Ce milieu curviligne est plac´e dans un environnement qui exerce sur lui des efforts qui peuvent ˆetre des forces ou des couples. Mais alors que dans le cas du solide rigide, il suffisait de connaˆıtre la r´esultante de ces forces et le moment r´esultant en un point de cet ensemble de forces et de couples pour d´eterminer son mouvement, il devient essentiel dans le cas d’un milieu d´eformable de donner la r´epartition pr´ecise de ces efforts ext´erieurs. En effet, comme nous le verrons d`es les premiers exemples de statique, deux syst`emes d’efforts, chacun `a r´esultante et moment r´esultant nuls mais r´epartis diff´eremment, conduisent en g´en´eral `a deux configurations d’´equilibre diff´erente. En cons´equence, nous choisissons une classification des efforts ext´erieurs qui met d’abord l’accent sur leur r´epartition plutˆot que sur leur origine physique.
2.1.1 Efforts r´epartis
Nous distinguerons les forces r´eparties des couples r´epartis, les premi`eres ´etant plus fr´equentes que les seconds.
Forces r´eparties. Il s’agit d’une densit´e lin´eique de forces s7→ f(s) = (f1(s), f2(s))
distribu´ees tout au long du milieu curviligne (l’unit´e est le N/m). La force f (s)ds est donc appliqu´ee sur l’´el´ement de longueur ds situ´e au point mat´eriel d’abscisse curviligne s qui se trouve au point g´eom´etrique x(s). On sera aussi amen´e `a la d´ecomposer sur la base locale, ce qui donne
f (s) = ft(s)t(s) + fn(s)n(s).
Voici quelques exemples-type en distinguant les forces `a distance des forces de contact.
• Forces `a distance. Les plus fr´equentes en pratique sont les forces de pesanteur et les forces d’inertie d’entraˆınement.
? Forces de pesanteur. Ces forces sont `a la base des forces massiques. Pour les traduire en forces lin´eiques il faut les multiplier par la masse lin´eique que l’on supposera connue dans la configuration consid´er´ee et que l’on notera s7→ %(s). Dans le cas fr´equent d’une pesanteur uniforme de vecteur g, la densit´e de forces lin´eique sera donc
f (s) = %(s)g (force lin´eique de pesanteur).
Brins d’herbe soumis `
? Forces d’inertie d’entraˆınement. Lorsque le milieu continu est immo-bile dans un r´ef´erentiel non galil´een, ses points mat´eriels sont soumis `
a des forces d’inertie d’entraˆınement qui sont, comme les forces de pe-santeur, des forces massiques. Prenons l’exemple o`u le plan (O, e1, e2) est en rotation uniforme autour de l’axe Ox2 avec une vitesse angu-laire Ω par rapport `a un r´ef´erentiel galil´een. Alors un point mat´eriel de masse m, immobile au point x = (x1, x2) du plan (qui peut donc ˆetre vu comme un r´ef´erentiel non galil´een) est soumis `a la force d’inertie centrifuge mΩ2x1e1. Par cons´equent, si le milieu curviligne est immo-bile dans ce r´ef´erentiel dans la configuration s7→ x(s) avec une masse lin´eique %(s), il sera soumis `a la densit´e de forces lin´eiques
f (s) = %(s)Ω2x1(s)e1 (force lin´eique de force centrifuge).
C’est un exemple de forces lin´eiques qui d´ependent de la position. Bras d’´eolienne soumis
`
a des forces centrifuges
• Forces de contact. Le milieu continu curviligne peut aussi ˆetre soumis `a des forces r´eparties dues au contact avec d’autres objets. Ces objets pourront ˆetre des solides rigides, des fluides ou d’autres milieux continus d´eformables. Nous donnons ci-dessous deux exemples de telles forces de contact, mais on sera amen´e `a en rencontrer d’autres.
? Enroulement d’un cˆable. Si l’on enroule un cˆable autour d’une pou-lie, la poulie exerce sur le cˆable des efforts de contact qui sont des forces r´eparties. Cette densit´e s 7→ f(s) n’est pas donn´ee a priori et sa d´etermination passe par une mod´elisation du contact. En particulier la loi de frottement adopt´ee joue un rˆole essentiel. Nous traiterons cet exemple dans le chapitre de statique.
? Pression d’un fluide. Un autre exemple classique est celui d’un r´eservoir contenant un fluide qui exerce une pression sur celui-ci. Pour rester dans le cadre d’un milieu curviligne plan, on peut consid´erer la section d’un tuyau de faible ´epaisseur qui renferme un gaz sous pression. Si l’on n´eglige la pesanteur, la pression du fluide `a l’´equilibre `a l’int´erieur est une constante p. Le fluide exerce donc sur la paroi du tuyau une densit´e de force d’intensit´e p orient´ee suivant la normale ext´erieure au volume renferm´e. Si l’on oriente la configuration d’´equilibre de la paroi du tuyau dans le sens trigonom´etrique, la normale ext´erieure au volume renferm´e est l’oppos´ee de la normale n(s) `a la paroi. Par cons´equent, on aura
Couples r´epartis. Il s’agit de couples distribu´es tout au long du milieu curviligne et dont le moment port´e par e3 a pour densit´e s7→ m(s) (l’unit´e est le N). Autrement dit, l’ext´erieur exerce sur l’´el´ement de longueur ds situ´e au point mat´eriel d’abscisse curviligne s qui se trouve au point g´eom´etrique x(s) un couple dont le moment est m(s)e3ds.
Dans beaucoup de situations que nous rencontrerons, il n’y aura pas de couples r´epartis et donc m(s) = 0. L’exemple ci-dessous emprunt´e au G´enie Civil montre une situation o`u ils existent et o`u on peut les calculer en consid´erant la “vraie” structure tridimensionnelle de l’objet.
? Poutre arm´ee verticale `a armature excentr´ee. Un exemple o`u les couples r´epartis sont pr´esents est celui d’une poutre en b´eton arm´e contenant une armature d’acier excentr´ee, cf la figure ci-contre. Sup-posons pour simplifier que cette poutre soumise `a son poids propre se d´eforme peu et assimilons sa configuration d´eform´ee `a sa configuration de r´ef´erence. La poutre est plac´ee (verticalement) dans le champ de pe-santeur uniforme g =−ge2, les masses volumiques du b´eton et de l’acier ´etant respectivement ρb et ρa. Elle est de section carr´ee de cˆot´e H et l’armature de section circulaire de rayon R est situ´ee `a une distance h dans la direction 1 de la ligne neutre passant par le centre des sec-tions. La ligne passant par le centre g´eom´etrique des sections est choisie comme configuration du milieu curviligne, i.e. x(s) = se2. Consid´erons une tranche de cette poutre situ´ee entre les abscisses curvilignes s−ds/2 et s+ds/2. Le poids de cette tranche fournit la densit´e lin´eique de forces f (s), alors que le moment calcul´e au point se2 r´esultant des forces de pesanteur s’exer¸cant sur cette tranche fournit la densit´e m(s). On a donc f (s) = Z H/2 −H/2 Z H/2 −H/2 ρ(x1, x3)gdx1dx3 et m(s) = Z H/2 −H/2 Z H/2 −H/2 ρ(x1, x3)(x1e1+ x3e3)∧. gdx1dx3.
On obtient imm´ediatement la densit´e (uniforme) de forces : f =− ρb(H2− πR2) + ρaπR2ge2. Pour la densit´e de moments, on a bien par sym´etrie et invariance de la section un moment ind´ependant de s et port´e par e3. Toujours par sym´etrie de la section on se ram`ene `a m =−(ρa− ρb)gR
Σax1dx1dx3 o`u Σa d´esigne la section de l’armature. Finalement, on obtient
m =−(ρa− ρb)πR2hg (densit´e lin´eique de moment exerc´e sur la poutre arm´ee).
Exercice 2.1. V´erifier que si la poutre en b´eton arm´ee est plac´ee horizontalement en la faisant pivoter de90◦ autour de e3, alors il n’y a plus de couples concentr´es. Qu’en est-il si on la fait pivoter de 90◦ autour de e1?
2.1.2 Efforts ponctuels
Dans notre sch´ematisation des objets ´elanc´es nous avons “r´eduit” le milieu continu tridimensionnel en un milieu unidimensionnel. Pour ˆetre coh´erent il faut sch´ematiser de la mˆeme fa¸con les efforts ext´erieurs. Par cons´equent, lorsqu’ils sont appliqu´es sur des zones de petite taille, il est l´egitime et coh´erent de les assimiler `a des efforts ponctuels (par opposition aux efforts r´epartis introduits pr´ec´edemment), i.e. `a des efforts qui sont appliqu´es sur un ensemble discret de points du milieu curviligne. Les deux extr´emit´es du milieu curviligne quand elles existent, i.e. quand le milieu n’est pas infini, semi-infini ou une courbe ferm´ee, entrent dans cette cat´egorie de points soumis `a des efforts ponctuels. Il est bon toutefois de les distinguer des autres points (dits points int´erieurs) du fait du rˆole particulier qu’ils jouent dans les conditions aux limites.
Forces et couples appliqu´es aux extr´emit´es du milieu curviligne. Les efforts que l’ext´erieur exerce en l’extr´emit´e s = 0 du milieu continu curviligne (quand elle existe) se r´eduisent `a une force F0 et `a un couple de moment M0e3, tous deux appliqu´es au point x(0). De mˆeme, Les efforts que l’ext´erieur exerce en l’extr´emit´e s = ` du milieu continu curviligne (quand elle existe) se r´eduisent `a une force F` et `a un couple de momentM`e3, tous deux appliqu´es au point x(`). ´Evidemment, ces forces et ces moments peuvent ˆetre nuls. Quand la force et le moment sont nuls en une extr´emit´e, on dit que cette extr´emit´e est libre.
? Poutre de Galil´ee. Dans l’exemple de la poutre ci-contre, sch´ematis´ee par le segment de droite ci-dessous, l’extr´emit´e s = ` est soumise au poids suspendu alors que l’extr´emit´e s = 0 est soumise `a la r´eaction du mur auquel elle est accroch´ee. Par cons´equent, on a
F`= mg, M`= 0
alors que la force et le moment de r´eaction F0 etM0seront d´etermin´es lorsqu’on ´ecrira l’´equilibre global de la poutre (et qu’on aura donc pr´ecis´e l’ensemble des efforts ext´erieurs auxquels elle est soumise).
Dessin de la poutre tel qu’il figure dans le livre de Galil´ee “Discours concernant deux sciences nouvelles”
Forces et couples appliqu´es en des points int´erieurs du milieu curviligne. L’ext´erieur peut exercer des efforts concentr´es en certains points du milieu curviligne. Nous supposerons que ces points sont en nombre fini n et, quand il y en a, nous les rep´ererons par leur abscisse curviligne {si}1≤i≤n. L’effort exerc´e sur le point mat´eriel si se r´eduit `a une force Fsi et `a un couple de moment Msie3, tous deux appliqu´es au point g´eom´etrique x(si).
On remarquera que les notations sont coh´erentes avec celles adopt´ees pour les efforts aux extr´emit´es et que l’origine s = 0 peut ˆetre consid´er´ee comme le point d’indice 0 et l’extr´emit´e s = ` comme le point n + 1.
? Potence. La potence ci-contre est constitu´ee de trois milieux curvi-lignes : une barre verticale, une barre horizontale et une barre oblique. Chacune de ces barres exerce sur l’autre au point de fixation une force et un couple ponctuels dont les intensit´es d´ependent en particulier de la charge que supporte la potence. Suivant que l’on s’int´eresse `a l’ensemble des 3 barres ou bien `a une barre en particulier, ces efforts ponctuels sont des efforts int´erieurs ou bien des efforts ext´erieurs. Ainsi, si l’on consid`ere la barre horizontale “seule”, elle est soumise au syst`eme d’ef-forts d´ecrits sur le sch´ema ci-contre. Seule la force F` due `a la charge est donn´ee, tous les autres efforts devront ˆetre calcul´es en ´etudiant l’´equilibre de l’ensemble des 3 barres.
? Pont `a haubans.Les ponts `a haubans sont des exemples-type de struc-tures soumises `a des efforts ponctuels. Le tablier du pont sch´ematis´e comme un milieu curviligne est soumis aux efforts ponctuels dus aux haubans (cˆables qui relient le tablier au pilier porteur). De mˆeme, le pilier porteur est un milieu curviligne qui est soumis `a des efforts ponc-tuels dus `a ces mˆemes haubans. Comme nous le verrons lorsque nous introduirons le concept de fil, dans les deux cas ces efforts se r´eduisent `
a des forces appliqu´ees aux points d’attache des haubans (les fils ne transmettent pas de moment).
On peut voir sur la figure ci-contre une partie du viaduc de Millau avec un pilier et les haubans accroch´es `a ce pilier qui portent le tablier. Les v´ehicules qui passent sur le viaduc sont d’autres exemples de charges ponctuelles (et mobiles) que doit supporter le tablier.
18\ DÉCOUVERTE \N° 357 JUILLET-AOÛT 2008
Le pont haubané de Millau
© Eiffage / Foster & Partners / Daniel JAMME - Millau pour C.E.V.M.
5 MATIERE-ÉNERGIE 357 SN 18/07/2008 11:44 Page 18
? Le saut `a la perche. Au moment de l’impulsion, l’extr´emit´e avant de la perche ´etant bloqu´ee par le butoir, le sauteur positionne sa main avant comme point d’appui pour faire levier alors que sa main arri`ere tient l’autre extr´emit´e de la perche. Celle-ci est donc soumise au moment de l’impulsion `a une flexion 3 points : deux des points correspondent aux extr´emit´es et le troisi`eme point correspond `a la prise de la main avant. La perche est soumise `a une force ponctuelle en ce point qui va permettre de la fl´echir. Cette configuration initiale combin´ee avec la vitesse d’´elan sont des facteurs d´eterminants pour la qualit´e du saut.
Impulsion de Renaud Lavillenie
Les efforts ext´erieurs sur la perche au moment de l’impulsion