Dans cette section nous allons faire bouger “continˆument” le milieu curviligne en consid´erant des changements de configuration qui d´ependent d’un param`etre r´eel. En dynamique, ce param`etre sera le temps ; dans des probl`emes dits quasi-statiques o`u le milieu est suppos´e ˆetre toujours dans une configuration d’´equilibre mais sous des sollicitations qui peuvent ˆetre variables, le param`etre sera un param`etre “chronologique” servant `a d´ecrire l’histoire du chargement et des configurations d’´equilibre associ´ees ; dans l’approche variationnelle enfin, on introduira un param`etre pour d´ecrire des mouvements virtuels du milieu. Pour simplifier la pr´esentation, dans toute la premi`ere partie ce param`etre sera not´e t et appel´e temps, ses valeurs ´etant les instants. Il n’y a que dans la partie consacr´ee aux mouvements virtuels que l’on adoptera des notations sp´ecifiques pour bien distinguer les mouvements virtuels des mouvements r´eels. A chaque instant, le milieu continu curviligne occupera donc une position (r´eelle ou virtuelle) que l’on d´ecrira par une courbe param´etr´ee. Deux options sont possibles pour choisir le param`etre : la description dite lagrangienne o`u l’on suit les points mat´eriels dans leur mouvement et la description dite eul´erienne o`u l’on d´ecrit le mouvement `a partir d’un rep´erage de l’espace.
1.4.1 Description lagrangienne du mouvement
On choisit de suivre les points mat´eriels dans leur mouvement. Pour cela, on introduit une confi-guration dite de r´ef´erence qui sert `a rep´erer les points mat´eriels, exactement comme nous l’avons fait pour d´ecrire les d´eformations dans la section pr´ec´edente. La seule diff´erence est qu’ici on envisage, non plus une seule configuration d´eform´ee, mais une famille de telles configurations param´etr´ee par le temps t.
Consid´erons le cas o`u le milieu continu se meut dans le plan et prenons pour configuration de r´ef´erence une courbe plane param´etr´ee par son abscisse curviligne, not´ee S pour la distinguer de l’abscisse curviligne s dans la configuration “actuelle”. La configuration de r´ef´erence correspond alors `
a l’application
S7→ xR(S)
dont les vecteurs tangent et normal, l’angle tangent et la courbure sont respectivement donn´es par tR(S) = dxR
dS(S) = cos αR(S)e1+ sin αR(S)e2, nR(S) = e3∧tR(S) =− sin αR(S)e1+ cos αR(S)e2, CR(S) = dαR
dS (S).
Un point mat´eriel est identifi´e avec son abscisse curviligne S dans sa configuration de r´ef´erence. Au cours du mouvement le milieu curviligne va changer de position pour occuper `a chaque instant une configuration correspondant `a une courbe plane. Dans la description lagrangienne, on garde comme param`etre pour d´ecrire cette courbe l’abscisse curviligne S de la configuration de r´ef´erence (et qui donc ne sera pas en g´en´eral l’abscisse curviligne de la configuration courante). De fa¸con pr´ecise, si t d´esigne le temps ou de fa¸con plus g´en´erale un param`etre cin´ematique servant `a d´ecrire l’´evolution de la configuration du milieu, la position du milieu curviligne `a l’instant t sera donn´ee par l’application
(S, t)7→ x(S, t)
o`u x(S, t) d´esigne donc la position `a l’instant t du point mat´eriel qui se trouve `a l’abscisse curviligne S dans la configuration de r´ef´erence. En utilisant (1.6) et en conservant S0 comme point origine, l’abscisse curviligne `a l’instant t du point se trouvant en S dans la configuration de r´ef´erence s’´ecrit
s(S, t) = Z S
S0
x0(S∗, t) dS∗ (1.30)
o`u le prime d´esigne la d´eriv´ee partielle par rapport `a S, i.e. x0(S, t) := ∂x ∂S(S, t). Par cons´equent, on a s0(S, t) = x0(S, t) . (1.31)
Les vecteurs unitaires tangent et normal, l’angle tangent et la courbure sont ´egalement des fonctions
de S et de t : t(S, t) = x0(S, t)
kx0(S, t)k = cos α(S, t)e1+ sin α(S, t)e2, n(S, t) = e3∧t(S, t) =− sin α(S, t)e1+ cos α(S, t)e2, C(S, t) = α0(S, t)
kx0(S, t)k
En introduisant la rotation entre la configuration de r´ef´erence et la configuration actuelle, on a
ω(S, t) := α(S, t)− αR(S, t). (1.33)
La vitesse v des points mat´eriels s’obtient en d´erivant la position par rapport au temps `a S fix´e, soit v(S, t) = ˙x(S, t) := ∂x
∂t(S, t). (1.34)
Notons que comme x = xR+ ξ, on a v = ˙ξ et la vitesse est aussi la vitesse de d´eplacement :
v(S, t) = ˙x(S, t) = ˙ξ(S, t). (1.35)
L’acc´el´eration γ des points mat´eriels s’obtient en d´erivant la vitesse par rapport au temps `a S fix´e et est donc la d´eriv´ee seconde de la position par rapport au temps `a S fix´e,
γ(S, t) = ˙v(S, t) = ¨x(S, t) = ¨ξ(S, t). (1.36)
La d´eriv´ee premi`ere par rapport au temps de l’abscisse curviligne ˙s est la vitesse d’extension. Si l’on conserve la mˆeme origine de l’abscisse curviligne au cours du temps, ˙s(S, t) repr´esente donc la variation de longueur `a l’instant t du tron¸con du milieu continu situ´e entre l’origine et le point mat´eriel S. Dans la description lagrangienne, on peut ´evidemment la relier au champ de vitesse et `a la configuration du milieu `a l’instant t. En effet, en d´erivant (1.31) par rapport au temps et en tenant compte de (1.34), il vient
˙s0 = x0· ˙x0
kx0k = ˙x
0· t = v0· t. Il suffit d’int´egrer par rapport `a S pour obtenir
˙s(S, t) = Z S
S0
v0(S∗, t)· t(S∗, t)dS∗.
Remarquons que comme s0 = 1 + ε, on a ˙s0 = ˙ε et on obtient ainsi l’expression de la vitesse de d´eformation d’extension :
˙ε(S, t) = v0(S, t)· t(S, t). (1.37)
La d´eriv´ee premi`ere par rapport au temps de l’angle tangent ˙α est la vitesse de rotation. Mais comme α = αR+ω, on a aussi ˙α = ˙ω. La vitesse de rotation d´epend en g´en´eral du point S, une exception ´etant quand le mouvement du milieu est un mouvement de corps rigide, et ˙ω(S, t) repr´esente la vitesse de rotation instantan´ee du rep`ere local (t, n) autour de l’axe e3 au point mat´eriel S. En utilisant (1.32), on a d’une part ˙t = ˙ω n, ˙n =− ˙ω t, (1.38) mais aussi ˙t = ˙x0 kx0k− x0· ˙x0 kx0k3x 0 = 1 kx0k v0− (v0·t)t= v 0· n kx0kn
et en comparant on en d´eduit l’expression de la vitesse de rotation en fonction de la d´eriv´ee spatiale de la vitesse :
˙ω(S, t) = v0(S, t)· n(S, t)
kx0(S, t)k . (1.39)
1.4.2 Description eul´erienne du mouvement
Dans la description eul´erienne, la configuration du milieu `a chaque instant est une courbe pa-ram´etr´ee par son abscisse curviligne,
(s, t)7→ x(s, t).
Les vecteurs unitaires tangent et normal, l’angle tangent et la courbure se d´eduisent alors de (1.8)– (1.10) : t(s, t) = ∂x
∂s(s, t) = cos α(s, t)e1+ sin α(s, t)e2, n(s, t) = e3∧t(s, t) =− sin α(s, t)e1+ cos α(s, t)e2, C(s, t) = ∂α
∂s(s, t)
. (1.40)
On perd ainsi la r´ef´erence aux points mat´eriels, d’un instant `a l’autre le point g´eom´etrique d’abscisse curviligne s correspond en g´en´eral `a deux points mat´eriels diff´erents. Pour r´ecup´erer cette r´ef´erence aux points mat´eriels, il faut se donner (en plus de la configuration eul´erienne x) la vitesse d’extension eul´erienne, i.e. l’application
(s, t)7→ υ(s, t)
qui donne la vitesse d’extension du milieu au point d’abscisse curviligne s `a l’instant t. En effet, si on rep`ere un point mat´eriel par son abscisse curviligne S dans la configuration du milieu `a un certain instant t0 pris pour temps de r´ef´erence, alors l’abscisse curviligne de ce point `a l’instant t est s(S, t), solution de l’´equation diff´erentielle
∂s
∂t(S, t) = υ(s(S, t), t), s(S, t0) = S.
Apr`es r´esolution de cette ´equation diff´erentielle, connaissant s(S, t), on peut ainsi reconstruire l’´evolution de la position des points mat´eriels du milieu curviligne avec l’application
(S, t)7→ x(s(S, t), t).
Notons que ∂υ/∂s repr´esente la vitesse eul´erienne de d´eformation d’extension. La vitesse d’extension eul´erienne sert aussi `a d´efinir le champ eul´erien des vitesses :
v(s, t) = ∂x
∂t(s, t) + υ(s, t)t(s, t), (1.41)
v(s, t) repr´esentant donc la vitesse du point mat´eriel qui se trouve `a l’abscisse curviligne s `a l’instant t.
De fa¸con g´en´erale, on utilise υ pour d´efinir la d´eriv´ee dite mat´erielle : D Dt := ∂ ∂t+ υ ∂ ∂s (d´eriv´ee mat´erielle) . (1.42)
Cette d´eriv´ee sert `a d´ecrire l’´evolution par rapport au temps de quantit´es attach´ees `a un point mat´eriel. Ainsi si Q(S, t) et q(s, t) d´esignent respectivement les champs lagrangien et eul´erien associ´es `a une mˆeme grandeur physique, ces deux champs sont reli´es par
En d´erivant par rapport `a t `a point mat´eriel S fix´e les deux membres de l’´egalit´e ci-dessus, il vient ˙
Q(S, t) = Dq Dt(s, t).
Exercice 1.3. Montrer que le champ eul´erien de vitesses est la d´eriv´ee mat´erielle de la position et que la vitesse d’extension eul´erienne est la d´eriv´ee mat´erielle de l’abscisse curviligne,i.e.
v = Dx
Dt , υ =
Ds Dt .
On d´efinit ainsi l’acc´el´eration eul´erienne comme la d´eriv´ee mat´erielle de la vitesse eul´erienne : γ= Dv
Dt (1.43)
et la vitesse de rotation eul´erienne est la d´eriv´ee mat´erielle de l’angle tangent, i.e. Dα
Dt. En partant de (1.40) et en calculant la d´eriv´ee mat´erielle de t il vient
Dα Dt n = Dt Dt = D Dt ∂x ∂s = ∂ 2x ∂s∂t+ υ ∂2x ∂s2 = ∂v ∂s −∂υ ∂st.
En projetant sur le rep`ere local (t, n), on obtient l’expression de la vitesse eul´erienne de rotation eul´erienne et la vitesse de d´eformation d’extension en termes de la d´eriv´ee spatiale de la vitesse eul´erienne : Dα Dt = ∂v ∂s · n, ∂υ∂s = ∂v ∂s · t. (1.44)
Chapitre 2
Mod´elisation des efforts et conditions
d’´equilibre
Sur l’utilisation des forces, couples et moments. Dans toute la suite nous ´eviterons d’utiliser explicitement le formalisme des torseurs pour d´ecrire les efforts. En cons´equence, les efforts seront repr´esent´es par des forces et des couples appliqu´es en des points du milieu continu, sans lien a priori entre les premi`eres et les seconds. Les forces seront des vecteurs du plan (e1, e2) alors que les couples auront leur moment port´e par e3. On sera ensuite amen´e `a calculer le moment en un point (arbitraire) x du plan dˆu `a une force F0 et `a un couple de momentM0e3 appliqu´es en un point du milieu continu situ´e au point x0 du plan. On rappelle que ce moment sera port´e par e3, d´ependra de x et que son unique composante M (x) est donn´ee par
M (x) = (x0− x)∧. F0+M0
o`u l’on utilise la notation condens´ee pour le produit mixte a∧. b = (a∧b)· e3 .
Dans ce chapitre, on s’int´eresse aux efforts m´ecaniques auxquels est soumis un milieu continu curviligne `a l’´equilibre dans une configuration fixe par rapport `a un r´ef´erentiel donn´e1. Il s’agit dans un premier temps de d´ecrire et de mod´eliser les diff´erents types d’effort (forces ou moments, int´erieurs ou ext´erieurs, r´epartis ou concentr´es, de contact ou `a distance, `a l’int´erieur ou aux extr´emit´es) avant d’´etablir les conditions qui les relient et qu’ils doivent satisfaire `a l’´equilibre. `A ce stade, la configuration d’´equilibre du milieu sera suppos´ee connue. La question de sa d´etermination ne sera abord´ee que dans la partie d´edi´ee `a la statique. Cette configuration sera param´etr´ee par son abscisse curviligne, elle pourra ˆetre avec ou sans extr´emit´es, mais nous n’envisagerons pour simplifier la pr´esentation que des courbes de longueur finie `.
1. Le choix de pr´esenter ces diff´erents concepts d’abord dans le cadre restreint de la statique avant de les ´etendre au cadre g´en´eral de la dynamique est guid´e avant tout par des raisons p´edagogiques. On pourrait les pr´esenter tous en une seule fois, mais l’expos´e perdrait en lisibilit´e ce qu’il gagnerait en concision.