Hypoth` eses g´ en´ erales et faits exp´ erimentaux

3.2.1 Le concept de loi de comportement et classification

Nous avons vu au chapitre 2 que les seules ´equations d’´equilibre ne permettent pas de trouver la configuration d’´equilibre du milieu curviligne soumis `a des efforts ext´erieurs donn´es. Il manque des rela-tions. L’exp´erience quotidienne nous apprend que les configurations d’´equilibre ou plus g´en´eralement les r´eponses `a des sollicitations d´ependent de la forme, de la taille et de la constitution de la sec-tion du milieu tridimensionnel ´elanc´e que l’on sch´ematise comme un milieu curviligne. Il faut donc n´ecessairement entrer sous une forme ou sous une autre ces informations dans la formulation du probl`eme de d´etermination de l’´equilibre si l’on veut pouvoir le r´esoudre. Ces relations suppl´ementaires ne peuvent ˆetre que des relations entre les grandeurs caract´erisant les efforts int´erieurs et les grandeurs g´eom´etriques ou cin´ematiques caract´erisant la configuration ou les changements de configuration du milieu curviligne. Si l’on examine plus attentivement les ´equations d’´equilibre, on s’aper¸coit que les efforts int´erieurs ne jouent pas tous le mˆeme rˆole. En effet, partons de l’´equation locale d’´equilibre des moments :

dM

ds ^{+ T + m = 0.}

On voit qu’on peut calculer l’effort tranchant en terme de la densit´e lin´eique de couples et de la d´eriv´ee du moment fl´echissant,

T (s) =−^dM_ds (s)− m(s).

Reportons ceci dans l’expression de la force int´erieure d´ecompos´ee sur la base locale (t(s), n(s)) : R(s) = N (s)t(s)−^dM

ds ^(s)n(s)− m(s)n(s).

L’´equation locale d’´equilibre des forces devient alors (en omettant l’argument s) : 0 = ^d ds  N t−^dM_ds n− mn  + f .

Si on la d´eveloppe en tenant compte du fait que dt/ds = Cn et dn/ds =−Ct, C ´etant la courbure, il vient          0 = ^dN ds ^{+ C} dM ds ^{+ Cm + ft} 0 = CN−^d 2M ds2 −^dm ds ^{+ fn} .

On a obtenu deux ´equations scalaires, la premi`ere est l’´equation d’´equilibre des forces projet´ee sur la tangente, la deuxi`eme sa projection sur la normale. Elles ne mettent donc en jeu que N et M pour ce qui concerne les efforts int´erieurs. Finalement on a deux ´equations diff´erentielles pour d´eterminer les deux champs s7→ (N(s), M(s)) et la configuration d’´equilibre s 7→ x(s). Cela fait quatre champs scalaires inconnus pour deux ´equations, il manque deux relations. Ce sont ces deux relations qui vont caract´eriser la constitution du milieu curviligne et que l’on appelle relations constitutives ou lois de comportement.

Ces relations constitutives peuvent prendre des formes vari´ees et plus ou moins complexes suivant le type de milieux ou le type de ph´enom`enes dont on veut rendre compte. Nous donnons ci-dessous quelques exemples de relations allant des plus complexes au plus simples. Dans tous ces exemples, les champs sont param´etr´es par l’abscisse curviligne S de la configuration de r´ef´erence et le temps t est indiqu´e en indice : ainsi, S 7→ (Nt(S), M<sub>t</sub>(S, t), x<sub>t</sub>(S)) repr´esente les champs lagrangiens d’effort normal, de moment fl´echissant et de position `a l’instant t.

1. L’effort normal et le moment fl´echissant au point S `a l’instant t, N<sub>t</sub>(S) et M<sub>t</sub>(S)), d´ependent de toute l’histoire du mouvement jusqu’`a l’instant t de tout le milieu continu. La relation constitutive est donc une fonctionnelle du type

(N_t, M_t) = ϕ ({xτ}τ≤t) .

C’est le cas lors d’une d´ependance non locale `a la fois en espace et en temps du comportement. On pourrait mˆeme envisager des lois encore plus g´en´erales dans lesquelles N_t et M_t ne sont pas donn´es de fa¸con explicite mais implicite. On aurait alors des relations du type

ϕ({Nτ}τ≤t,{Mτ}τ≤t,{xτ}τ≤t) = 0.

2. Les lois non locales pr´ec´edentes sont `a la fois difficiles `a identifier et `a utiliser. On pr´ef`ere les simplifier en limitant la d´ependance vis `a vis de l’espace et du temps `a un voisinage arbitrairement petit du point mat´eriel et du temps concern´es. Autrement dit, on ne fait d´ependre les efforts int´erieurs au point S0 et `a l’instant t0 que des d´eriv´ees de (S, t)7→ xt(S) par rapport `a S et `a t au point S0 et `

a l’instant t₀. Les mod`eles se distinguent alors par l’ordre de d´erivation maximal envisag´e : (N_t(S), M_t(S)) = ϕ x_t(S), x⁰_t(S), ˙x_t(S), x⁰⁰_t(S), ˙x⁰_t(S), ¨x_t(S),· · ·
.

Lorsqu’on s’arrˆete `a l’ordre 2, on obtient la classe des milieux dits visco´elastiques `a gradient de d´eformation d’extension. Nous les envisagerons dans la prochaine section qui est consacr´ee au principe d’objectivit´e.

3. Dans les relations constitutives ci-dessus la d´ependance vis `a vis des vitesses, en particulier vis `

a vis de ˙x⁰, est caract´eristique des comportements visqueux o`u les efforts int´erieurs d´ependent de la vitesse de d´eformation. Lorsque cette d´ependance n’existe pas ou peut ˆetre n´eglig´ee, on tombe sur la classe de comportements de type ´elastiques pour lesquels les efforts int´erieurs ne d´ependent que des d´eriv´ees de la position par rapport `a S au point et `a l’instant consid´er´es :

(N_t(S), M_t(S)) = ϕ x_t(S), x⁰_t(S), x⁰⁰_t(S),· · ·
.

Les milieux ´elastiques au sens strict du terme appartiennent `a la classe o`u l’on s’arrˆete `a l’ordre 2 de d´erivation. L’hypoth`ese forte est ´evidemment que les efforts int´erieurs ne d´ependent pas de l’histoire pass´ee de la d´eformation du milieu, mais uniquement de la configuration actuelle. Le comportement est dit parfaitement r´eversible.

4. Doivent ˆetre incluses dans les relations constitutives, les conditions qui restreignent la d´eformation du milieu continu. Ainsi, la rigidit´e parfaite au sens d’interdiction absolue de d´eformation est une loi de comportement. Elle impose que ε et κ soient partout et toujours nuls, i.e.

La contrepartie est que les efforts int´erieurs ne sont plus d´etermin´es par la loi de comportement, ils ne peuvent l’ˆetre que par les ´equations d’´equilibre (ou les ´equations du mouvement dans le cas d’un probl`eme dynamique). L’absence de d´eformabilit´e peut n’ˆetre que partielle en ne concernant que la d´eformation d’extension ou bien que la d´eformation de flexion. On parle ainsi soit de milieu inextensible soit de milieu inflexible. Dans le premier cas, on a

la condition d’inextensibilit´e : ε_t(S) = 0 ∀t, ∀S

et l’effort normal n’est pas d´etermin´e par la loi de comportement, il ne peut l’ˆetre que par l’´equilibre. Dans le deuxi`eme cas, on a

la condition d’inflexibilit´e : κ_t(S) = 0 ∀t, ∀S

et le moment fl´echissant n’est pas d´etermin´e par la loi de comportement, il ne peut l’ˆetre que par l’´equilibre.

A l’autre extrˆeme, on trouve les milieux parfaitement perfectibles qui eux ne supportent aucun moment fl´echissant et qui sont donc r´egis par la relation de

parfaite flexibilit´e : M_t(S) = 0 ∀t, ∀S.

Toutes ces conditions extrˆemes de non d´eformabilit´e ou de parfaite flexibilit´e doivent ´evidemment ˆetre vues comme des mod`eles limites, aucun milieu continu r´eel ne les satisfaisant exactement. Ce sont des approximations qui conduisent `a des probl`emes d’´equilibre en g´en´eral plus simples `a traiter.

3.2.2 Les restrictions impos´ees par le principe d’objectivit´e

Dans les familles de lois de comportement pr´esent´ees dans la section pr´ec´edente, nous avons en-visag´e des d´ependances vis `a vis de l’histoire de la configuration {xτ}τ≤t sans se restreindre `a des d´ependances uniquement vis `a vis de l’histoire des d´eformations {ετ}τ≤t et {κτ}τ≤t. Un des prin-cipaux objectifs de cette section est de montrer que ces restrictions vont d´ecouler naturellement du principe d’objectivit´e.

Position du probl`eme et ´enonc´e du principe d’objectivit´e

Pour identifier une loi de comportement, on doit faire des exp´eriences dans lesquelles on mesure la r´eponse du milieu `a des sollicitations pour d´eterminer les relations constitutives qui lient les diff´erentes grandeurs. Dans notre cas, il s’agit d’identifier les relations donnant les efforts int´erieurs en fonction des d´eformations subies par le milieu. Ces exp´eriences se font dans des r´ef´erentiels d’espace-temps et on peut se demander si les relations obtenues d´ependent du r´ef´erentiel choisi. Le principe d’objectivit´e2

consiste `a exiger que non, les relations obtenues doivent ˆetre les mˆemes quel que soit le r´ef´erentiel choisi.

Il s’agit de rendre cet ´enonc´e plus pr´ecis. Consid´erons une grandeur physique (force, moment, . . . ) dont la repr´esentation dans le r´ef´erentielR est G. En faisant des exp´eriences dans le r´ef´erentiel R o`u

l’on impose des grandeurs caract´erisant les ´evolutions du milieu qui sont repr´esent´ees par g, on ´etablit que G est reli´e `a g par la loi constitutive

G = ϕ(g).

Sachant que les grandeurs g et G se transforment en g^∗ et G^∗ dans le changement de r´ef´erentiel entre R et R∗, le principe d’objectivit´e exige que l’on trouve la mˆeme fonction ϕ si on fait l’exp´erience dans R^∗. Autrement dit, on doit avoir

G^∗ = ϕ(g^∗),

et ce quel que soit le changement de r´ef´erentiel et quel que soit le processus de d´eformation g envisag´es. On peut l’´ecrire de fa¸con symbolique

ϕ(g)
∗ = ϕ(g^∗), ∀R^∗, ∀g (principe d’objectivit´e) ,

o`u l’op´erateur (·)<sup>∗</sup> repr´esente la r`egle de transformation de la grandeur concern´ee dans le changement de r´ef´erentiel.

On voit que ce principe impose des restrictions sur la relation de comportement, i.e. sur la fonc-tion ϕ, mais pas sur les ´evolufonc-tions du milieu ou ses r´eponses, i.e. pas sur g ou G. Il rend impossible certaines d´ependances. Sa mise en oeuvre passe ´evidemment par la connaissance des r`egles de trans-formation dans les changements de r´ef´erentiel des grandeurs mises en jeu. Nous allons illustrer le rˆole de ce principe dans un cas simple avant d’en ´etudier les cons´equences dans le cas de comportements visco´elastiques g´en´eraux.

Exemple d’illustration

Supposons que l’on ait identifi´e pour un milieu curviligne que la valeur d’une grandeur objective scalaire (l’effort normal par exemple) d´epende, au point mat´eriel S et `a l’instant t, uniquement de la d´eriv´ee du vecteur position par rapport `a S en ce point `a cet instant, i.e.

N (S, t) = ϕ x⁰(S, t)
,

le prime indiquant la d´eriv´ee par rapport `a S. Comme l’abscisse curviligne, l’effort normal et le vecteur position sont objectifs (cf. Annexe A.1), on a

N (S, t))^∗= N (S, t), x⁰(S, t))^∗ = Q(t)x⁰(S, t).

Comme on peut imaginer des exp´eriences de fa¸con `a ce que x⁰(S, t) soit n’importe quel vecteur a6= 0 du plan (e1, e2) et que l’on peut imaginer des changements de r´ef´erentiel tel que Q(t) soit n’importe quelle rotation autour de e₃, le principe d’objectivit´e exige que

ϕ(a) = ϕ(Qa), ∀a ∈ R²\ {0}, ∀Q = 

cos ω − sin ω sin ω cos ω



, ω∈ [0, 2π). (3.1)

Le cas a = 0 ´etant exclu, on peut mettre a sous la forme a = rt avec r > 0 et ktk = 1. Pour un r > 0 donn´e, consid´erons deux vecteurs unitaires quelconques t₁ et t₂. On peut trouver un angle ω tel que t₂ = Qt₁. En reportant dans (3.1), on obtient ϕ(rt₁) = ϕ(rt₂), ce qui veut dire que ϕ ne

d´epend en fait que de r. Autrement dit, ϕ ne d´epend de a que par sa norme. R´eciproquement si ϕ ne d´epend que de la norme de a, alors (3.1) est satisfaite puisquekQak = kak. En reportant dans la loi de comportement, on en d´eduit que N ne peut d´ependre que dekx⁰k = 1 + ε, pas du vecteur tangent t = x⁰/kx0k. On a donc ´etabli la propri´et´e suivante :

P-3.1. Pour un milieu curviligne dont l’effort normal N ne d´epend a priori que du vecteur d´eriv´ee de la positionx⁰, le principe d’objectivit´e exige que l’effort normal ne d´epende en fait que de la d´eformation d’extension ε, pas du vecteur tangent t (autrement dit, pas de l’orientation du milieu) :

N = N(ε) .

Restrictions impos´ees `a un comportement visco´elastique

On se propose d’´etudier les restrictions qu’impose le principe d’objectivit´e aux relations de com-portement entre les efforts int´erieurs et la cin´ematique du milieu curviligne pour la plus large classe de comportements mettant en jeu la position et ses d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre deux de d´erivation. D- 3.1 (Milieux visco´elastiques `a gradient de d´eformation d’extension). On consid`ere un milieu curviligne dont l’effort normal N (S, t) et le moment fl´echissant M (S, t) en un point mat´eriel S et un instant t donn´es d´ependent a priori de la position du milieu x(S, t), de ses d´eriv´ees premi`eres x⁰(S, t) et ˙x(S, t), et de ses d´eriv´ees secondes x00(S, t), ˙x⁰(S, t) et ¨x(S, t) en ce point `a cet instant.

On envisage donc a priori une d´ependance vis `a vis des vitesses pour rendre compte des ph´enom`enes de viscosit´e et on va jusqu’aux d´eriv´ees secondes car la d´eformation de flexion fait intervenir x⁰⁰. Comme il n’y a pas lieu de privil´egier a priori certaines d´eriv´ees par rapport `a d’autres, on les fait donc toutes intervenir jusqu’`a l’ordre 2. Comme on se place en un point mat´eriel S₀ donn´e et `

a un instant t₀ donn´e, on peut choisir ind´ependamment les valeurs des vecteurs x(S₀, t₀), x⁰(S₀, t₀), ˙x(S0, t0), x⁰⁰(S0, t0), ˙x⁰(S0, t0) et ¨x(S0, t0). En d’autres termes, si x0, v0, τ0, d0et γ₀ sont cinq vecteurs arbitraires du plan (e₁, e₂) et t₀ un vecteur arbitraire non nul de ce plan, on peut toujours construire un mouvement du milieu continu (S, t)7→ x(S, t) dans le r´ef´erentiel R tel que

x(S₀, t₀) = x₀, x⁰(S₀, t₀) = t₀, ˙x(S₀, t₀) = v₀, x⁰⁰(S₀, t₀) = τ₀, ˙x⁰(S₀, t₀) = d₀, ¨x(S₀, t₀) = γ₀. Dans le r´ef´erentiel R^∗, ce mouvement sera repr´esent´e par x^∗(S, t^∗) = a(t) + Q(t)x(S, t) et on aura donc    x^∗(S₀, t^∗₀) = a + Qx₀, x^∗0(S₀, t₀^∗) = Qt₀, ˙x^∗(S₀, t^∗₀) = ˙a + ˙Qx₀+ Qv₀ x^∗00(S₀, t₀) = Qτ₀, ˙x^∗0(S₀, t₀) = ˙Qt₀+ Qd₀, ¨x^∗(S₀, t₀) = ¨a + ¨Qx₀+ 2 ˙Qv₀+ Qγ₀, o`u a, ˙a, ¨a, Q, ˙Q et ¨Q d´esignent les valeurs de la translation, de la rotation et de leurs d´eriv´ees `a l’instant t0. L`a encore, on peut toujours construire un changement de r´ef´erentiel tel que a, ˙a, ¨a soit des vecteurs arbitrairement choisis, tel que Q soit une matrice de rotation arbitraire et tel que W = ˙QQ^T et ˙W = W2+ ¨QQT soient des matrices antisym´etriques arbitraires. En se limitant aux changements

de r´ef´erentiel laissant le plan (e1, e2) invariant, on peut identifier W et ˙W aux scalaires Ω et ˙Ω en vertu du fait que

Wu = Ωe_3∧u, Wu = ˙Ωe^˙ _3∧u ∀u, dont on d´eduit

˙

Qu = Ωe3∧(Qu), Qu = ˙Ωe^¨ 3∧(Qu)− Ω²Qu ∀u.

D’apr`es le principe d’objectivit´e, si ϕ d´esigne la fonction donnant le comportement d’une grandeur scalaire objective (effort normal, moment fl´echissant ou toute autre grandeur objective), cette fonction doit v´erifier

ϕ(x0, t0, v0, τ0, d0, γ₀) = ϕ(a + Qx0, Qt0, ˙a + ˙Qx0+ Qv0, Qτ0, ˙Qt0+ Qd0, ¨a + ¨Qx0+ 2 ˙Qv0+ Qγ₀) et ce pour tous les vecteurs x₀, t₀ 6= 0, v0, τ₀, d₀, γ₀, a, ˙a et ¨a du plan (e₁, e₂), toutes les matrices de rotation Q d’axe e3 et tous les scalaires Ω et ˙Ω.

En prenant Q = I, Ω = ˙Ω = 0, a =−x0, ˙a =−v0 et ¨a =−γ0, on obtient ϕ(x₀, t₀, v₀, τ₀, d₀, γ₀) = ϕ(0, t₀, 0, τ₀, d₀, 0)

ce qui veut dire que la fonction ne peut pas d´ependre explicitement de la position, de la vitesse et de l’acc´el´eration du point mat´eriel. On peut donc restreindre les arguments de ϕ `a (t<sub>0</sub>, τ<sub>0</sub>, d<sub>0</sub>) et le principe d’objectivit´e se r´eduit `a l’´egalit´e

ϕ(t₀, τ₀, d₀) = ϕ(Qt₀, Qτ₀, Ωe_3∧(Qt₀) + Qd₀)

qui doit ˆetre vraie pour tous les vecteurs t₀ 6= 0, τ0 et d₀, toutes les matrices de rotation Q et tous les scalaires Ω. Posons t₀= rt o`u r > 0 et t un vecteur unitaire du plan (e₁, e₂). On a donc r =kt0k. D´ecomposons τ₀ et d₀ sur la base (t, n) avec n = e_3∧t :

τ₀ = (τ₀·t) t + (τ0·n) n, d₀= (d₀·t) t + (d0·n) n. En choisissant Ω =−d0·n/ kt0k et Q de fa¸con `a ce que Qt = e1, on a

Qn = e₂, Ωe_3∧(Qt₀) + Qd₀ = Ωkt0k e3∧e₁+ d₀·t e1+ d₀·n e2 = d₀·t e1. Le principe d’objectivit´e donne alors

ϕ(t₀, τ₀, d₀) = ϕ kt0k e1, τ₀·t e1+ τ₀·n e2, d₀·t e1

qui permet de conclure que ϕ ne d´epend que dekt0k, τ0·t, τ0·n et d0·t. Or, en revenant aux variables physiques et en omettant les arguments (S₀, t₀), on a :

t0 = x⁰ = (1 + ε)t, τ0 = x⁰⁰= ε⁰t + (1 + ε)²Cn, d0= ˙x⁰= ˙εt + (1 + ε) ˙ωn

o`u t, n, ε, ε<sup>0</sup>, CR et ˙ε repr´esentent le vecteur tangent, le vecteur normal, la d´eformation d’extension, la d´eriv´ee de la d´eformation d’extension, la courbure et la vitesse de d´eformation d’extension au point mat´eriel S<sub>0</sub> dans la configuration du milieu `a l’instant t₀. Comme kt0k = 1 + ε, τ0· t = ε0, τ₀· n = (1 + ε)2Cet d₀· t = ˙ε, la fonction ϕ ne peut donc d´ependre que de la d´eformation d’extension,

de sa d´eriv´ee, de sa vitesse et de la courbure (ou de fa¸con ´equivalente de la d´eformation de flexion). Comme toutes ces grandeurs sont des scalaires objectifs, cette condition est ´egalement suffisante pour que le principe d’objectivit´e soit satisfait. On a donc obtenu les conditions cherch´ees que l’on r´esume ci-dessous.

P-3.2 (Restrictions impos´ees par le principe d’objectivit´e sur les milieux visco´elastiques `a gradient de d´eformation d’extension). Pour que le principe d’objectivit´e soit satisfait il faut et il suffit que l’effort normal et le moment fl´echissant ne d´ependent que de la d´eformation d’extension, de la d´eriv´ee de la d´eformation d’extension, de la vitesse de la d´eformation d’extension et de la d´eformation de flexion :

N = N(ε, ε⁰, ˙ε, κ), M = M(ε, ε⁰, ˙ε, κ) .

Ils ne peuvent pas d´ependre de la position, de la vitesse ou de l’acc´el´eration du point mat´eriel, ni de l’orientation ou de la vitesse de rotation de la tangente.

Conclusion

Le principe d’objectivit´e confirme donc que les seules variables g´eom´etriques et cin´ematiques per-tinentes pour d´ecrire le comportement sont les d´eformations d’extension et de flexion et leurs d´eriv´ees. On pourrait essayer d’´etendre cette propri´et´e `a des classes plus g´en´erales de lois constitutives, mais comme nous n’´etudierons que des milieux ´elastiques ou visco´elastiques nous nous contenterons du r´esultat obtenu dans ce cadre.

3.2.3 Quelques r´esultats exp´erimentaux

Avant de poursuivre la construction th´eorique des lois de comportement, nous pr´esentons dans cette section les r´esultats exp´erimentaux obtenus dans des essais uni-axiaux de traction-compression pour les grandes familles de mat´eriaux : m´etaux, polym`eres, c´eramiques. On va ainsi mettre en ´evidence les principaux ph´enom`enes observ´es et on obtiendra des ordres de grandeur qui nous seront utiles par la suite.

Les grandeurs contrˆol´ees et les grandeurs mesur´ees

Pour identifier le comportement macroscopique d’un mat´eriau, on commence par r´ealiser des essais uni-axiaux sur ´eprouvette, i.e. des essais o`u l’on exerce des forces de traction ou de compression dans une direction. On travaille en g´en´eral `a d´eplacement contrˆol´e, ce qui revient `a imposer la longueur de l’´eprouvette, de fa¸con `a pouvoir observer la r´eponse mˆeme dans le cas o`u les forces supportables sont born´ees. Dans la partie cylindrique des ´eprouvettes, en supposant la r´eponse homog`ene, la variation relative de longueur de la partie cylindrique correspond `a la d´eformation d’extension :

ε = <sup>`</sup>− `R `R

(d´eformation d’extension) .

Cette d´eformation d’extension est donc donn´ee en fonction du temps, soit t7→ εt, et on mesure `a chaque instant l’effort normal n´ecessaire, soit N_t. On obtient la loi constitutive a priori sous la forme d’une

fonctionnelle donnant Nt en fonction de l’histoire jusqu’`a l’instant t de la d´eformation d’extension N_t= N({ετ}τ≤t).

Nous verrons qu’`a cause des irr´eversibilit´es la r´eponse d´epend effectivement en g´en´eral de toute l’his-toire.

Figure 3.1 – Eprouvettes utilis´ees dans des essais uni-axiaux : `a gauche et au milieu, ´eprouvette `a section circulaire et ´eprouvette plate pour un essai de traction ; `a droite, ´eprouvette cylindrique pour un essai de compression.

Examinons maintenant la d´ependance de N_tvis `a vis de la section de l’´eprouvette. Si l’on envisage un essai de traction sur un ensemble de n ´eprouvettes identiques mises en parall`ele et soumises `a la mˆeme histoire de variation de longueur, on trouvera le mˆeme effort normal dans chaque ´eprouvette qui sera donc ´egal `a l’effort normal total divis´e par n. Ceci sugg`ere que la grandeur caract´erisant le comportement du mat´eriau n’est pas l’effort normal lui-mˆeme, mais l’effort normal par unit´e de surface. Ceci nous conduit `a introduire la contrainte normale `a la section, rapport de l’effort normal N par l’aire A de la section transversale dans sa configuration de r´ef´erence naturelle³ :

σ := ^N

A ^{(contrainte normale) . (3.2)}

La contrainte normale a donc la dimension d’une force par unit´e de surface, autrement dit d’une pression. On l’exprime le plus souvent en MPa.

Avec l’argument pr´ec´edent⁴, c’est la relation entre σ et l’histoire des d´eformations d’extension qui est donc caract´eristique du mat´eriau constitutif de l’´eprouvette. Les essais vont nous permettre d’identifier

3. On pourrait aussi d´efinir une autre contrainte normale en divisant par l’aire de la section transversale d´eform´ee. Cette derni`ere est appel´ee contrainte normale de Cauchy, alors que celle qui est d´efinie dans (3.2) est la contrainte de Piola-Kirchhoff.

4. Notons toutefois que l’argument ne vaut que pour des sections d’´eprouvette d’assez grande taille. En effet, si l’on fait des essais sur des fibres (par exemple, des fibres de verre ou des fibres de carbone) dont le diam`etre de la section

est microm´etrique (voire moins), alors les effets de tension superficielle jouent un rˆole. La bonne grandeur est l’effort

la loi constitutive du mat´eriau :

σ_t= ϕ({ετ}τ≤t) (loi constitutive uniaxiale du mat´eriau) , (3.3) dont on d´eduit imm´ediatement celle de l’´eprouvette.

Les raisonnements pr´ec´edents s’appuient de fa¸con essentielle sur le caract`ere uni-axial et homog`ene de l’essai. Malheureusement, ces propri´et´es d’uni-axialit´e et d’homog´en´eit´e ne sont pas toujours satis-faites en pratique (ne serait-ce que par la forme mˆeme de l’´eprouvette et par la difficult´e `a imposer des conditions aux limites compatibles). C’est aussi une des pr´eoccupations de l’exp´erimentateur de

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