Les comportements in´ elastiques

a une temp´erature T₀ avec tous les mat´eriaux constitutifs dans un ´etat naturel, un changement de temp´erature induit des contraintes internes dues `a la diff´erence des coefficients de dilatation d’un mat´eriau `a l’autre et `a la n´ecessit´e d’une continuit´e de la d´eformation. Nous ne d´etaillerons pas ici la construction du potentiel dans ce cas. Toutefois une mod´elisation voisine est faite au chapitre 4 pour des poutres en b´eton pr´econtraint.

3.4 Les comportements in´elastiques

3.4.1 Les mod`eles rh´eologiques

Les ´el´ements de base

Toutes les lois de comportement usuelles des mat´eriaux peuvent ˆetre sch´ematis´ees `a l’aide de mod`eles rh´eologiques correspondant `a des assemblages en s´erie ou en parall`ele de ressorts, de patins, d’amortisseurs et de masses¹⁴. Examinons un par un chacun de ces ´el´ements. Tous les objets ´etant astreints `a se d´eplacer sur un axe pr´ed´efini, leur position est caract´eris´ee par un scalaire et les forces qu’ils subissent sont implicitement orient´ees suivant cet axe et donc caract´eris´ees ´egalement par un scalaire.

1. La masse. Si on exerce une force σ sur une masse (ponctuelle) m, l’´evolution de sa position ε au cours du temps est r´egie par le principe fondamental de la dynamique qui s’´ecrit ici

m¨ε = σ, ¨

ε repr´esentant l’acc´el´eration de la masse.

2. Le ressort. Une extr´emit´e du ressort est fix´ee, l’autre extr´emit´e est susceptible de se d´eplacer et on rep`ere sa position courante par rapport `a sa position lorsque le ressort est dans son ´etat naturel, libre de force. On note ε l’allongement du ressort, i.e. la diff´erence entre la position actuelle et la position naturelle de l’extr´emit´e charg´ee. En supposant que le ressort a un comportement ´elastique lin´eaire et en notant E sa raideur, la tension σ du ressort est reli´ee `a ε par

σ = Eε.

On peut ´evidemment envisager des relations tension-allongement non lin´eaires σ = ϕ(ε). On peut

14. Les masses servent `a rendre compte des effets d’inertie. Ne pas en mettre revient `a n´egliger les effets d’inertie

et donc `a se placer dans un cadre quasi-statique . Cette hypoth`ese simplificatrice a des cons´equences importantes d’un

Figure 3.16 – Le mod`ele rh´eologique de ressort

mˆeme rendre compte des concepts de rupture en introduisant un crit`ere de rupture du ressort, par exemple en imposant que le ressort casse lorsque sa tension atteint une valeur critique σc ou de fa¸con ´equivalente lorsque son allongement atteint une valeur critique ε_c.

3. Le patin frottant. Du fait du frottement avec son support, le patin ne se d´eplace que si la force que l’on exerce sur lui est suffisante pour vaincre la force de frottement−σ engendr´ee par le contact du patin avec son support (le signe− est introduit de fa¸con `a ce que σ repr´esente la force qu’exerce le patin sur son support). Lorsqu’il se d´eplace la force de frottement σ est ´egale `a±σc, le signe d´ependant du sens de glissement. De fa¸con pr´ecise, si on note ε le d´eplacement du patin depuis une position de r´ef´erence, la loi de frottement s’´ecrit

|σ| ≤ σc, σ = (

+σ_c si ˙ε > 0 −σc si ˙ε < 0^, ce qui peut aussi se condenser en

|σ| ≤ σc, σ ˙ε = σ_c| ˙ε| ,

˙ε repr´esentant la vitesse de d´eplacement du patin. La force critique σ_c doit ˆetre consid´er´ee comme

Figure 3.17 – Le mod`ele rh´eologique de patin frottant

une caract´eristique du contact frottant entre le patin et son support, `a identifier exp´erimentalement. Comme dans le cas du ressort, on a fait ici le choix le plus simple en supposant que les deux sens de glissement sont sym´etriques et que σc est une constante. Rien n’interdit d’envisager des seuils de glissement diff´erents selon que le patin glisse vers la droite ou vers la gauche ou mˆeme d’envisager des seuils qui ´evoluent avec le temps. C’est mˆeme n´ecessaire si l’on veut mod´eliser des ph´enom`enes d’usure.

4. L’amortisseur. L’action d’une force σ sur un amortisseur ne modifie pas instantan´ement la position de ce dernier, mais uniquement sa vitesse. De fa¸con pr´ecise, si on note ε la variation de position d’un amortisseur par rapport `a une position de r´ef´erence et ˙ε sa vitesse de d´eplacement, la relation force exerc´ee–vitesse de d´eplacement s’´ecrit

σ = µ ˙ε

o`u le coefficient de viscosit´e µ est caract´eristique de l’amortisseur et d´etermin´e exp´erimentalement. On peut ici encore envisager des lois plus sophistiqu´ees (non lin´eaires, `a viscosit´e variable, . . . ).

0 ε

σ

Figure 3.18 – Le mod`ele rh´eologique d’amortisseur

A partir de ces “briques” ´el´ementaires, on peut en les assemblant construire des mod`eles capables de rendre compte, au moins qualitativement, du comportement observ´e des mat´eriaux. Nous allons, `a titre d’illustration, ´etudier quelques assemblages simples et le lecteur est invit´e `a en envisager des plus complexes, certains ´etant sugg´er´es `a titre d’exercices. Les r`egles d’assemblage sont les suivantes :

• En s´erie, les d´eplacements relatifs entre ´el´ements de la s´erie s’additionnent alors que les forces se transmettent d’un ´el´ement `a l’autre ;

• En parall`ele, les d´eplacements de chaque ´el´ement sont ´egaux alors que les forces de chaque ´el´ement s’additionnent.

Quelques assemblages simples avec masses

1. ressort–masse. Si l’on met en s´erie un ressort et une masse en fixant l’extr´emit´e libre du ressort et en exer¸cant une force d´ependant du temps σ(t) sur la masse, l’´equation du mouvement de la masse s’´ecrit

m¨ε + Eε = σ,

la masse ´etant soumise `a la force exerc´ee σ et `a la force de rappel du ressort −Eε. Quand la force exerc´ee σ est constante, la masse oscille autour de sa position d’´equilibre ε_eq= σ/E avec une pulsation

ω =pE/m.

2. amortisseur–masse. Mettons une masse `a l’extr´emit´e mobile d’un amortisseur et exer¸cons une force σ(t) sur la masse. L’amortisseur exerce sur la masse une force ´egale `a −µ ˙ε et l’´equation du mouvement de la masse est donc

m¨ε + µ ˙ε = σ.

Exercice 3.2. Donner la r´eponse d’un assemblage amortisseur–masse lorsqu’on impose brusquement une forceσ₀`a l’instant 0, alors que l’assemblage est au repos, puis que l’on maintient la force constante. 3. patin–masse. Associons une masse et un patin, tous deux initialement au repos dans une posi-tion prise pour r´ef´erence. Si nous exer¸cons sur l’assemblage, `a partir de l’instant initial, une force σ d´ependant du temps, le mouvement est r´egi par le syst`eme suivant

m¨ε = σ− σ, |σ| ≤ σc, σ ˙ε = σ_c| ˙ε| compl´et´e par les donn´ees initiales ε(0) = 0, ˙ε(0) = 0.

Exercice 3.3. Donner la r´eponse d’un assemblage patin–masse lorsqu’on impose brusquement une forceσ₀ > 0 `a l’instant 0, alors que l’assemblage est au repos, puis que l’on maintient la force constante. On distinguera les cas σ₀< σ_c, σ₀ = σ_c etσ₀> σ_c.

Quelques assemblages simples sans masse

1. ressort–amortisseur en s´erie. On fixe l’extr´emit´e d’un ressort, on met en s´erie un amortisseur `a l’autre extr´emit´e et on impose une force σ sur l’amortisseur. Si l’on note ε^e l’allongement du ressort et εv le d´eplacement relatif de l’amortisseur, le d´eplacement du point d’application de la force ε est donn´e par ε = εe+ εv. En ´ecrivant les lois de comportement du ressort et de l’amortisseur, on obtient

σ = Eε^e, ˙ε^v = σ/µ.

En d´erivant la premi`ere relation et en ´eliminant ˙ε<sup>v</sup>grˆace `a la deuxi`eme, on obtient finalement l’´equation diff´erentielle suivante r´egissant les ´evolutions de l’assemblage ˙σ + Eσ/µ = E ˙ε. On peut aussi l’´ecrire

˙σ +^σ

τ ^{= E ˙ε (mod`ele de Maxwell) ,}

o`u τ > 0 est la constante de temps et E > 0 la raideur. Ce mod`ele `a deux param`etres est appel´e mod`ele visco´elastique de Maxwell.

2. ressort–amortisseur en parall`ele. On note σ la force exerc´ee sur l’ensemble et ε l’allongement du ressort et le d´eplacement de l’amortisseur. La tension dans le ressort ´etant σ1 et la force qui s’exerce sur l’amortisseur ´etant σ₂, on a σ = σ₁+ σ₂. En ´ecrivant les lois de comportement du ressort et de l’amortisseur, on obtient σ₁ = Eε et σ₂ = µ ˙ε. En reportant dans la relation pr´ec´edente, on obtient finalement l’´equation r´egissant les ´evolutions de l’assemblage σ = Eε + µ ˙ε. On peut aussi l’´ecrire

σ = E(ε + τ ˙ε) (mod`ele de Kelvin-Voigt) ,

o`u τ > 0 est encore la constante de temps et E > 0 la raideur. Ce mod`ele, qui comme le pr´ec´edent est `

a deux param`etres, est appel´e mod`ele visco´elastique de Kelvin-Voigt.

3. ressort–amortisseur en parall`ele assembl´e avec un ressort en s´erie. Si l’indice 1 fait r´ef´erence au ressort seul et l’indice 2 `a l’assemblage ressort-amortisseur, alors on a

ε = ε₁+ ε₂, σ = E₁ε₁, σ = E₂ε₂+ µ ˙ε₂.

En ´eliminant ε2, on obtient σ = E2(ε− ε1) + µ( ˙ε− ˙ε1). Puis en ´eliminant ε1, il vient σ = E₂ε− ^E2

E1

σ + µ ˙ε− ^µ E1

˙σ. Cette relation peut finalement s’´ecrire

o`u apparaissent trois param`etres : la raideur instantan´ee E⁰, la raideur diff´er´ee E^∞et la constante de temps τ . Ces constantes sont reli´ees aux raideurs E₁ et E₂ des deux ressorts et au module de viscosit´e µ par

E⁰= E₁, E^∞= ^E1E2

E₁+ E₂^{, τ =} µ E₁+ E₂^.

Comme les raideurs des ressorts et le module de viscosit´e sont positifs, la constante de temps est positive et la raideur diff´er´ee est plus faible que la raideur instantan´ee :

E⁰ > E^∞> 0, τ > 0.

Ce mod`ele `a trois param`etres est appel´e mod`ele visco´elastique de Zener .

(1) Mod`ele de Maxwell (2) Mod`ele de Kelvin (3) Mod`ele de Zener

Figure 3.19 – Les trois mod`eles rh´eologiques de visco´elasticit´e

4. assemblages `a bases de ressorts et de patins. Ces assemblages avec des patins et des ressorts en s´erie ou en parall`ele permettent de simuler des comportements ´elasto-plastiques ou de fa¸con plus g´en´erale des comportements hyst´er´etiques ind´ependants des vitesses.

Exercice 3.4. Comparer les r´eponses pr´evues par les mod`eles visco´elastiques de Maxwell, de Kelvin-Voigt et de Zener dans les conditions suivantes :

1. Essai `a vitesse de d´eformation ˙ε impos´ee constante ;

2. Essai de relaxation o`u la d´eformation ε est maintenue constante ; 3. Essai de fluage o`u la contrainte σ est maintenue constante.

3.4.2 Visco´elasticit´e

Pour mod´eliser le comportement visco´elastique de milieux curvilignes, on peut se baser sur le mod`ele rh´eologique de Zener qui pr´esente l’avantage de rendre compte d’un comportement ´elastique instantan´e et diff´er´e. Pour ´ecrire les relations constitutives il est commode d’introduire la notion de variables d’´etat internes. En effet, si on note ε<sup>v</sup>l’allongement du ressort en parall`ele avec l’amortisseur et ε^e l’allongement du ressort seul, la loi de Zener peut s’´ecrire

σ = E⁰ε^e, ε = ε^e+ ε^v, τ ˙ε^v =  1−^E∞ E0  ε− ε^v.

On peut prendre pour variables d’´etat du syst`eme la d´eformation totale ε et la d´eformation visqueuse ε<sup>v</sup>, la d´eformation ´elastique ε<sup>e</sup> et la contrainte σ s’en d´eduisant<sup>15</sup>. De mˆeme la loi d’´evolution de ε<sup>v</sup> donne ˙εv en fonction de l’´etat du syst`eme. On voit donc que εv(t) (ou de fa¸con ´equivalente εe(t)) d´epend en fait de l’histoire de la d´eformation totale jusqu’`a l’instant t. Elle sert en quelque sorte de variable m´emorisant l’histoire subie par le mat´eriau jusqu’`a l’instant t. Ce qui est int´eressant et remarquable est que toute l’histoire `a retenir se condense en une seule variable. En d´efinissant le potentiel ´elastique comme l’´energie ´elastique des deux ressorts, ce potentiel est aussi une fonction des variables d’´etat :

w_ex(ε, ε^v) = ¹₂E⁰(ε− ε^v)²+¹₂ E⁰E^∞ E0− E∞ε^v2.

Il sert de potentiel pour la contrainte σ qui s’en d´eduit par d´erivation par rapport `a ε : σ = ^∂wex

∂ε ^{(ε, ε}

v).

La variable “duale” de la d´eformation visqueuse σv est d´efinie de mˆeme par d´erivation : σ^v :=−^∂w_∂ε^ex_v (ε^e, ε^v) = E⁰  ε− ^E 0 E0− E∞ε^v 

et ce n’est rien d’autre que la contrainte dans l’amortisseur. Elle intervient dans l’expression de la puissance dissip´eeD(t) par l’amortisseur qui est par d´efinition D(t) = σv(t) ˙εv(t). On en d´eduit que la puissance de d´eformation ˙W (t) peut s’´ecrire comme la somme de la variation de l’´energie ´elastique et de la puissance dissip´ee :

˙

W (t) := σ(t) ˙ε(t) = ^d

dt^{(wex(ε(t), ε}

v(t)) +D(t).

On peut se servir de ce formalisme pour ´ecrire la loi visco´elastique du milieu curviligne. En supposant la section homog`ene, on introduit le potentiel ´elastique

W_e(ε, ε^v, κ) = ¹₂E⁰A(ε− ε^v)²+¹₂ E0E^∞

E0− E∞Aε^v2+¹₂E⁰Iκ² dont on d´eduit les relations constitutives

N = E⁰A(ε− ε^v), M = E⁰Iκ. La loi d’´evolution de la d´eformation visqueuse peut toujours s’´ecrire

τ ˙ε^v =  1− ^E∞ E0  ε− ε^v.

On voit qu’avec ce mod`ele simple la relation moment-d´eformation de flexion reste purement ´elastique, mais on pourrait ´evidemment le complexifier pour y faire intervenir la viscosit´e.

Chapitre 4