R−(si) = R(si), R+(si) = R(si)− Fsi, [[R]](si) =−Fsi M−(si) = M (si), M+(si) = M (si)− Msi, [[M ]](si) =−Msi
2.6 Equations d’´equilibre locales
Les expressions des efforts int´erieurs obtenues pr´ec´edemment par la m´ethode des coupures sont es-sentielles sur le plan th´eorique car elles nous ont permis d’´etablir les conditions n´ecessaires et suffisantes d’´equilibre, mais elles auront un int´erˆet pratique moindre d`es lors que l’on cherchera les configurations d’´equilibre. Il vaut mieux remplacer ces conditions int´egrales par des conditions locales. L’objet de cette section est d’´etablir ces nouvelles conditions et de v´erifier qu’elles sont bien ´equivalentes aux pr´ec´edentes. Comme ces conditions locales s’obtiennent par d´erivation ou par passage `a la limite dans les conditions int´egrales, il faut un peu de r´egularit´e sur les efforts r´epartis pour que ces op´erations soient licites. Nous raisonnerons de fa¸con formelle et n’essaierons pas d’expliciter les conditions de r´egularit´e minimales requises.
2.6.1 Etablissement des ´equations locales
Commen¸cons par l’´equilibre des forces sur (0, s) donn´e par (2.6) ou (2.13) en nous pla¸cant en un point s /∈ P. Comme il n’y a pas de point de P dans tout voisinage suffisamment petit de s (puisque le nombre de points de P est fini), on peut d´eriver ces ´equations par rapport `a s et on obtient :
dR
ds(s) + f (s) = 0, ∀s ∈ C \ P (equilibre local des forces) . (2.16) En faisant de mˆeme pour l’´equilibre des moments sur (0, s), en d´erivant (2.8) par rapport `a s et en tenant compte de l’´equilibre local des forces, il vient :
0 = dM ds (s) + m(s) + x(s)∧. f (s) + x(s)∧. dR ds(s) + dx ds(s)∧. R(s) = dM ds (s) + m(s) + t(s)∧. R(s).
En d´ecomposant R(s) sur la base locale (t(s), n(s)), on a t(s)∧. R(s) = T (s) et on obtient finalement dM
On serait arriv´e au mˆeme r´esultat en partant de (2.7) ou (2.14).
Aux points o`u sont exerc´es des efforts ponctuels, nous avons d´ej`a ´etabli (cf P-2.2) que les efforts int´erieurs directs sont continus `a gauche mais pas `a droite, et que la discontinuit´e est donn´ee par
[[R]](si) + Fsi = 0, ∀si ∈ P (condition de saut pour les forces) [[M ]](si) +Msi = 0, ∀si ∈ P (condition de saut pour les moments)
(2.18)
Regardons pour finir ce qui se passe pr`es des extr´emit´es quand il y en a. Si l’on consid`ere l’´equilibre des forces et des moments de l’intervalle (0, s) et que l’on fait tendre s vers 0, en passant `a la limite dans (2.6) et (2.7), commeP ∩ (0, s) est vide pour s assez petit, on obtient
lim
s↓0R(s) =−F0, lim
s↓0M (s) =−M0, (conditions sur les efforts en l’extr´emit´e 0) . (2.19) Faisons tendre maintenant s vers ` pour obtenir des informations en l’extr´emit´e ` (quand c’est vraiment une extr´emit´e). En passant `a la limite dans (2.6), comme P ∩ (0, s) = P pour s suffisamment proche de `, on obtient 0 = F0+ Z ` 0 f (˜s)d˜s +X si∈P Fsi + lim s↑`R(s).
En comparant avec l’´equilibre global (2.2), on en d´eduit que lims↑`R(s) = F`. En proc´edant de mˆeme pour les moments, on obtient lims↑`M (s) =M`. On a donc finalement obtenu
lim
s↑`R(s) = F`, lim
s↑`M (s) =M`, (conditions sur les efforts en l’extr´emit´e `) . (2.20) On notera la diff´erence de signe entre les conditions aux extr´emit´es, signe− en 0 et signe + en `. Remarque 2.2. L’usage veut que l’on ´ecrive les conditions aux extr´emit´es de la fa¸con suivante :
R(0) =−F0, M (0) =−M0, R(`) = F`, M (`) =M` ,
en omettant les limites. C’est ´evidemment un abus de notation, car d’un point de vue strict cela n’a pas de sens de parler d’efforts int´erieurs aux extr´emit´es. Ils ne sont th´eoriquement d´efinis que dans l’ouvert C = (0, `) lorsque le milieu a des extr´emit´es. Ils sont par contre effectivement d´efinis en 0 dans le cas d’une courbe ferm´eeC = [0, `), mais alors il n’y a pas de conditions aux extr´emit´es `a ´ecrire puisqu’il n’y a pas d’extr´emit´e. Par la suite, nous suivrons le plus souvent l’usage et adopterons donc la notation abusive.
L’ensemble des ´equations (2.16)–(2.20) constituent ce que l’on appelle les ´equations d’´equilibre locales. Nous les avons obtenues `a partir de l’´equilibre global et de l’´equilibre des intervalles (0, s). Il reste `a v´erifier qu’en retour elles sont suffisantes pour traduire l’´equilibre du milieu continu au sens de la D´efinition 2.2. Ceci fait l’objet de la propri´et´e fondamentale suivante qui clˆot ce chapitre sur l’´equilibre.
P-2.3 (Conditions n´ecessaires et suffisantes de l’´equilibre d’un milieu continu curviligne). Pour qu’un milieu continu curviligne, sans vitesse `a l’instant consid´er´e, soit en ´equilibre
• dans la configuration s 7→ x(s), avec s abscisse curviligne variant dans C = (0, `) ou bien C = [0, `) suivant que le milieu a ou n’a pas d’extr´emit´es,
• et sous le chargement ext´erieur caract´eris´e par les densit´es d’efforts (f, m) r´epartis dans C, les efforts ponctuels (Fsi,Msi) exerc´es sur l’ensemble discret de points P ⊂ C, et les efforts (F0,M0) et (F`,M`) aux extr´emit´es quand elles existent,
il faut et il suffit que
1. les efforts int´erieurs directs s 7→ (R(s), M(s)) soient des fonctions continues `a gauche et d´erivables par morceaux qui satisfassent les ´equations d’´equilibre locales :
lims↓0R(s) =−F0 et lims↓0M (s) =−M0, dR ds (s) + f (s) = 0 et dM ds (s) + T (s) + m(s) = 0 ∀s ∈ C \ P, [[R]](si) + Fsi = 0 et [[M ]](si) +Msi = 0 ∀si ∈ P, lims↑`R(s) = F` et lims↑`M (s) =M`, ,
les conditions en s = 0 et s = ` n’´etant `a satisfaire que si le milieu a des extr´emit´es, i.e. siC = (0, `) ; 2. les efforts int´erieurs r´eciproques(Rr(s), Mr(s)) soient reli´es aux efforts int´erieurs directs par :
Rr(s) + R(s) = ( 0 si s6∈ P Fs si s∈ P , M r(s) + M (s) = ( 0 si s6∈ P Ms si s∈ P .
Une formule d’int´egration. Soit a et b deux r´eels avec a < b et P un ensemble fini de points appartenant `a (a, b). Si φ est une fonction d´efinie sur (a, b), continue et diff´erentiable sur (a, b)\ P, admettant des limites `a droite φ+(s) et `a gauche φ−(s) en tout point s∈ (a, b), une limite `a droite φ+(a) en a et une limite `a gauche φ−(b) en b, alors on a
Z (a,b)\P φ0(s)ds = φ−(b)−X s∈P [[φ]](s)− φ+(a) , (2.21) o`u [[φ]](s) = φ+(s)− φ−(s).
2.6.2 Preuve de leur suffisance pour assurer l’´equilibre
D´emonstration de P-2.3. Il s’agit de d´emontrer le “il suffit” puisqu’on a d´ej`a montr´e le “il faut”. La d´emonstration est en elle-mˆeme int´eressante car elle permet de mettre en ´evidence quelques sources possibles d’erreur lors de l’utilisation des ´equations locales. En particulier, nous ferons constamment usage de la formule d’int´egration (2.21) (dont la d´emonstration ne pr´esente pas de difficult´e et est omise). Cette formule est essentielle aussi bien dans la d´emonstration que dans l’usage ult´erieur qui sera fait des ´equations locales. Il faut donc s’en impr´egner.
• Montrons que les ´equations locales redonnent l’´equilibre global des forces (2.2) ou (2.9). On part de l’´equilibre local des forces que l’on int`egre sur (0, `)\ P∩(0, `)4en utilisant la formule d’int´egration (2.21) pour arriver `a 0 = Z (0,`)\ P∩(0,`) R0(s) + f (s)ds = R−(`)− X si∈P∩(0,`) [[R]](si)− R+(0) + Z ` 0 f (s)ds. (2.22)
On notera que l’on a utilis´e Z (0,`)\ P∩(0,`) f (s)ds = Z (0,`) f (s)ds
ce qui est licite car f est int´egrable sur (0, `) et l’ensemble P ∩ (0, `) est de mesure nulle. Distinguons maintenant le casC = (0, `) du cas C = [0, `).
Dans le cas C = (0, `), on a P ∩ (0, `) = P. Par cons´equent, en tenant compte des conditions aux extr´emit´es et des conditions de saut surP, (2.22) devient
0 = F`+X si∈P Fsi+ F0+ Z ` 0 f (s)ds
qui n’est rien d’autre que la condition d’´equilibre global des forces (2.2).
Dans le casC = [0, `), si 0 /∈ P on a R+(0) = R−(`) etP ∩ (0, `) = P. En tenant compte des conditions de saut sur P, (2.22) devient
0 = X si∈P Fsi + Z ` 0 f (s)ds
qui n’est rien d’autre que la condition d’´equilibre global des forces (2.9). Si par contre 0 ∈ P, alors P ∩ (0, `) = P \ {0}. De plus comme R−(`)− R+(0) =−[[R]](0), on peut rajouter ce terme `a la somme des sauts dans (2.22) que l’on va donc calculer sur (P \ {0}) ∪ {0} = P. Il suffit alors d’utiliser les conditions de saut surP pour obtenir (2.9).
• Montrons que les ´equations locales redonnent l’´equilibre global des moments (2.3) ou (2.10). On note d’abord que l’effort tranchant s’´ecrit aussi
T (s) = t(s)∧. R(s) = x0(s)∧. R(s) = (x∧. R)0(s)− x(s)∧. R0(s). (2.23)
En reportant dans l’´equation d’´equilibre local des moments que l’on int`egre sur (0, `)\ P ∩ (0, `), il vient 0 = Z (0,`)\ P∩(0,`) (M + x∧. R)0(s)ds− Z (0,`)\ P∩(0,`) x(s)∧. R0(s)ds + Z ` 0 m(s)ds.
Le premier terme s’int`egre avec la formule (2.21) alors que le deuxi`eme se transforme en tenant compte de l’´equilibre local des forces, ce qui donne
0 = M−(`) + x(`)∧. R−(`)− X si∈P∩(0,`) [[M ]](si) + x(si)∧. [[R]](si) −M+(0)− x(0)∧. R+(0) + Z ` 0 m(s) + x(s)∧. f (s)ds. (2.24)
Dans le cas C = (0, `), comme P ∩ (0, `) = P, les conditions aux extr´emit´es et les conditions de saut permettent de transformer (2.24) en 0 =M`+ x(`)∧. F`+X si∈P Msi + x(si)∧. Fsi +M0+ x(0)∧. F0+ Z ` 0 m(s) + x(s)∧. f (s)ds qui n’est rien d’autre que l’´equation d’´equilibre global des moments calcul´es `a l’origine O du rep`ere (et non pas en x(0) comme dans (2.3)).
Dans le cas C = [0, `), on a x(`) = x(0) car il s’agit du mˆeme point mat´eriel. Si 0 /∈ P on a R+(0) = R−(`), M+(0) = M−(`) etP∩(0, `) = P. En reportant dans (2.24) et en tenant compte des conditions de saut sur P, on obtient
0 = X si∈P Msi+ x(si)∧. Fsi+ Z ` 0 m(s) + x(s)∧. f (s)ds
qui est bien l’´equation d’´equilibre global des moments calcul´es en O (alors qu’ils le sont en x(0) dans (2.10)). Si par contre 0∈ P, alors les discontinuit´es en 0 viennent s’ajouter `a celles d´ej`a pr´esentes dans P ∩ (0, `) pour compl´eter l’ensemble P et l’on obtient encore l’´equation d’´equilibre global des moments calcul´es en O.
• Montrons que les ´equations locales redonnent l’´equilibre des forces sur tout intervalle (0, s), i.e. (2.6) ou (2.13). La d´emarche est quasiment identique `a celle que l’on a suivie pour v´erifier l’´equilibre global. On ne mettra donc l’accent que sur les diff´erences. On int`egre l’´equation locale d’´equilibre des forces sur (0, s)\ (P ∩ (0, s)) et l’on obtient
0 = R(s)− X si∈P∩(0,s) [[R]](si)− R+(0) + Z s 0 f (˜s)d˜s (2.25)
o`u l’on a tenu compte de la continuit´e de R `a gauche qui donne R−(s) = R(s).
SiC = (0, `), on utilise les conditions de saut et la condition en 0 pour finalement arriver `a
0 = R(s) + X si∈P∩(0,s) Fsi+ F0+ Z s 0 f (˜s)d˜s
qui est pr´ecis´ement (2.6).
Si C = [0, `) et si 0 /∈ P, alors R+(0) = R(0) et P ∩ (0, s) = P ∩ [0, s). En reportant dans (2.25) et en tenant compte des conditions de saut, on arrive `a (2.13). Si 0 ∈ P, alors on peut ´ecrire, grˆace `a la continuit´e `a gauche de R, R+(0) = R(0) + [[R]](0), ce qui permet d’´etendre la somme des sauts `a P ∩ [0, s) dans (2.25). On arrive ainsi `a (2.13).
• Montrons enfin que les ´equations locales redonnent l’´equilibre des moments sur tout intervalle (0, s), i.e. (2.7) ou (2.14). On introduit la d´ecomposition de l’effort tranchant (2.23) dans l’´equation locale d’´equilibre des moments que l’on int`egre sur (0, s)\ (P ∩ (0, s)) pour obtenir
0 = M−(s) + x(s)∧. R−(s)− X si∈P∩(0,s) [[M ]](si) + x(si)∧. [[R]](si) −M+(0)− x(0)∧. R+(0) + Z s 0 m(s) + x(s)∧. f (s)ds. (2.26)
Dans le casC = (0, `), la continuit´e `a gauche, la condition en 0 et les conditions de saut permettent d’arriver `a 0 = M (s) + x(s)∧. R(s) + X si∈P∩(0,s) Msi+ x(si)∧. Fsi +M0+ x(0)∧. F0+ Z s 0 m(s) + x(s)∧. f (s)ds
qui est l’´equation d’´equilibre des moments pour (0, s) calcul´ee `a l’origine O du rep`ere (alors qu’elle l’´etait en x(s) dans (2.7)).
SiC = [0, `) et si 0 /∈ P, alors (R+(0), M+(0)) = (R(0), M (0)) et P ∩ (0, s) = P ∩ [0, s). En reportant dans (2.25) et en tenant compte de la continuit´e `a gauche et des conditions de saut, on arrive l’´equation d’´equilibre des moments pour (0, s) calcul´ee `a l’origine O du rep`ere (alors qu’elle l’´etait en x(s) dans (2.14)). Si 0 ∈ P, alors on peut ´ecrire, grˆace `a la continuit´e `a gauche, R+(0) = R(0) + [[R]](0) et M+(0) = M (0) + [[M ]](0), ce qui permet d’´etendre la somme des sauts `a P ∩ [0, s) dans (2.26). On arrive ainsi `a l’´equation cherch´ee.
On a donc retrouv´e les ´equations d’´equilibre global et les ´equations d’´equilibre pour les intervalles (0, s). En utilisant les relations entre les efforts int´erieurs r´eciproques et les efforts int´erieurs directs, on retrouve automatiquement les ´equations d’´equilibre des intervalles (s, `). Par combinaison, on re-trouve aussi les ´equations d’´equilibre de toute sous-partie ce qui ach`eve la d´emonstration.
Remarque 2.3. On notera que dans la d´emonstration du “il suffit” ci-dessus on a besoin de l’hy-poth`ese de continuit´e `a gauche des efforts int´erieurs directs (qui entraine la continuit´e `a droite des efforts int´erieurs r´eciproques) aux points o`u sont exerc´es des efforts ponctuels pour obtenir effective-ment la valeur de ces efforts int´erieurs en ces points. Sinon on ne peut pas d´eduire ces valeurs des ´equations locales. En effet, en int´egrant les ´equations locales on tombe in´evitablement sur les limites `
a gauche ou `a droite en vertu de la formule d’int´egration, jamais sur les valeurs aux points.
Pour finir, nous allons formuler un r´esultat d’existence et d’unicit´e portant sur la r´epartition des efforts int´erieurs `a l’´equilibre. Pour l’essentiel, ce r´esultat a d´ej`a ´et´e ´etabli lors de la v´erification de l’´equilibre par la m´ethode des coupures. Nous l’explicitons ici pour pouvoir nous y r´ef´erer par la suite.
P-2.4 (Sur l’existence de l’´equilibre et l’unicit´e de la r´epartition des efforts int´erieurs). On se place toujours dans les conditions d’un milieu continu curviligne qui est
• sans vitesse `a l’instant consid´er´e ;
• dans la configuration s 7→ x(s), avec s abscisse curviligne variant dans C = (0, `) ou bien C = [0, `) suivant que le milieu a ou n’a pas d’extr´emit´es,
• soumis `a un chargement ext´erieur caract´eris´e par les densit´es d’efforts (f, m) r´epartis dans C, les efforts ponctuels (Fsi,Msi) exerc´es sur l’ensemble discret de points P ⊂ C, et les efforts (F0,M0) et (F`,M`) aux extr´emit´es quand elles existent.
Ce milieu continu ne peut ˆetre en ´equilibre que si la condition d’´equilibre global portant sur les efforts ext´erieurs est satisfaite, i.e. seulement si
Equilibre global des forces : 0 = Z `
0
f (s)ds +X
si
Fsi (2.27)
Equilibre global des moments : 0 = Z ` 0 m(s) + (x(s)− x(0))∧.f (s)ds +X si Msi+ (x(si)− x(0))∧. Fsi (2.28) o`u lessi varient dans P ∪ {0, `} dans le cas d’un milieu avec extr´emit´es et uniquement dans P dans le cas d’un milieu `a courbe ferm´ee.
Si cette condition est satisfaite, alors il existe une r´epartition des efforts int´erieurs qui assure l’´equilibre et elle est
• unique dans le cas d’un milieu curviligne avec extr´emit´es ;
• unique `a un vecteur force R0 et un moment M0 pr`es dans le cas d’un milieu `a courbe ferm´ee, i.e. si s 7→ (R(s), M(s)) est solution, alors s 7→ (R(s) + R0, M (s) + M0 − x(s)∧.R0) l’est ´