• Aucun résultat trouvé

Hypoth` eses g´ en´ erales et faits exp´ erimentaux

Dans le document Mécanique des Milieux Continus I (Page 63-74)

Lois de comportement

3.2 Hypoth` eses g´ en´ erales et faits exp´ erimentaux

3.2.1 Le concept de loi de comportement et classification

Nous avons vu au chapitre 2 que les seules ´equations d’´equilibre ne permettent pas de trouver la configuration d’´equilibre du milieu curviligne soumis `a des efforts ext´erieurs donn´es. Il manque des rela-tions. L’exp´erience quotidienne nous apprend que les configurations d’´equilibre ou plus g´en´eralement les r´eponses `a des sollicitations d´ependent de la forme, de la taille et de la constitution de la sec-tion du milieu tridimensionnel ´elanc´e que l’on sch´ematise comme un milieu curviligne. Il faut donc n´ecessairement entrer sous une forme ou sous une autre ces informations dans la formulation du probl`eme de d´etermination de l’´equilibre si l’on veut pouvoir le r´esoudre. Ces relations suppl´ementaires ne peuvent ˆetre que des relations entre les grandeurs caract´erisant les efforts int´erieurs et les grandeurs g´eom´etriques ou cin´ematiques caract´erisant la configuration ou les changements de configuration du milieu curviligne. Si l’on examine plus attentivement les ´equations d’´equilibre, on s’aper¸coit que les efforts int´erieurs ne jouent pas tous le mˆeme rˆole. En effet, partons de l’´equation locale d’´equilibre des moments :

dM

ds + T + m = 0.

On voit qu’on peut calculer l’effort tranchant en terme de la densit´e lin´eique de couples et de la d´eriv´ee du moment fl´echissant,

T (s) =−dMds (s)− m(s).

Reportons ceci dans l’expression de la force int´erieure d´ecompos´ee sur la base locale (t(s), n(s)) : R(s) = N (s)t(s)−dM

ds (s)n(s)− m(s)n(s).

L’´equation locale d’´equilibre des forces devient alors (en omettant l’argument s) : 0 = d ds  N t−dMds n− mn  + f .

Si on la d´eveloppe en tenant compte du fait que dt/ds = Cn et dn/ds =−Ct, C ´etant la courbure, il vient          0 = dN ds + C dM ds + Cm + ft 0 = CN−d 2M ds2dm ds + fn .

On a obtenu deux ´equations scalaires, la premi`ere est l’´equation d’´equilibre des forces projet´ee sur la tangente, la deuxi`eme sa projection sur la normale. Elles ne mettent donc en jeu que N et M pour ce qui concerne les efforts int´erieurs. Finalement on a deux ´equations diff´erentielles pour d´eterminer les deux champs s7→ (N(s), M(s)) et la configuration d’´equilibre s 7→ x(s). Cela fait quatre champs scalaires inconnus pour deux ´equations, il manque deux relations. Ce sont ces deux relations qui vont caract´eriser la constitution du milieu curviligne et que l’on appelle relations constitutives ou lois de comportement.

Ces relations constitutives peuvent prendre des formes vari´ees et plus ou moins complexes suivant le type de milieux ou le type de ph´enom`enes dont on veut rendre compte. Nous donnons ci-dessous quelques exemples de relations allant des plus complexes au plus simples. Dans tous ces exemples, les champs sont param´etr´es par l’abscisse curviligne S de la configuration de r´ef´erence et le temps t est indiqu´e en indice : ainsi, S 7→ (Nt(S), Mt(S, t), xt(S)) repr´esente les champs lagrangiens d’effort normal, de moment fl´echissant et de position `a l’instant t.

1. L’effort normal et le moment fl´echissant au point S `a l’instant t, Nt(S) et Mt(S)), d´ependent de toute l’histoire du mouvement jusqu’`a l’instant t de tout le milieu continu. La relation constitutive est donc une fonctionnelle du type

(Nt, Mt) = ϕ ({xτ}τ≤t) .

C’est le cas lors d’une d´ependance non locale `a la fois en espace et en temps du comportement. On pourrait mˆeme envisager des lois encore plus g´en´erales dans lesquelles Nt et Mt ne sont pas donn´es de fa¸con explicite mais implicite. On aurait alors des relations du type

ϕ({Nτ}τ≤t,{Mτ}τ≤t,{xτ}τ≤t) = 0.

2. Les lois non locales pr´ec´edentes sont `a la fois difficiles `a identifier et `a utiliser. On pr´ef`ere les simplifier en limitant la d´ependance vis `a vis de l’espace et du temps `a un voisinage arbitrairement petit du point mat´eriel et du temps concern´es. Autrement dit, on ne fait d´ependre les efforts int´erieurs au point S0 et `a l’instant t0 que des d´eriv´ees de (S, t)7→ xt(S) par rapport `a S et `a t au point S0 et `

a l’instant t0. Les mod`eles se distinguent alors par l’ordre de d´erivation maximal envisag´e : (Nt(S), Mt(S)) = ϕ xt(S), x0t(S), ˙xt(S), x00t(S), ˙x0t(S), ¨xt(S),· · · .

Lorsqu’on s’arrˆete `a l’ordre 2, on obtient la classe des milieux dits visco´elastiques `a gradient de d´eformation d’extension. Nous les envisagerons dans la prochaine section qui est consacr´ee au principe d’objectivit´e.

3. Dans les relations constitutives ci-dessus la d´ependance vis `a vis des vitesses, en particulier vis `

a vis de ˙x0, est caract´eristique des comportements visqueux o`u les efforts int´erieurs d´ependent de la vitesse de d´eformation. Lorsque cette d´ependance n’existe pas ou peut ˆetre n´eglig´ee, on tombe sur la classe de comportements de type ´elastiques pour lesquels les efforts int´erieurs ne d´ependent que des d´eriv´ees de la position par rapport `a S au point et `a l’instant consid´er´es :

(Nt(S), Mt(S)) = ϕ xt(S), x0t(S), x00t(S),· · · .

Les milieux ´elastiques au sens strict du terme appartiennent `a la classe o`u l’on s’arrˆete `a l’ordre 2 de d´erivation. L’hypoth`ese forte est ´evidemment que les efforts int´erieurs ne d´ependent pas de l’histoire pass´ee de la d´eformation du milieu, mais uniquement de la configuration actuelle. Le comportement est dit parfaitement r´eversible.

4. Doivent ˆetre incluses dans les relations constitutives, les conditions qui restreignent la d´eformation du milieu continu. Ainsi, la rigidit´e parfaite au sens d’interdiction absolue de d´eformation est une loi de comportement. Elle impose que ε et κ soient partout et toujours nuls, i.e.

La contrepartie est que les efforts int´erieurs ne sont plus d´etermin´es par la loi de comportement, ils ne peuvent l’ˆetre que par les ´equations d’´equilibre (ou les ´equations du mouvement dans le cas d’un probl`eme dynamique). L’absence de d´eformabilit´e peut n’ˆetre que partielle en ne concernant que la d´eformation d’extension ou bien que la d´eformation de flexion. On parle ainsi soit de milieu inextensible soit de milieu inflexible. Dans le premier cas, on a

la condition d’inextensibilit´e : εt(S) = 0 ∀t, ∀S

et l’effort normal n’est pas d´etermin´e par la loi de comportement, il ne peut l’ˆetre que par l’´equilibre. Dans le deuxi`eme cas, on a

la condition d’inflexibilit´e : κt(S) = 0 ∀t, ∀S

et le moment fl´echissant n’est pas d´etermin´e par la loi de comportement, il ne peut l’ˆetre que par l’´equilibre.

A l’autre extrˆeme, on trouve les milieux parfaitement perfectibles qui eux ne supportent aucun moment fl´echissant et qui sont donc r´egis par la relation de

parfaite flexibilit´e : Mt(S) = 0 ∀t, ∀S.

Toutes ces conditions extrˆemes de non d´eformabilit´e ou de parfaite flexibilit´e doivent ´evidemment ˆetre vues comme des mod`eles limites, aucun milieu continu r´eel ne les satisfaisant exactement. Ce sont des approximations qui conduisent `a des probl`emes d’´equilibre en g´en´eral plus simples `a traiter.

3.2.2 Les restrictions impos´ees par le principe d’objectivit´e

Dans les familles de lois de comportement pr´esent´ees dans la section pr´ec´edente, nous avons en-visag´e des d´ependances vis `a vis de l’histoire de la configuration {xτ}τ≤t sans se restreindre `a des d´ependances uniquement vis `a vis de l’histoire des d´eformations {ετ}τ≤t et {κτ}τ≤t. Un des prin-cipaux objectifs de cette section est de montrer que ces restrictions vont d´ecouler naturellement du principe d’objectivit´e.

Position du probl`eme et ´enonc´e du principe d’objectivit´e

Pour identifier une loi de comportement, on doit faire des exp´eriences dans lesquelles on mesure la r´eponse du milieu `a des sollicitations pour d´eterminer les relations constitutives qui lient les diff´erentes grandeurs. Dans notre cas, il s’agit d’identifier les relations donnant les efforts int´erieurs en fonction des d´eformations subies par le milieu. Ces exp´eriences se font dans des r´ef´erentiels d’espace-temps et on peut se demander si les relations obtenues d´ependent du r´ef´erentiel choisi. Le principe d’objectivit´e2

consiste `a exiger que non, les relations obtenues doivent ˆetre les mˆemes quel que soit le r´ef´erentiel choisi.

Il s’agit de rendre cet ´enonc´e plus pr´ecis. Consid´erons une grandeur physique (force, moment, . . . ) dont la repr´esentation dans le r´ef´erentielR est G. En faisant des exp´eriences dans le r´ef´erentiel R o`u

l’on impose des grandeurs caract´erisant les ´evolutions du milieu qui sont repr´esent´ees par g, on ´etablit que G est reli´e `a g par la loi constitutive

G = ϕ(g).

Sachant que les grandeurs g et G se transforment en g et G dans le changement de r´ef´erentiel entre R et R, le principe d’objectivit´e exige que l’on trouve la mˆeme fonction ϕ si on fait l’exp´erience dans R. Autrement dit, on doit avoir

G = ϕ(g),

et ce quel que soit le changement de r´ef´erentiel et quel que soit le processus de d´eformation g envisag´es. On peut l’´ecrire de fa¸con symbolique

ϕ(g) = ϕ(g), ∀R, ∀g (principe d’objectivit´e) ,

o`u l’op´erateur (·) repr´esente la r`egle de transformation de la grandeur concern´ee dans le changement de r´ef´erentiel.

On voit que ce principe impose des restrictions sur la relation de comportement, i.e. sur la fonc-tion ϕ, mais pas sur les ´evolufonc-tions du milieu ou ses r´eponses, i.e. pas sur g ou G. Il rend impossible certaines d´ependances. Sa mise en oeuvre passe ´evidemment par la connaissance des r`egles de trans-formation dans les changements de r´ef´erentiel des grandeurs mises en jeu. Nous allons illustrer le rˆole de ce principe dans un cas simple avant d’en ´etudier les cons´equences dans le cas de comportements visco´elastiques g´en´eraux.

Exemple d’illustration

Supposons que l’on ait identifi´e pour un milieu curviligne que la valeur d’une grandeur objective scalaire (l’effort normal par exemple) d´epende, au point mat´eriel S et `a l’instant t, uniquement de la d´eriv´ee du vecteur position par rapport `a S en ce point `a cet instant, i.e.

N (S, t) = ϕ x0(S, t) ,

le prime indiquant la d´eriv´ee par rapport `a S. Comme l’abscisse curviligne, l’effort normal et le vecteur position sont objectifs (cf. Annexe A.1), on a

N (S, t))= N (S, t), x0(S, t)) = Q(t)x0(S, t).

Comme on peut imaginer des exp´eriences de fa¸con `a ce que x0(S, t) soit n’importe quel vecteur a6= 0 du plan (e1, e2) et que l’on peut imaginer des changements de r´ef´erentiel tel que Q(t) soit n’importe quelle rotation autour de e3, le principe d’objectivit´e exige que

ϕ(a) = ϕ(Qa), ∀a ∈ R2\ {0}, ∀Q = 

cos ω − sin ω sin ω cos ω



, ω∈ [0, 2π). (3.1)

Le cas a = 0 ´etant exclu, on peut mettre a sous la forme a = rt avec r > 0 et ktk = 1. Pour un r > 0 donn´e, consid´erons deux vecteurs unitaires quelconques t1 et t2. On peut trouver un angle ω tel que t2 = Qt1. En reportant dans (3.1), on obtient ϕ(rt1) = ϕ(rt2), ce qui veut dire que ϕ ne

d´epend en fait que de r. Autrement dit, ϕ ne d´epend de a que par sa norme. R´eciproquement si ϕ ne d´epend que de la norme de a, alors (3.1) est satisfaite puisquekQak = kak. En reportant dans la loi de comportement, on en d´eduit que N ne peut d´ependre que dekx0k = 1 + ε, pas du vecteur tangent t = x0/kx0k. On a donc ´etabli la propri´et´e suivante :

P-3.1. Pour un milieu curviligne dont l’effort normal N ne d´epend a priori que du vecteur d´eriv´ee de la positionx0, le principe d’objectivit´e exige que l’effort normal ne d´epende en fait que de la d´eformation d’extension ε, pas du vecteur tangent t (autrement dit, pas de l’orientation du milieu) :

N = N(ε) .

Restrictions impos´ees `a un comportement visco´elastique

On se propose d’´etudier les restrictions qu’impose le principe d’objectivit´e aux relations de com-portement entre les efforts int´erieurs et la cin´ematique du milieu curviligne pour la plus large classe de comportements mettant en jeu la position et ses d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre deux de d´erivation. D- 3.1 (Milieux visco´elastiques `a gradient de d´eformation d’extension). On consid`ere un milieu curviligne dont l’effort normal N (S, t) et le moment fl´echissant M (S, t) en un point mat´eriel S et un instant t donn´es d´ependent a priori de la position du milieu x(S, t), de ses d´eriv´ees premi`eres x0(S, t) et ˙x(S, t), et de ses d´eriv´ees secondes x00(S, t), ˙x0(S, t) et ¨x(S, t) en ce point `a cet instant.

On envisage donc a priori une d´ependance vis `a vis des vitesses pour rendre compte des ph´enom`enes de viscosit´e et on va jusqu’aux d´eriv´ees secondes car la d´eformation de flexion fait intervenir x00. Comme il n’y a pas lieu de privil´egier a priori certaines d´eriv´ees par rapport `a d’autres, on les fait donc toutes intervenir jusqu’`a l’ordre 2. Comme on se place en un point mat´eriel S0 donn´e et `

a un instant t0 donn´e, on peut choisir ind´ependamment les valeurs des vecteurs x(S0, t0), x0(S0, t0), ˙x(S0, t0), x00(S0, t0), ˙x0(S0, t0) et ¨x(S0, t0). En d’autres termes, si x0, v0, τ0, d0et γ0 sont cinq vecteurs arbitraires du plan (e1, e2) et t0 un vecteur arbitraire non nul de ce plan, on peut toujours construire un mouvement du milieu continu (S, t)7→ x(S, t) dans le r´ef´erentiel R tel que

x(S0, t0) = x0, x0(S0, t0) = t0, ˙x(S0, t0) = v0, x00(S0, t0) = τ0, ˙x0(S0, t0) = d0, ¨x(S0, t0) = γ0. Dans le r´ef´erentiel R, ce mouvement sera repr´esent´e par x(S, t) = a(t) + Q(t)x(S, t) et on aura donc    x(S0, t0) = a + Qx0, x∗0(S0, t0) = Qt0, ˙x(S0, t0) = ˙a + ˙Qx0+ Qv0 x∗00(S0, t0) = Qτ0, ˙x∗0(S0, t0) = ˙Qt0+ Qd0, ¨x(S0, t0) = ¨a + ¨Qx0+ 2 ˙Qv0+ Qγ0, o`u a, ˙a, ¨a, Q, ˙Q et ¨Q d´esignent les valeurs de la translation, de la rotation et de leurs d´eriv´ees `a l’instant t0. L`a encore, on peut toujours construire un changement de r´ef´erentiel tel que a, ˙a, ¨a soit des vecteurs arbitrairement choisis, tel que Q soit une matrice de rotation arbitraire et tel que W = ˙QQT et ˙W = W2+ ¨QQT soient des matrices antisym´etriques arbitraires. En se limitant aux changements

de r´ef´erentiel laissant le plan (e1, e2) invariant, on peut identifier W et ˙W aux scalaires Ω et ˙Ω en vertu du fait que

Wu = Ωe3∧u, Wu = ˙Ωe˙ 3∧u ∀u, dont on d´eduit

˙

Qu = Ωe3∧(Qu), Qu = ˙Ωe¨ 3∧(Qu)− Ω2Qu ∀u.

D’apr`es le principe d’objectivit´e, si ϕ d´esigne la fonction donnant le comportement d’une grandeur scalaire objective (effort normal, moment fl´echissant ou toute autre grandeur objective), cette fonction doit v´erifier

ϕ(x0, t0, v0, τ0, d0, γ0) = ϕ(a + Qx0, Qt0, ˙a + ˙Qx0+ Qv0, Qτ0, ˙Qt0+ Qd0, ¨a + ¨Qx0+ 2 ˙Qv0+ Qγ0) et ce pour tous les vecteurs x0, t0 6= 0, v0, τ0, d0, γ0, a, ˙a et ¨a du plan (e1, e2), toutes les matrices de rotation Q d’axe e3 et tous les scalaires Ω et ˙Ω.

En prenant Q = I, Ω = ˙Ω = 0, a =−x0, ˙a =−v0 et ¨a =−γ0, on obtient ϕ(x0, t0, v0, τ0, d0, γ0) = ϕ(0, t0, 0, τ0, d0, 0)

ce qui veut dire que la fonction ne peut pas d´ependre explicitement de la position, de la vitesse et de l’acc´el´eration du point mat´eriel. On peut donc restreindre les arguments de ϕ `a (t0, τ0, d0) et le principe d’objectivit´e se r´eduit `a l’´egalit´e

ϕ(t0, τ0, d0) = ϕ(Qt0, Qτ0, Ωe3∧(Qt0) + Qd0)

qui doit ˆetre vraie pour tous les vecteurs t0 6= 0, τ0 et d0, toutes les matrices de rotation Q et tous les scalaires Ω. Posons t0= rt o`u r > 0 et t un vecteur unitaire du plan (e1, e2). On a donc r =kt0k. D´ecomposons τ0 et d0 sur la base (t, n) avec n = e3∧t :

τ0 = (τ0·t) t + (τ0·n) n, d0= (d0·t) t + (d0·n) n. En choisissant Ω =−d0·n/ kt0k et Q de fa¸con `a ce que Qt = e1, on a

Qn = e2, Ωe3∧(Qt0) + Qd0 = Ωkt0k e3∧e1+ d0·t e1+ d0·n e2 = d0·t e1. Le principe d’objectivit´e donne alors

ϕ(t0, τ0, d0) = ϕ kt0k e1, τ0·t e1+ τ0·n e2, d0·t e1

qui permet de conclure que ϕ ne d´epend que dekt0k, τ0·t, τ0·n et d0·t. Or, en revenant aux variables physiques et en omettant les arguments (S0, t0), on a :

t0 = x0 = (1 + ε)t, τ0 = x00= ε0t + (1 + ε)2Cn, d0= ˙x0= ˙εt + (1 + ε) ˙ωn

o`u t, n, ε, ε0, CR et ˙ε repr´esentent le vecteur tangent, le vecteur normal, la d´eformation d’extension, la d´eriv´ee de la d´eformation d’extension, la courbure et la vitesse de d´eformation d’extension au point mat´eriel S0 dans la configuration du milieu `a l’instant t0. Comme kt0k = 1 + ε, τ0· t = ε0, τ0· n = (1 + ε)2Cet d0· t = ˙ε, la fonction ϕ ne peut donc d´ependre que de la d´eformation d’extension,

de sa d´eriv´ee, de sa vitesse et de la courbure (ou de fa¸con ´equivalente de la d´eformation de flexion). Comme toutes ces grandeurs sont des scalaires objectifs, cette condition est ´egalement suffisante pour que le principe d’objectivit´e soit satisfait. On a donc obtenu les conditions cherch´ees que l’on r´esume ci-dessous.

P-3.2 (Restrictions impos´ees par le principe d’objectivit´e sur les milieux visco´elastiques `a gradient de d´eformation d’extension). Pour que le principe d’objectivit´e soit satisfait il faut et il suffit que l’effort normal et le moment fl´echissant ne d´ependent que de la d´eformation d’extension, de la d´eriv´ee de la d´eformation d’extension, de la vitesse de la d´eformation d’extension et de la d´eformation de flexion :

N = N(ε, ε0, ˙ε, κ), M = M(ε, ε0, ˙ε, κ) .

Ils ne peuvent pas d´ependre de la position, de la vitesse ou de l’acc´el´eration du point mat´eriel, ni de l’orientation ou de la vitesse de rotation de la tangente.

Conclusion

Le principe d’objectivit´e confirme donc que les seules variables g´eom´etriques et cin´ematiques per-tinentes pour d´ecrire le comportement sont les d´eformations d’extension et de flexion et leurs d´eriv´ees. On pourrait essayer d’´etendre cette propri´et´e `a des classes plus g´en´erales de lois constitutives, mais comme nous n’´etudierons que des milieux ´elastiques ou visco´elastiques nous nous contenterons du r´esultat obtenu dans ce cadre.

3.2.3 Quelques r´esultats exp´erimentaux

Avant de poursuivre la construction th´eorique des lois de comportement, nous pr´esentons dans cette section les r´esultats exp´erimentaux obtenus dans des essais uni-axiaux de traction-compression pour les grandes familles de mat´eriaux : m´etaux, polym`eres, c´eramiques. On va ainsi mettre en ´evidence les principaux ph´enom`enes observ´es et on obtiendra des ordres de grandeur qui nous seront utiles par la suite.

Les grandeurs contrˆol´ees et les grandeurs mesur´ees

Pour identifier le comportement macroscopique d’un mat´eriau, on commence par r´ealiser des essais uni-axiaux sur ´eprouvette, i.e. des essais o`u l’on exerce des forces de traction ou de compression dans une direction. On travaille en g´en´eral `a d´eplacement contrˆol´e, ce qui revient `a imposer la longueur de l’´eprouvette, de fa¸con `a pouvoir observer la r´eponse mˆeme dans le cas o`u les forces supportables sont born´ees. Dans la partie cylindrique des ´eprouvettes, en supposant la r´eponse homog`ene, la variation relative de longueur de la partie cylindrique correspond `a la d´eformation d’extension :

ε = `− `R `R

(d´eformation d’extension) .

Cette d´eformation d’extension est donc donn´ee en fonction du temps, soit t7→ εt, et on mesure `a chaque instant l’effort normal n´ecessaire, soit Nt. On obtient la loi constitutive a priori sous la forme d’une

fonctionnelle donnant Nt en fonction de l’histoire jusqu’`a l’instant t de la d´eformation d’extension Nt= N({ετ}τ≤t).

Nous verrons qu’`a cause des irr´eversibilit´es la r´eponse d´epend effectivement en g´en´eral de toute l’his-toire.

Figure 3.1 – Eprouvettes utilis´ees dans des essais uni-axiaux : `a gauche et au milieu, ´eprouvette `a section circulaire et ´eprouvette plate pour un essai de traction ; `a droite, ´eprouvette cylindrique pour un essai de compression.

Examinons maintenant la d´ependance de Ntvis `a vis de la section de l’´eprouvette. Si l’on envisage un essai de traction sur un ensemble de n ´eprouvettes identiques mises en parall`ele et soumises `a la mˆeme histoire de variation de longueur, on trouvera le mˆeme effort normal dans chaque ´eprouvette qui sera donc ´egal `a l’effort normal total divis´e par n. Ceci sugg`ere que la grandeur caract´erisant le comportement du mat´eriau n’est pas l’effort normal lui-mˆeme, mais l’effort normal par unit´e de surface. Ceci nous conduit `a introduire la contrainte normale `a la section, rapport de l’effort normal N par l’aire A de la section transversale dans sa configuration de r´ef´erence naturelle3 :

σ := N

A (contrainte normale) . (3.2)

La contrainte normale a donc la dimension d’une force par unit´e de surface, autrement dit d’une pression. On l’exprime le plus souvent en MPa.

Avec l’argument pr´ec´edent4, c’est la relation entre σ et l’histoire des d´eformations d’extension qui est donc caract´eristique du mat´eriau constitutif de l’´eprouvette. Les essais vont nous permettre d’identifier

3. On pourrait aussi d´efinir une autre contrainte normale en divisant par l’aire de la section transversale d´eform´ee. Cette derni`ere est appel´ee contrainte normale de Cauchy, alors que celle qui est d´efinie dans (3.2) est la contrainte de Piola-Kirchhoff.

4. Notons toutefois que l’argument ne vaut que pour des sections d’´eprouvette d’assez grande taille. En effet, si l’on fait des essais sur des fibres (par exemple, des fibres de verre ou des fibres de carbone) dont le diam`etre de la section

est microm´etrique (voire moins), alors les effets de tension superficielle jouent un rˆole. La bonne grandeur est l’effort

la loi constitutive du mat´eriau :

σt= ϕ({ετ}τ≤t) (loi constitutive uniaxiale du mat´eriau) , (3.3) dont on d´eduit imm´ediatement celle de l’´eprouvette.

Les raisonnements pr´ec´edents s’appuient de fa¸con essentielle sur le caract`ere uni-axial et homog`ene de l’essai. Malheureusement, ces propri´et´es d’uni-axialit´e et d’homog´en´eit´e ne sont pas toujours satis-faites en pratique (ne serait-ce que par la forme mˆeme de l’´eprouvette et par la difficult´e `a imposer des conditions aux limites compatibles). C’est aussi une des pr´eoccupations de l’exp´erimentateur de

Dans le document Mécanique des Milieux Continus I (Page 63-74)