variationnelles.

4.6.2 Probl`eme de la tige sous pesanteur et force centrifuge

Ce probl`eme a ´et´e trait´e au d´ebut du chapitre sous l’hypoth`ese d’un comportement rigide. On a en particulier constat´e qu’il n’´etait pas possible de d´eterminer la r´epartition des efforts int´erieurs dans le cas encastr´e-appui simple du fait du caract`ere hyperstatique du probl`eme. Nous allons voir qu’en levant l’hypoth`ese de rigidit´e et en supposant un comportement ´elastique, on peut d´eterminer compl`etement les efforts int´erieurs. Ce r´esultat justifie `a lui seul le bien-fond´e du d´eveloppement d’une m´ecanique des milieux continus d´eformables. En contrepartie, il peut arriver que le probl`eme lin´earis´e admette une infinit´e de solutions possibles en d´eplacement, c’est ce que nous constaterons dans le cas fix´e-libre.

Cas encastr´e-appui simple

L’extr´emit´e S = 0 est encastr´ee au point O dans la direction e₁, alors que l’extr´emit´e S = `R est sur un appui simple sur l’axe x₂ = 0. On prend donc pour configuration de r´ef´erence naturelle :

xR(S) = Se₁, S ∈ (0, `R).

Dans cette configuration, l’´el´ement de longueur dS situ´e en S est soumis `a la force f_R(S)dS somme de la force de pesanteur et de la force centrifuge, ce qui donne

f_R(S) = %_RΩ²Se₁− %Rge₂.

L’approximation tient ici au fait que la force centrifuge devrait normalement se calculer sur la configu-ration d’´equilibre et la densit´e de forces lin´eiques devrait donc s’´ecrire f_R(S) = %_RΩ2x₁(S)e₁− %Rge₂. En supposant le d´eplacement horizontal petit, on approxime x1(S) par S. Le rep`ere local de la configu-ration de r´ef´erence ´etant ici tR= e₁ et nR = e₂, le d´eplacement et les efforts int´erieurs se d´ecomposent en

ξ(S) = u(S)e1+ w(S)e2, R(S) = N (S)e1+ T (S)e2,

l’approximation dans la projection de R venant de l’identification de (t, n) avec(e₁, e₂). Comme la configuration de r´ef´erence v´erifie la condition d’encastrement en S = 0, pour que la configuration d’´equilibre la v´erifie il faut que ξ(0) = 0 et ω(0) = 0. La courbure de r´ef´erence ´etant nulle, l’expression lin´earis´ee de la rotation en fonction de la d´eriv´ee des d´eplacements se r´eduit `a ω = w⁰. Par cons´equent la condition lin´earis´ee d’encastrement s’´ecrit

u(0) = w(0) = 0, w⁰(0) = 0.

La condition d’appui simple en `R s’´ecrit th´eoriquement x2(`R) = ξ2(`R) = 0, R(`R) · e1 = 0 et M (`R) = 0. En utilisant les d´ecompositions du d´eplacement et de la force int´erieure, elle devient

w(`R) = 0, N (`R) = 0, M (`R) = 0.

L’approximation tient ici au fait que l’on confond t(`R) avec tR(`R) = e₁. Enfin, si l’on suppose que la tige est homog`ene et `a section constante, les relations constitutives se r´eduisent `a

o`u l’on a pris les expressions lin´earis´ees des d´eformations et on a tenu compte que CR= 0. En r´esum´e, le probl`eme aux limites lin´earis´e s’´ecrit

Equations d’´equilibre      N⁰(S) + %_RΩ²S = 0 T⁰(S)− %Rg = 0 M⁰(S) + T (S) = 0 ∀S ∈ (0, `R) Relations constitutives ( N (S) = EAu<sup>0</sup>(S) M (S) = EIw<sup>00</sup>(S) ∀S ∈ (0, `R)

Conditions aux limites (

u(0) = 0, w(0) = 0, w⁰(0) = 0 N (`R) = 0, w(`R) = 0, M (`R) = 0

Pour le r´esoudre on peut suivre la d´emarche utilis´ee dans le cas rigide en partant des ´equations d’´equilibre. L’´equation d’´equilibre horizontale et la condition d’appui simple N (`R) permettent de d´eterminer la r´epartition de l’effort normal

N (S) = ¹₂%_RΩ²(`²_R− S²),

qui est exactement celle du probl`eme rigide. L’´equation d’´equilibre vertical donne T (S) = T₀+ %_RgS,

la constante T₀ restant `a d´eterminer. En reportant dans l’´equation d’´equilibre des moments et en tenant compte de la condition d’appui simple M (`R) = 0, on obtient

M (S) = T₀(`R− S) +<sup>1</sup><sub>2</sub>%<sub>R</sub>g(`²_R− S²), (4.31) ce qui est aussi ce qu’avait donn´e le probl`eme rigide. Mais ici, grˆace `a l’hypoth`ese d’´elasticit´e, on va pouvoir d´eterminer T0 et donc la r´epartition des efforts int´erieurs. En effet, `a partir de l’expression de M (S) et de la relation d’´elasticit´e moment-courbure, on obtient

w⁰⁰(S) = ^T0

EI^{(`R</sup>− S) +<sup>%</sup>Rg 2EI<sup>(`}

2

R− S²)

et l’on dispose de trois conditions aux limites portant sur w. La condition d’encastrement w⁰(0) permet d’int´egrer une fois et on obtient

w⁰(S) = ^T0

2EI^{(2`RS</sup>− S<sup>2</sup>) +<sup>%</sup>Rg 6EI<sup>(3`}

2

RS− S³).

La condition de fixation en 0 et d’appui simple en `R exigeant que w(0) = w(`R) = 0, on doit avoir 0 =R`R

0 w⁰(S)dS, ´equation qui fournit T₀ :

On a donc d´etermin´e la r´epartition des efforts int´erieurs :

N (S) = ¹₂%_RΩ²(`<sup>2</sup><sub>R</sub>− S<sup>2</sup>) , T (S) = %<sub>R</sub>g S−<sup>5</sup><sub>8</sub>`R
, M (S) = ¹₈%_Rg(`R− S)(4S − `R) . La d´etermination compl`ete des champs de d´eplacement ne pr´esente pas de difficult´es. De l’expression de N (S), on d´eduit u<sup>0</sup>(S) grˆace `a la loi de comportement, puis par int´egration u(S) grˆace `a la condition de fixation u(0) = 0. De mˆeme, connaissant T<sub>0</sub>, on connait w<sup>0</sup>(S), puis par int´egration w(S) grˆace `a la condition de fixation w(0) = 0 (la condition w(`R) = 0 a ´et´e prise en compte pour obtenir T₀). Finalement, les d´eplacements sont donn´es par

u(S) = ^%RΩ² 6EA<sup>(3`</sup> 2 R− S<sup>2</sup>)S , w(S) =−<sup>%</sup>Rg 48EI<sup>S</sup> 2(`R− S)(3`R− 2S) . Ces r´esultats appellent quelques commentaires :

• Les efforts int´erieurs ne d´ependent pas des modules de rigidit´e de la tige (et en particulier du module d’Young du mat´eriau), seuls les d´eplacements en d´ependent. Ceci peut paraˆıtre paradoxal puisque c’est l’hypoth`ese d’´elasticit´e qui a permis de lever l’ind´etermination sur les efforts int´erieurs. Ce r´esultat est `a rapprocher de celui que l’on avait obtenu pour le probl`eme de la poulie o`u la prise en compte de l’´elasticit´e du cˆable avait permis de d´eterminer exactement la r´epartition des efforts int´erieurs et des efforts de contact. En fait cette ind´ependance vis `a vis des modules de rigidit´e a plusieurs causes : (i) l’hypoth`ese HPP, (ii) l’hypoth`ese de comportement lin´eairement ´elastique, (iii) l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e de la tige. Il suffit de lever une de ces hypoth`eses pour qu’une d´ependance de la r´epartition des efforts int´erieurs aux modules de rigidit´e apparaisse. Nous l’illustrerons `a la fin de cet exemple.

• Il y a un d´ecouplage entre l’effet de la force centrifuge et l’effet du poids. La force centrifuge n’induit pas de flexion, la pesanteur n’induit pas d’extension. Cela tient ´evidemment `a la lin´earisation. • La r´epartition des efforts int´erieurs n’est pas sym´etrique par rapport au milieu de la tige. Cela tient `a la dissym´etrie des conditions aux limites : encastrement d’un cˆot´e, appui simple de l’autre. On voit en particulier que l’encastrement doit reprendre cinq huiti`emes du poids, l’appui simple seulement trois huiti`emes. L`a encore l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e de la tige est essentielle. Dans le cas d’une tige h´et´erog`ene ou `a section variable, la r´epartition du poids entre les deux extr´emit´es pourrait ˆetre tr`es diff´erente.

• La d´eformation d’extension est maximale en 0 o`u elle vaut u⁰(0) = ^ρmΩ

2`2

R 2E ^,

ρ_m ´etant la masse volumique du mat´eriau constitutif. Le d´eplacement d’extension est maximal en `R et u(`R)/`R est du mˆeme ordre que u<sup>0</sup>(0). La rotation est maximale en `R o`u elle vaut

w⁰(`R) = <sup>ρmgA`</sup>

3

R 48EI ^.

La d´eflexion maximale max_S|w(S)| /`R est du mˆeme ordre. Par cons´equent pour que l’hypoth`ese HPP soit acceptable, il faut que

ρ_mΩ²`<sup>2</sup><sub>R</sub> 2E, ρ<sub>m</sub>gA`³_R 48EI,

conditions qui d´ependent `a la fois de la g´eom´etrie, du chargement et du mat´eriau. En particulier la deuxi`eme condition demande que le poids P de la tige soit petit devant sa charge de flambement d’EulerF0, ce qui est conforme `a l’analyse qualitative faite pour la poutre de Galil´ee. Si ces conditions ne sont pas satisfaites, par exemple si les tiges sont trop longues ou trop souples ou bien si la vitesse de rotation est trop forte, alors il faut traiter le probl`eme non lin´eaire complet.

Cas d’une tige h´et´erog`ene. Reconsid´erons le probl`eme en supposant que la tige est constitu´ee de deux mat´eriaux de mˆeme masse volumique, mais de module d’Young respectifs Ea et E_b, le premier constituant la premi`ere moiti´e de la tige (0, `R/2), le deuxi`eme la deuxi`eme moiti´e (`R/2, `R). La section de la tige est constante. La seule modification `a apporter au probl`eme aux limites lin´earis´e concerne les relations constitutives qui maintenant s’´ecrivent

N (S) = E(S)Au⁰(S), M (S) = E(S) I w⁰⁰(S) avec E(S) = (

Ea si 0 < S < `R/2 Eb si `R/2 < S < `R

.

La r´epartition de l’effort normal est inchang´ee. Par contre, la r´epartition de l’effort tranchant et du moment fl´echissant va changer. En effet, on tire toujours des ´equations d’´equilibre et de la condition M (`R) = 0 que M (S) est de la forme (4.31). Pour d´eterminer T<sub>0</sub>, il faut utiliser la loi de flexion qui donne w<sup>00</sup>(S) = <sup>T0</sup> E(S)I<sup>(`R</sup>− S) + ^%Rg 2E(S)I<sup>(`</sup> 2 R− S<sup>2</sup>). Comme w(0) = w(`R) = 0 et w⁰(0) = 0, la constante T₀ s’obtient en ´ecrivant

0 = Z `<sub>R</sub> 0 w<sup>0</sup>(S)dS = Z `_R 0 Z S 0 w⁰⁰( ˜S)d ˜SdS. Tous calculs faits, on obtient

T₀ =−^{13Ea+ 67Eb} 16Ea+ 112E_b^%Rg`R,

ce qui montre que la r´epartition de l’effort tranchant et du moment fl´echissant d´epend du rapport Ea/E_b des modules d’Young des mat´eriaux constitutifs.

Cas fix´e-libre

L’extr´emit´e S = 0 est fix´ee au point O par une articulation qui laisse libre sa rotation, alors que l’extr´emit´e S = `R est libre. Les conditions aux limites cin´ematiques ne permettant pas de fixer la rotation d’ensemble, on envisage la famille de configurations de r´ef´erence naturelles suivantes qui d´ependent de l’angle α₀∈ [−π, π) :

L’angle α0 fait partie des inconnues qu’il s’agira de d´eterminer pour que le probl`eme aux limites lin´earis´e admette une solution. La densit´e de forces lin´eiques associ´ee `a cette configuration de r´ef´erence s’´ecrit maintenant

f_R(S) = %_RΩ²S cos α0e1− %Rge2, alors que le rep`ere local de la configuration de r´ef´erence devient

tR= cos α0e1+ sin α0e2, nR =− sin α0e1+ cos α0e2. Le d´eplacement et les efforts int´erieurs se d´ecomposent en

ξ(S) = u(S)tR+ w(S)nR R(S) = N (S)tR+ T (S)nR. Par cons´equent, le probl`eme aux limites lin´earis´e s’´ecrit

Equations d’´equilibre      N⁰(S) + %_RΩ²S cos²α₀− %Rg sin α₀ = 0 T⁰(S)− %RΩ2S sin α₀cos α₀− %Rg cos α₀ = 0 M⁰(S) + T (S) = 0 ∀S ∈ (0, `R) Relations constitutives ( N (S) = EAu<sup>0</sup>(S) M (S) = EIw<sup>00</sup>(S) ∀S ∈ (0, `R)

Conditions aux limites (

u(0) = 0, w(0) = 0, M (0) = 0 N (`R) = 0, T (`R) = 0, M (`R) = 0

L’´equation d’´equilibre suivant la normale nR et la condition `a la limite T (`R) = 0 donnent T (S) =−1

2%_RΩ²sin α₀cos α₀(`<sub>R</sub><sup>2</sup>− S<sup>2</sup>)− %Rg cos α<sub>0</sub>(`R− S). Compte tenu que M (0) = M (`R) = 0, l’´equation d’´equilibre des moments donne

0 = Z `R 0 M<sup>0</sup>(S)dS =− Z `R 0 T (S)dS,

ce qui constitue en fait l’´equation d’´equilibre global des moments qui fournit l’´equation que doit satisfaire l’angle α₀ :

2Ω²`Rsin α₀+ 3g
cos α0 = 0 (condition n´ecessaire d’´equilibre) .

C’est exactement l’´equation que l’on avait obtenue en supposant la tige rigide au d´ebut du chapitre. Autrement dit, le probl`eme lin´earis´e n’admet de solution que si on choisit pour configuration de r´ef´erence une des configurations d’´equilibre du probl`eme rigide associ´e.

Cette ´equation a ´et´e ´etudi´ee dans le probl`eme rigide et peut admettre de deux `a quatre solutions suivant les valeurs des param`etres de chargement. Pla¸cons-nous dans le cas o`u 2Ω2`R> 3g et choisissons la configuration d’´equilibre de la branche bifurqu´ee sup´erieure, i.e.

α₀=−^π 2 ^{+ arccos}  1 λ  , λ = ^2Ω 2`R 3g ^{> 1 .}

Dans cette configuration, la r´epartition des efforts int´erieurs est donn´ee par                N (S) =^1−_{`</sub><sup>S</sup><sub>R</sub> +<sup>3</sup><sub>4</sub>(λ<sup>2</sup>− 1)<sup></sup>1−<sup>S</sup><sub>`}2² R P λ T (S) =−^1−_{`</sub><sup>S</sup><sub>R</sub><sup> </sup>1− <sup>3S</sup><sub>`R}^√λ2− 1 ^P 4λ M (S) = _{`</sub><sup>S</sup> R  1−<sub>`}^S_R^2√λ2− 1 ^P`_4λ^R

o`u P = %Rg`R d´esigne le poids de la tige. Cette r´epartition est identique `a celle trouv´ee dans le probl`eme rigide. A l’aide de la loi de comportement d’extension et la condition u(0) = 0, on obtient par int´egration le d´eplacement d’extension u(S) :

u(S) = S `R − <sup>S</sup> 2 2`²R +¹ 4^(λ 2− 1)^{ 3S}<sub>`</sub> R − <sup>S</sup> 3 `³R  P EA `R λ^.

A l’aide de la loi de comportement de flexion et de l’expression de M (S), on obtient la courbure lin´earis´ee w⁰⁰(S). Mais on ne dispose que d’une condition `a la limite w(0) = 0 pour calculer la d´eflexion w(S). Il manque une condition pour fixer les deux constantes d’int´egration. En fait la rotation lin´earis´ee ω(S) = w<sup>0</sup>(S) est d´efinie `a une constante pr`es, cons´equence du caract`ere hypostatique du probl`eme lin´earis´e. En r´esum´e,

Dans le cas fix´e-libre, le probl`eme aux limites lin´earis´e de la tige sous pesanteur et force centrifuge n’admet une solution que si l’on prend pour configuration de r´ef´erence une des positions d’´equilibre du probl`eme rigide associ´e. La r´epartition des efforts int´erieurs est alors la mˆeme que celle fournie par le probl`eme rigide. Par contre les petits d´eplacements ´elastiques ne sont pas parfaitement d´etermin´es. En particulier, la rotation est d´efinie `a une constante pr`es. Autrement dit, le probl`eme lin´earis´e admet une solution `a condition de lin´eariser autour d’une configuration d’´equilibre du probl`eme rigide associ´e, mais alors la solution en d´eplacement n’est pas unique mais est d´efinie `a un “petit” d´eplacement rigide admissible pr`es.

4.6.3 Probl`eme de l’anneau intact ou cass´e soumis `a des forces ponctuelles

Nous reprenons les probl`emes qui avaient ´et´e trait´es en supposant l’anneau rigide. On avait vu que dans le cas de l’anneau intact, il n’´etait pas possible de d´eterminer exactement la r´epartition des efforts int´erieurs mais qu’ils ´etaient d´efinis `a trois constantes arbitraires pr`es. Le premier objectif est de montrer qu’en abandonnant l’hypoth`ese de rigidit´e et en supposant l’anneau ´elastique, on l`eve

Dans le document Mécanique des Milieux Continus I (Page 184-198)