Le probl` eme aux limites

Pour formuler le probl`eme aux limites, nous supposerons que la configuration de r´ef´erence du milieu curviligne S 7→ xR(S) est donn´ee. Sauf mention explicite du contraire, la configuration d’´equilibre cherch´ee et tous les efforts int´erieurs sont param´etr´es par l’abscisse curviligne de r´ef´erence S :

S 7→ x(S) , S 7→ R(S) = N(S)t(S) + T (S)n(S) , S 7→ M(S) .

Pour les efforts r´epartis, nous raisonnerons par unit´e de longueur de la configuration de r´ef´erence et les densit´es lin´eiques associ´ees seront indiqu´ees avecR en indice. Ainsi les forces lin´eiques et les couples lin´eiques deviennent

f_R(S) = s⁰(S)f◦s(S) = (1 + ε(S))f◦s(S) , m_R(S) = s⁰(S)m◦s(S) = (1 + ε(S))m◦s(S) . Nous avons introduit dans les chapitres pr´ec´edents les principaux concepts qui vont nous permettre de d´eterminer les positions d’´equilibre de milieux curvilignes soumis `a des efforts ext´erieurs : dans le chapitre 1 nous avons d´efini la g´eom´etrie et les d´eformations, dans le chapitre 2 les efforts int´erieurs et ext´erieurs ainsi que les ´equations d’´equilibre, dans le chapitre 3 les lois de comportement. Nous allons maintenant rassembler ces diff´erentes notions pour arriver au probl`eme aux limites qui constitue la formulation finale de la question de l’´equilibre. Toutefois, il reste encore `a distinguer dans cette formulation ce qui est donn´e de ce qui est inconnu et doit ˆetre d´etermin´e. Cette phase absolument essentielle n’est pas forc´ement la plus facile, car elle peut exiger de r´esoudre des probl`emes “annexes” avant d’aboutir `a un probl`eme “bien-pos´e”. Parmi les points qui restent `a pr´eciser, distinguons

• les conditions aux limites : que peut-on imposer aux extr´emit´es d’un milieu curviligne ? • les efforts ext´erieurs : en quoi d´ependent-ils de la configuration du milieu curviligne ?

4.1.1 Les conditions aux limites

Dans le chapitre 2, nous avons introduit les efforts qu’exer¸cait l’ext´erieur aux extr´emit´es d’un milieu curviligne ouvert et avons alors consid´er´e qu’ils ´etaient connus ainsi que la configuration d’´equilibre afin

d’´ecrire les ´equations d’´equilibre locales que devaient v´erifier les efforts int´erieurs. Il s’agit maintenant de pr´eciser ce qui est donn´e de ce qu’il faut d´eterminer. En effet, lorsqu’on encastre une tige dans un mur suppos´e rigide et fixe, on se donne la position et l’orientation de la tige en l’extr´emit´e encastr´ee, mais par contre on ne peut pas connaˆıtre a priori quels efforts va exercer le mur sur la tige. Ces r´eactions vont d´ependre de la configuration d’´equilibre de la tige (qu’il s’agit de trouver) et seront connues une fois que le probl`eme de statique sera enti`erement r´esolu. Ces r´eactions inconnues ne vont donc pas apparaˆıtre dans la formulation du probl`eme aux limites, ce sont les donn´ees g´eom´etriques relatives `a l’encastrement qui vont figurer. Cette r`egle heuristique<sup>1</sup>est g´en´erale et va valoir pour toutes les conditions aux limites que nous serons amen´es `a rencontrer. ´Enon¸cons-la `a titre indicatif.

C- 4.1 (R`egle heuristique sur la bonne ´ecriture des conditions aux limites). On ne peut pas imposer `

a la fois les forces `a une extr´emit´e et la position (ou le d´eplacement) de cette extr´emit´e, et de mˆeme, on ne peut pas imposer `a la fois le moment et l’orientation (ou la rotation) `a une mˆeme extr´emit´e. Quand on impose l’un, l’autre ne sera connu qu’une fois le probl`eme de statique r´esolu. Ici aussi c’est le concept de dualit´e efforts-positions qui sert de guide et on peut s’appuyer sur le tableau de correspondance suivant  R M  ←→  x ou ξ α ou ω  ou bien   N T M  ←→   u w ω  

En toute extr´emit´e du milieu curviligne, on doit se donner 3 conditions scalaires sachant que l’on ne peut pas se donner deux grandeurs d’une mˆeme ligne des tableaux.

Condition d’encastrement

D- 4.2 (Conditions `a la limite pour un encastrement). • Quand l’extr´emit´e S = 0 est encastr´ee au point x0 dans la direction t<sub>0</sub> = cos α<sub>0</sub>e<sub>1</sub>+ sin α<sub>0</sub>e<sub>2</sub>, la condition `a la limite s’´ecrit

x(0) = x0, α(0) = α0.

• Quand l’extr´emit´e S = `R est encastr´ee au point x<sub>1</sub> dans la direction t<sub>1</sub> = cos α<sub>1</sub>e<sub>1</sub>+ sin α<sub>1</sub>e<sub>2</sub>, la condition `a la limite s’´ecrit

x(`R) = x<sub>1</sub>, α(`R) = α₁.

Notons que c’est la configuration d’´equilibre qui doit satisfaire la condition d’encastrement, pas la configuration de r´ef´erence. On peut tr`es bien prendre une configuration de r´ef´erence telle que

1. Heuristique veut dire utile `a la recherche. Cette r`egle ne peut pas ˆetre ´erig´ee ici en loi, elle est seulement utile `a

la recherche . . . d’une ´ecriture coh´erente des conditions aux limites. On peut la formaliser et elle prendra tout son sens lorsqu’on donnera une formulation variationnelle de l’´equilibre au chapitre 5.

xR(0)6= x0 et αR(0)6= α0. Dans tous les cas, le vecteur d´eplacement et la rotation devront v´erifier ξ(0) = x₀− xR(0), ω(0) = α₀− αR(0).

Condition de fixation avec rotation libre

D- 4.3 (Conditions `a la limite pour une fixation avec rota-tion libre). Quand l’extr´emit´eS = 0 ou l’extr´emit´e S = `R est fix´ee au point x0 par une articulation parfaite laissant la rotation libre, la condition `a la limite s’´ecrit

x(0 ou `R) = x<sub>0</sub>, M (0 ou `R) = 0.

Condition de contact avec glissement et rotation libres (appui simple)

D- 4.4 (Conditions `a la limite pour un contact avec glisse-ment et rotation libres, dite aussi condition d’appui simple). L’extr´emit´e S = 0 ou l’extr´emit´e S = `R est astreinte `a se trouver sur une courbe s 7→ xc(s) donn´ee du plan (e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>) mais sans que le point de contact soit fix´e a priori. Le milieu continu ´etant libre de glisser sur cette courbe et de tourner, la composante de l’effort int´erieur suivant la tangente `a la courbe de contact est nulle ainsi que le moment fl´echissant. La condition `a la limite s’´ecrit donc

(

∃s0 : x(0 ou `R) = x<sub>c</sub>(s<sub>0</sub>), R(0 ou `R)·x⁰c(s₀) = 0, M (0 ou `R) = 0.

Dans le cas particulier o`u la courbe de contact est une droite de vecteur directeur tc, alors xc(s) = ae3∧tc+ stc o`u a est une constante et la condition devient

t_{c ∧}.x(0 ou `R) = a, R(0 ou `R)·tc= 0, M (0 ou `R) = 0.

Apparaˆıt ici la difficult´e de trouver le point de contact avec la courbe, i.e. s₀. Ce point sera une des inconnues du probl`eme aux limites.

Condition d’extr´emit´e charg´ee et libre de se d´eplacer

D- 4.5 (Conditions `a la limite pour une extr´emit´e charg´ee).

• Quand l’extr´emit´e S = 0 est soumise `a des efforts F0

et M0 donn´es, la condition `a la limite s’´ecrit R(0) =−F0, M (0) =−M0.

• Quand l’extr´emit´e S = `R est soumise `a des efforts F1

et M1 donn´es, la condition `a la limite s’´ecrit R(`R) = F₁, M (`R) =M1.

Dans ce cas, l’extr´emit´e concern´ee est libre de se d´eplacer et de s’orienter, aucune condition ne porte sur la cin´ematique.

Autres conditions aux limites

Les quatre conditions aux limites pr´ec´edentes sont les plus fr´equentes en pratique. On peut toutefois en rencontrer d’autres, la forme que peuvent prendre ces conditions aux limites variant `a l’infini. Contentons-nous d’en citer deux qui illustreront cette vari´et´e.

• Condition d’appui ´elastique. Dans les conditions d’encastrement, de fixation ou d’appui simple pr´ec´edentes, l’objet sur lequel le milieu curviligne ´etait fix´e ou s’appuyait ´etait implicitement suppos´e rigide. Ce n’est ´evidemment qu’une sch´ematisation, qui a le m´erite de simplifier l’´ecriture des conditions aux limites et qui s’av`ere raisonnable dans de nombreuses situations pratiques. On peut toutefois ˆetre amen´e `a lever cette condition de rigidit´e pour mieux rendre compte de l’interaction du milieu continu avec l’objet en contact. Par exemple, on peut remplacer la condition d’encastrement en S = `R par la condition suivante dite d’appui ´elastique :

R(`R) =−k (x(`R)− x1), M (`R) =−c (α(`R)− α1), (condition d’appui ´elastique en S = `R) , o`u k et c sont des constantes de raideur caract´eristiques de l’appui, `a identifier exp´erimentalement. L’appui joue donc le rˆole d’un ressort en exer¸cant une force ou un couple de rappel proportionnel `a l’´ecart de position ou d’orientation par rapport `a la position x1 ou l’orientation α1 de r´ef´erence. On voit que si l’on fait tendre les raideurs k et c vers l’infini, on retombe sur la condition d’encastrement, alors que si l’on fait tendre les raideurs k et c vers 0, on retombe sur les conditions d’extr´emit´e libre (avec efforts ext´erieurs nuls). Ce type de condition `a la limite permet donc de passer “continˆument” d’un encastrement `a une extr´emit´e libre, c’est ce qui fait sa richesse. Ici les ressorts sont suppos´es lin´eaires, mais rien n’interdit d’envisager des relations non lin´eaires.

• Condition de contact unilat´eral. Dans la condition d’appui simple pr´esent´ee pr´ec´edemment, l’extr´emit´e du milieu ´etait astreinte `a se d´eplacer sur la courbe de contact. En pratique, on rencontre tr`es souvent des conditions de contact dites unilat´erales o`u l’on impose seulement `a l’extr´emit´e du milieu d’ˆetre d’un cˆot´e du plan d´elimit´e par la courbe de contact s7→ xc(s). On peut la voir comme une condition de non interp´en´etration entre le milieu curviligne et l’objet (rigide) dont la “surface libre” est repr´esent´ee par la courbe de contact. Formulons ces conditions en nous limitant au cas o`u la courbe de contact est une droite. L’´equation param´etrique de cette droite ´etant xc(s) = anc+ stc, le demi-plan dans lequel doit se trouver l’extr´emit´e S = 0 du milieu est donn´e par

demi-plan admissible : {x ∈ R² : x·nc≥ a},

la normale unitaire sortante ´etant n_c= e_3∧t_c. La condition cin´ematique de non interp´en´etration s’´ecrit condition de non-interp´en´etration de l’extr´emit´e : x(0)·nc≥ a.

Pour ce qui est des efforts de contact, nous devons distinguer les cas o`u l’extr´emit´e du milieu est effectivement en contact de ceux o`u elle n’est pas en contact avec la courbe. Lorsque l’extr´emit´e n’est pas en contact, on ´ecrira qu’elle est libre et non charg´ee, ce qui se traduit par les conditions

en cas de non contact de l’extr´emit´e : x(0)·nc> a, R(0) = 0, M (0) = 0.

Par contre, lorsque l’extr´emit´e est en contact avec l’objet, celui-ci exerce en g´en´eral un effort sur le milieu curviligne. Si l’on suppose que ce contact se fait sans frottement, l’effort tangentiel est nul et il ne peut s’agir que d’un effort normal `a la droite de contact (i.e. F<sub>0</sub> est colin´eaire `a n_c). Mais si l’on admet que l’objet ne peut que repousser le milieu, pas le retenir (hypoth`ese d’absence de forces de coh´esion), alors il faut ´ecrire que l’effort exerc´e par l’objet sur le milieu est suivant la normale ext´erieure `a l’objet, i.e. F₀= λn_cavec λ≥ 0. Les conditions peuvent donc s’´ecrire

en cas de contact de l’extr´emit´e sans frottement et sans coh´esion : x(0)·nc= a, R(0)∧. nc= 0, R(0)·nc≤ 0, M(0) = 0.

On voit que dans tous les cas la force tangentielle et le moment exerc´es sont nuls. Les autres conditions peuvent se regrouper en

x(0)·nc≥ a, R(0)·nc≤ 0, x(0)·nc− a
R(0)·nc= 0

puisque il faut toujours v´erifier les conditions de non-interp´en´etration et de non coh´esion et que dans tous les cas au moins une de ces deux conditions est v´erifi´ee comme une ´egalit´e2. En r´esum´e, on a obtenu

D-4.6 (Conditions `a la limite pour un contact unilat´eral avec glissement et rotation libres). L’extr´emit´e S = 0 est astreinte `a se trouver dans le demi-plan x· nc ≥ a. L’extr´emit´e du milieu continu ´etant libre de tourner et le contact se faisant sans frottement et sans coh´esion, les conditions `a la limite s’´ecrivent

               rotation libre : M (0) = 0 non frottement : R(0)∧.n_c= 0

non interp´en´etration : x(0)·nc≥ a

non coh´esion : R(0)·nc≤ 0

soit contact, soit non contact libre : x(0)·nc− a
R(0)·nc= 0

On pourrait ˆetre plus exigeant et demander que tout le milieu continu curviligne se trouve dans le demi-plan x· nc ≥ a. Cela conduit `a des conditions globales o`u tout le milieu est concern´e et pas seulement les extr´emit´es. Nous ne l’envisagerons que dans des probl`emes particuliers.

4.1.2 Les efforts ext´erieurs

Dans le chapitre 2 nous avons introduit les efforts ext´erieurs en distinguant les efforts r´epartis des efforts ponctuels. Parmi les premiers nous avions ´egalement distingu´e les efforts `a distance des efforts de contact. Nous balayons `a nouveau ces diff´erents types d’efforts ext´erieurs en analysant leur d´ependance `a la configuration d’´equilibre.

Conservation de la masse

Commen¸cons par rappeler la loi de conservation de la masse, car nous serons amen´es `a l’utiliser r´eguli`erement.

P-4.1 (Conservation de la masse). SoitS7→ %R(S) la masse lin´eique du milieu continu dans sa confi-guration de r´ef´erence et soit S 7→ %(S) sa masse lin´eique dans la configuration d´eform´ee (param´etr´ee par l’abscisse curviligne S de la configuration de r´ef´erence). En vertu de la loi de conservation de la masse, ces deux masses lin´eiques sont reli´ees par

(1 + ε(S))%(S) = %_R(S), ∀S , (4.1)

o`uε est la d´eformation d’extension entre les deux configurations, i.e. ε = s⁰− 1.

Il ne faut pas confondre le fait de param´etrer les champs par l’abscisse curviligne de r´ef´erence et le fait de consid´erer des densit´es lin´eiques par unit´e de longueur de r´ef´erence. Ainsi, on aura toujours %ds = %_RdS quelle que soit la param´etrisation choisie pour le champ %.

Il faut noter que la masse lin´eique de r´ef´erence %_R peut d´ependre de S si le milieu curviligne est h´et´erog`ene.

Forces massiques et forces lin´eiques associ´ees

La grande majorit´e des efforts `a distance que nous rencontrerons sont des forces massiques, i.e. des forces qui agissent sur les masses et dont l’unit´e est le N/kg. Pour obtenir les forces lin´eiques f (unit´e=N/m) qui apparaissent dans les ´equations d’´equilibre il faut multiplier ces forces massiques par la masse lin´eique. Si l’on raisonne, comme nous l’avons fait dans le chapitre 2, par unit´e de longueur ds de la configuration d’´equilibre, c’est la masse lin´eique % qui intervient. Si l’on travaille, comme nous allons le faire dans ce chapitre, par unit´e de longueur dS de la configuration de r´ef´erence, il faut multiplier la masse lin´eique % par la variation relative de longueur s<sup>0</sup> = 1 + ε. Mais, en vertu de la conservation de la masse (4.1), cela revient `a remplacer % par la masse lin´eique de r´ef´erence %_R. En reprenant les exemples du chapitre 2, on obtient ainsi

densit´e lin´eique de force de pesanteur par unit´e de longueur de r´ef´erence : f_R(S) = %_R(S)g densit´e lin´eique de force centrifuge par unit´e de longueur de r´ef´erence : f_R(S) = %_R(S)Ω²x₁(S)e₁ On notera que la densit´e de force centrifuge d´epend toujours de la configuration d’´equilibre.

Forces r´eparties de contact

Reprenons les deux exemples du chapitre 2, `a savoir l’enroulement d’un cˆable autour d’une poulie et la pression exerc´ee par un fluide sur une membrane, et discutons des forces de contact.

Cas du cˆable enroul´e. Si le cˆable est inextensible et si l’on se donne la zone de contact du cˆable avec la poulie (par exemple, la demi-circonf´erence sup´erieure), alors il n’y a qu’une configuration possible et il s’agit de v´erifier que les conditions d’´equilibre sont effectivement satisfaites. Pour cela, il faut pr´eciser la loi de contact entre le cˆable et la poulie. Si l’on opte pour une loi de frottement de type Coulomb, alors on a une in´egalit´e entre la composante tangentielle f_t et la composante normale f_n de la densit´e lin´eique de force de contact :|ft(S)| ≤ k fn(S), k ´etant le coefficient de frottement.

Cas de la pression d’un fluide.La force lin´eique exerc´ee par le fluide sur la membrane est une pression normale. La densit´e lin´eique par unit´e de longueur de la configuration d’´equilibre s’´ecrivant f = −pn, la densit´e lin´eique par unit´e de longueur de r´ef´erence s’´ecrit

f_R(S) =−(1 + ε(S))p n(S),

o`u n(S) est la normale unitaire `a la configuration d’´equilibre et qui est donc entrante dans le domaine fluide si la membrane est d´ecrite dans le sens trigonom´etrique. La pression p peut ˆetre une donn´ee constante ou bien une fonction de l’aire du domaine occup´ee par le fluide (et donc de la configuration d’´equilibre) si le fluide est compressible et la membrane est extensible.

4.1.3 Formulation g´en´erale d’un probl`eme de statique

Les inconnues S 7→ x(S), S 7→ (R(S), M(S))

Les ´equations

(le prime indique la d´eriv´ee par rapport `a S)

Les relations g´eom´etriques

                         t(S) = ^x0(S)

kx0(S)k ^{= cos α(S)e1+ sin α(S)e2} n(S) = e_3∧t(S) =− sin α(S)e1+ cos α(S)e₂ ε(S) =kx0(S)k − 1 κ(S) = ^{x0(S)∧. x00(S)} kx0(S)k^{2 − CR(S) = α} 0(S)− α0 R(S) La d´ecomposition

des efforts int´erieurs ^{R(S) = N (S)t(S) + T (S)n(S)}

Les ´equations d’´equilibre (les densit´es lin´eiques f_R et m_R

sont par unit´e de longueur de la configuration de r´ef´erence)                  R⁰(S) + f_R(S) = 0 ∀S ∈ CR\ PR M⁰(S) +kx⁰(S)k T (S) + mR(S) = 0 ∀S ∈ CR\ PR [[R]](S_i) + F_Si = 0 ∀Si∈ PR [[M ]](Si) +MSi = 0 ∀Si∈ PR

Les conditions aux limites (`a n’´ecrire que quand le milieu a des extr´emit´es)

 R M  ←→  x α  en S = 0 et S = `R

Les relations constitutives

 N (S) M (S)  ←→  ε(S) κ(S)  ∀S ∈ CR

Table 4.1 – Formulation g´en´erale d’un probl`eme aux limites o`u tous les champs sont param´etr´es par l’abscisse curviligne de r´ef´erence S. Il reste `a particulariser au cas par cas les efforts ext´erieurs, les conditions aux limites et les relations constitutives.