Statique des milieux rigides - Statique des milieux curvilignes

Statique des milieux curvilignes

4.2 Statique des milieux rigides

On s’intéresse dans cette section à la statique des milieux curvilignes rigides. Les déformations d’extension et de flexion sont donc identiquement nulles :

ε(S) = 0, κ(S) = 0 ∀S ∈ CR,

l’abscisse curviligne et la courbure de référence sont invariables, s(S) = S et C(S) = CR(S). Les densités linéiques f_R et f sont égales, ainsi que m_R et m. La configuration d’équilibre ne peut différer de la configuration de référence que par un déplacement rigide, i.e. un vecteur translation et une rotation d’ensemble. Il s’agit donc dans un premier temps de déterminer ces trois constantes (deux pour la translation, une pour la rotation). Puis, une fois la (ou les) configurations d’équilibre trouvées, il s’agit de calculer la répartition des efforts intérieurs. Nous allons illustrer ces différentes étapes dans différents problèmes de statique en jouant en particulier sur les conditions aux limites. On mettra en évidence à cette occasion quelques propriétés génériques.

4.2.1 Tige sous pesanteur et force centrifuge

Le milieu rigide est une tige droite homogène de longueur `Ret de masse linéique %_R. Dans tous les cas, elle est fixée au point O, le plan (O, e1, e2) tournant avec une vitesse angulaire Ω autour de l’axe Oe₂. Elle est de plus placée dans le champ de pesanteur uniforme−ge2. On s’intéresse à l’équilibre de cette tige dans le référentiel tournant où elle sera soumise à la force centrifuge massique Ω2x₁(S)e₁. La force linéique totale est donc

f_R(S) = f (S) = %_RΩ²x₁(S)e₁− %Rge₂

et il n’y a pas de densité linéique de couples, m_R(S) = m(S) = 0, ni d’efforts extérieurs ponctuels. Les différents problèmes se distinguent par leurs conditions aux limites :

1. Cas encastré-appui simple. L’extrémité S = 0 est en-castrée au point O dans la direction e₁, alors que l’extrémité S = `R est sur un appui simple sur l’axe x₂ = 0 ;

2. Cas encastré-libre. On conserve l’encastrement de l’extrémité S = 0, mais on enlève l’appui simple en S = `R, cette extrémité devenant libre ;

3. Cas fixé-libre. La rotation est libre en S = 0 mais l’extrémité reste fixée à O, alors que l’extrémité S = `R reste libre.

On enlève donc une condition cinématique à chaque fois pour passer de quatre conditions cinéma-tiques à deux. Dans le premier cas, il y a une condition superflue pour fixer la position du solide rigide, le système est dit une fois hyperstatique. Dans le deuxième cas, il y a juste les conditions qu’il faut pour fixer la position, le système est dit isostatique. Dans le troisième cas, il manque une condition pour fixer la position, le système a un degré de liberté, il est dit une fois hypostatique.

Cas hyperstatique : encastr´e-appui simple.

La configuration d’´equilibre est fix´ee par la condition d’encastrement, x(S) = Se₁, S ∈ (0, `R),

et la condition d’appui simple est automatiquement vérifiée, x₂(`R) = 0. Le vecteur tangent étant e₁ et le vecteur normal étant e₂, les équations d’équilibre s’écrivent

N⁰(S) + %_RΩ²S = 0, T⁰(S)− %Rg = 0, M⁰(S) + T (S) = 0, ∀S ∈ (0, `R).

L’encastrement en S = 0 ne fournit aucune information sur les efforts int´erieurs, alors que la condition d’appui simple en S = `R donne

N (`R) = 0, M (`R) = 0.

A partir de l’équation d’équilibre horizontale et de la condition d’appui simple, on détermine exacte-ment la répartition d’effort normal :

N (S) = ¹₂%_RΩ²(`²_R− S²).

Par contre l’absence de condition à la limite ne permet de déterminer la répartition d’effort tranchant qu’à une constante près à l’aide de l’équation d’équilibre vertical :

T (S) = T₀+ %_RgS,

la constante T₀ représentant l’effort tranchant en S = 0 étant arbitraire. En reportant dans l’équation d’équilibre des moments et en utilisant la condition en S = `R, on obtient

M (S) = T₀(`R− S) + 1

2%_Rg(`²_R− S²)

et la répartition des moments fléchissants n’est pas non plus parfaitement déterminée puisqu’elle dépend de la constante arbitraire T₀. On peut résumer ce cas par :

Dans le cas hyperstatique encastré-appui simple, la configuration d’équilibre est parfaitement déterminée mais la répartition des efforts intérieurs n’est connue qu’à une constante arbitraire près.

Cas isostatique : encastr´e-libre.

La configuration d’équilibre est encore fixée par la condition d’encastrement : x(S) = Se₁. Les équations d’équilibre sont inchangées, mais vient s’ajouter la condition à la limite T (`R) = 0 due à la suppression de l’appui simple. Ceci permet de fixer la constante T₀,

T₀=−%Rg`R.

La répartition des efforts intérieurs est donc parfaitement déterminée :

N (S) = ¹₂%_RΩ²(`²_R− S²), T (S) =−%Rg(`R− S), M (S) =−¹₂%_Rg(`R− S)².

Dans le cas isostatique encastré-libre, la configuration d’équilibre et la répartition des efforts intérieurs sont parfaitement déterminées.

Cas hypostatique : fix´e-libre

La fixation en S = 0 laisse la rotation libre et l’angle tangent α (qui est le même en tout point de la tige) est à déterminer. Les configurations d’équilibre sont donc à chercher parmi la famille de segments de droite paramétrée par α :

x(S) = S(cos αe₁+ sin αe₂), ∀S ∈ (0, `R), α∈ [−π, π). En contrepartie, les conditions aux limites s’´ecrivent maintenant

M (0) = 0 , R(`R) = 0, M (`R) = 0,

où est apparue la condition de rotation libre en S = 0. Utilisons la forme vectorielle des équations d’équilibre :

R⁰(S) + %_RΩ²S cos αe1− %Rge2 = 0, M⁰(S) + T (S) = 0, T (S) = R(S)·(− sin αe1+ cos αe2). En intégrant l’équation d’équilibre des forces et grâce à la condition à la limite R(`R) = 0, on obtient la répartition des efforts intérieurs en fonction de l’orientation α :

R(S) = ¹₂%_RΩ²cos α(`²_R− S²)e₁− %Rg(`R− S)e2. L’effort tranchant s’´ecrit donc

T (S) =−1

2%_RΩ²sin α cos α(`²_R− S²)− %Rg cos α(`R− S).

On reporte dans l’équation d’équilibre des moments que l’on intègre en tenant compte de la condition `

a la limite M (`R) = 0 pour obtenir la r´epartition des moments fl´echissants en fonction de l’orientation α :

M (S) =−1

6%_RΩ²sin α cos α(`R− S)²(2`R+ S)−1

2%_Rg cos α(`R− S)². (4.2) Il ne reste plus qu’à écrire la condition à la limite M (0) = 0 qui fournit l’équation en α :³

2Ω²`Rsin α + 3g cos α = 0 (équation d’équilibre global des moments) . (4.3) Il s’agit de déterminer les solutions de cette équation en α qui fourniront les configurations d’équilibre de la tige. Etudions cette équation en prenant pour paramètre caractérisant le chargement le rapport adimensionnel λ,

λ = ^2Ω

2`R

3g ^{(param`etre adimensionnel de chargement) ,}

rapport qui permet de comparer l’accélération centrifuge à la pesanteur. Ce paramètre peut être considéré comme non négatif dans la mesure où e₂ est choisie comme la direction verticale ascendante (et donc g > 0).

3. Cette équation est en fait l’équation d’équilibre global des moments. On aurait pu l’écrire directement sans passer par l’intégration des équations d’équilibre locales, cf. chapitre 2 et (2.3). C’est ce que nous ferons dans les paragraphes

Positions d’´equilibre.

• α = ±π/2 sont solutions, quel que soit λ ≥ 0. L’une α =−π/2 correspond `a la position verticale descendante, l’autre α = +π/2 `a la position verti-cale ascendante ;

• Quand 0 ≤ λ ≤ 1, ce sont les deux seules solutions possibles ;

• Quand λ > 1, il existe deux autres solutions possibles, α =−^π 2 ± arccos¹ λ ,

sym´etriques par rapport `a la verticale et tendant vers la position horizontale quand λ→ ∞.

↵

⇡

0

instable instable stable stable stable ⇡/2 ⇡/2 1

Angles d’´equilibre en fonction du param`etre λ

On voit apparaˆıtre ici un problème nouveau qui est celui de la multiplicité des positions d’équilibre pour des conditions de chargement données. Se pose naturellement la question de savoir si toutes ces positions d’équilibre sont “équivalentes” et comment le système fait pour choisir “la bonne”. Il nous faut rajouter dans la formulation un critère de sélection des solutions. Le critère naturel est celui de stabilité, notion d’origine dynamique que l’on peut traduire sous certaines conditions en termes statiques. Ce concept de stabilité sera introduit au chapitre 5 dans le cadre statique pour des systèmes conservatifs.

Stabilité des positions d’équilibre.On peut sur cet exemple simple raisonner de fa¸con empirique et introduire cette notion de stabilité par un raisonnement sur les moments. Considérons une configura-tion de la tige caractérisée par son angle α, sans que ce soit forcément une configuraconfigura-tion d’équilibre, et calculons le moment M(α) en O de la force centrifuge et de la pesanteur (il correspond à M(0) dans (4.2)) :

M(α) := Z `R

x(S)∧. f (S)dS =−¹₂%_Rg`²_Rcos α−¹₃%_RΩ²`³_Rsin α cos α.

Les configurations d’équilibre sont celles pour lesquelles M(α) = 0. Considérons maintenant une configuration d’équilibre et écartons la tige de cette configuration en la faisant tourner d’un petit angle δα. Le moment en O des efforts extérieurs passe donc de 0 à δM ≈ M⁰(α)δα. La condition de stabilité consiste à dire que la configuration d’équilibre est stable si le système a tendance à revenir vers sa position d’équilibre lorsqu’on l’en écarte un peu. Traduit ici en terme de moment des efforts extérieurs, on demande donc que δM soit de signe opposé à δα. Cela exige que M⁰(α)≤ 04. Comme

M⁰(α) = ¹₂%_Rg`²_R sin α− λ cos 2α,

4. L’inégalité M⁰(α) ≤ 0 est une condition nécessaire mais pas forcément suffisante. Par contre M⁰(α) < 0 est une

on obtient                    M⁰(π/2) = ¹₂%_Rg`2 R(λ + 1) > 0, α = π/2 est instable M⁰(−π/2) = ¹₂%_Rg`2 R(λ− 1), α =−π/2 est ( stable si λ < 1 instable si λ > 1 M⁰ −^π₂ ± arccos ¹_λ = 1 2%_Rg`²_R _λ¹ − 1 2

λ + 1) < 0, α =−^π₂ ± arccos _λ¹ sont stables La position d’équilibre verticale ascendante est donc toujours instable, quel que soit le chargement alors que la position d’équilibre verticale descendante est stable tant que la vitesse de rotation est suffisamment faible, mais cesse de l’être lorsque la vitesse de rotation dépasse la valeur critique

Ωc=r 3g 2`R .

La preuve ou non de la stabilité de α = −π/2 quand λ = 1 nécessite une étude complémentaire que nous ne ferons pas. En contrepartie, dès que Ω > Ω_c, les deux autres configurations d’équilibre existantes sont stables.

Branches d’équilibre, bifurcation, échange de stabilité.Raisonnons en terme de branches d’équilibre en faisant varier le paramètre λ ou de fa¸con équivalente la vitesse de rotation Ω (le sens de rotation n’a pas d’importance, on peut supposer Ω≥ 0). Partons de λ = 0, i.e. Ω = 0. La tige est soumise à la pesanteur seule et va donc prendre la position d’équilibre verticale descendante qui est la seule stable. Si l’on fait croˆıtre lentement la vitesse de rotation de fa¸con à ce que la tige puisse être considérée en équilibre à chaque instant, alors la tige va rester dans la position d’équilibre verticale descendante tant que λ≤ 1, i.e. tant que Ω ≤ Ωc. Mais, dès que λ > 1, la position verticale descendante n’étant plus stable, la tige va prendre une des deux positions d’équilibre stables α = −π/2 ± arccos(1/λ). Les deux sont équivalentes et il n’y a pas moyen de savoir par un raisonnement statique laquelle des deux positions la tige prendra. C’est la dynamique ou, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, la présence inévitable d’imperfections qui permettront de choisir. Toujours est-il que la tige doit quitter cette branche fondamentale que constitue la position verticale descendante pour passer sur la branche bifurquée. Le point (λ = 1, α =−π/2) dans le diagramme d’équilibre est appelé point de bifurcation. On voit que cette bifurcation d’équilibre s’accompagne d’une perte de stabilité de la branche fondamentale. Ce type de diagramme d’équilibre avec bifurcation et échange de stabilité est appelé bifurcation supercritique. Nous serons amenés à en voir d’autres du même type sur des exemples différents comme le flambement d’une poutre, mais aussi d’autres de types différents.

Sensibilité aux imperfections.Le système que nous venons d’étudier était “parfait” au sens où la tige était parfaitement droite et l’axe de rotation parfaitement vertical. La conséquence est que le problème présentait une symétrie par rapport à l’axe de rotation x₁ = 0. Du fait de cette symétrie, α = ±π/2 étaient toujours positions d’équilibre. On peut se demander ce que deviennent les résultats précédents et en particulier les diagrammes d’équilibre si l’on introduit des imperfections, en considérant par exemple une tige non droite ou un axe de rotation non vertical. Pour alléger au maximum les calculs, nous nous limiterons au cas où l’axe de rotation n’est pas parfaitement vertical. En prenant toujours Oe₂ comme axe de rotation, cela revient à supposer que le vecteur pesanteur g s’écrit

où α0 est un angle donné dans l’intervalle [−π, π). Le cas α0 = 0 correspondant à la situation étudiée précédemment (dite sans imperfection), nous nous intéresserons surtout aux valeurs de α₀ proches de 0, même si l’analyse peut être faite pour toutes les valeurs. Le moment en O de la force centrifuge et de la pesanteur devient maintenant

M(α) = Z `_R

S(cos αe1+ sin αe2)∧. %_R(g sin α0+ Ω²S cos α)e1− %Rg cos α0e2)dS = −¹₂%_Rg`²_R cos(α− α0) + λ sin α cos α,

la d´efinition de λ demeurant inchang´ee.

Positions d’équilibre et leur stabilité en présence d’imperfec-tion.Les positions d’équilibre sont les α qui vérifient

cos(α− α0) + λ sin α cos α = 0,

et, parmi elles, celles qui sont stables sont celles qui v´erifient sin(α− α0) < λ cos 2α.

Considérons une valeur de α₀ ∈ (0, π/2), les autres cas étant laissés à titre d’exercice. On raisonne graphiquement en s’ap-puyant sur le graphe ci-contre donnant λ en fonction de α. Pour λ assez faible, il existe deux solutions, une instable, l’autre stable. A partir d’une valeur critique λ_l, plus grande que 1 et qui dépend de l’imperfection α0, deux nouvelles solutions ap-paraissent, l’une stable, l’autre instable. En terme de branches d’équilibre, le principal changement est qu’il n’y a plus de point de bifurcation. Les deux branches stables ne sont plus connectées. Tout se passe comme si l’on regroupait la partie stable de la branche fondamentale du système parfait avec sa branche bifurquée (stable) se trouvant du côté de l’imperfection (partie supérieure à−π/2 puisque α0 > 0). Du fait de l’imper-fection, i.e. de l’inclinaison de la verticale par rapport à l’axe de rotation, la tige part de la position d’équilibre −π/2 + α0

quand λ = 0. Puis, quand on augmente progressivement λ, l’angle de la tige augmente progressivement pour tendre vers l’horizontale quand λ tend vers l’infini. Quand l’imperfection est faible, il y a une inflexion de la courbe au voisinage de λ = 1, pas de bifurcation mais une variation “rapide” de α. Plus l’imperfection est forte et moins l’inflexion est marquée. Le système ne pourra pas passer sur l’autre branche stable sans qu’on l’aide à y aller. Par contre, une fois qu’il sera sur cette deuxième branche stable, il pourra y rester et ne repassera sur la branche fondamentale que si on diminue λ en de¸cà du point limite λ_l. Ce passage se fera avec un saut de α.

↵

⇡ ⇡

branche principale stable

branche secondaire stable

branche instable

Diagramme d’´equilibre pour α0= π/1000.

Branche principale

Exercice 4.1. Reprendre le problème de l’équilibre de la tige fixée-libre sous pesanteur et force cen-trifuge, en considérant toutes les inclinaisons possibles de la pesanteur. Que se passe-t-il en particulier quand =± ge1, i.e. quand la pesanteur est orthogonale à l’axe de rotation ?

4.2.2 Anneau intact ou cass´e soumis `a des forces ponctuelles

Considérons deux anneaux rigides de rayon R qui se distinguent par le fait que l’un des deux est “cassé” en un point. Moyennant un choix convenable de l’origine de l’abscisse curviligne et du repère, on peut prendre pour configuration de référence de l’anneau intact le cercle paramétré par S∈ [0, 2πR) et défini par xR(S) = R cos S R e₁+ R sin S R e₂,

alors que la configuration de référence de l’anneau cassé est ce même cercle privé du point Re1 et donc pour lequel S∈ (0, 2πR). Ces deux anneaux sont soumis au même chargement correspondant à deux forces concentrées, l’une Fe2 appliquée en S₁ = πR/2, l’autre −Fe2 appliquée en S₂ = 3πR/2. Les extrémités S = 0 et S = 2πR de l’anneau cassé sont libres.

Figure 4.1 – L’anneau intact et l’anneau cassé dans leur configuration de référence avec leur charge-ment.

Configurations d’´equilibre et leur stabilit´e

Les anneaux étant rigides, les configurations d’équilibre ne peuvent différer de la configuration de référence que par une translation et une rotation. On peut donc les chercher sous la forme

x(S) = x0+ R cos S R ^{+ ω} e1+ R sin S R ^{+ ω} e2,

où x₀ et ω sont le vecteur translation et la rotation à déterminer. Comme aucune condition à la limite cinématique n’est imposée, seules les équations d’équilibre peuvent permettre de fixer x₀et ω. Ecrivons

les équations d’équilibre global qui sont les mêmes que l’anneau soit intact ou cassé. La résultante des forces est automatiquement nulle. Le moment résultant en un point quelconque du plan des deux forces ponctuelles appliquées dépend de ω et est donné par

M(ω) =x ^π₂R − x 3π 2 R

∧.Fe2=−2FR sin ω.

Les positions d’équilibre sont celles pour lesquelles M(ω) = 0 et donc celles correspondant à ω = 0 ou ω = π quand F 6= 0, n’importe quel ω quand F = 0, la translation x0 étant dans tous les cas arbitraire. Pour déterminer leur stabilité, on peut raisonner comme dans l’exemple précédent en modifiant légèrement la position et en regardant si les efforts extérieurs ont tendance à ramener le système vers la configuration d’équilibre. Une modification δx₀ de x₀ est sans effet, l’équilibre est indifférent vis à vis de la translation. Si l’on modifie la rotation de δω, le moment résultant devient δM ≈ M⁰(ω)δω =−2FR cos ωδω. L’équilibre est indifférent quand F = 0. Quand F 6= 0, si l’on veut que δM ne soit pas de même signe que δω, il faut que F cos ω ≥ 0. Par conséquent les configurations d’équilibre stables sont celles où l’on exerce une traction tendant à ouvrir l’anneau et les configurations d’équilibre instables sont celles où l’on exerce une pression tendant à fermer l’anneau. Si l’on raisonne en terme de branches d’équilibre dans un diagramme (F, ω), on voit qu’il y a trois branches : la première correspondant à ω quelconque quand F = 0 (les équilibres associés peuvent être considérés comme stables), la deuxième correspondant à ω = 0 qui donne un équilibre stable pour les F > 0 et instable pour les F < 0, la troisième branche correspondant à ω = π qui donne un équilibre stable pour lesF < 0 et instable pour les F > 0. On est ici dans un cas particulier de bifurcation d’équilibre avec échange de stabilité quandF change de signe.

Figure 4.2 – Deux configurations d’équilibre de l’anneau pour une même valeur des forces appliquées (celle correspondant à ω = 0 est stable, celle à ω = π est instable) et le diagramme d’équilibre dans le plan (F, ω).

Il reste à déterminer les efforts intérieurs, ce qui nécessite de distinguer les deux cas. On se propose de les calculer pour une position d’équilibre stable oùF > 0 et donc ω = 0. Leur répartition lorsque F < 0 et ω = π s’en déduit par symétrie.

Efforts int´erieurs dans l’anneau cass´e

Comme il n’y a pas de forces linéiques, la répartition de la force intérieure S 7→ R(S) est constante par morceaux. Les constantes sont obtenues en utilisant les conditions aux limites et les conditions de saut aux points où sont exercées les forces ponctuelles :

R(0) = 0, [[R]] ^π₂R = −Fe2, [[R]] ^3π₂ R = Fe2, R(2πR) = 0. On d´eduit imm´ediatement R(S) = ( 0 dans (0,^π₂R]∪ (^3π₂ R, 2πR) −Fe2 dans (^π₂R,^3π₂ R] ^.

Comme t(S) = − sin(S/R)e1 + cos(S/R)e2 et n(S) = − cos(S/R)e1− sin(S/R)e2, on en d´eduit la r´epartition de l’effort normal et de l’effort tranchant

N (S) = ( 0 −F cos(S/R) ^et ^{T (S) =} ( 0 F sin(S/R) ^dans ( (0,^π₂R]∪ (^3π₂ R, 2πR) (^π₂R,^3π₂ R] ^.

On notera que l’effort normal est continu partout, seul l’effort tranchant est discontinu aux points où sont exercées les forces. En intégrant l’équation d’équilibre des moments M⁰(S) + T (S) = 0 qui est valable dans tout l’intervalle (0, 2πR) puisqu’il n’y a pas de couples concentrés et en tenant compte des conditions aux limites M (0) = M (2πR) = 05, on obtient la répartition du moment fléchissant :

M (S) = (

0 dans (0,^π₂R]∪ (^3π₂ R, 2πR) FR cos(S/R) dans (π

2R,^3π₂ R] ^. Efforts int´erieurs dans l’anneau intact

La seule chose qui diffère dans l’anneau intact est l’absence de conditions aux limites puisqu’il n’y a plus d’extrémité. La force intérieure est toujours constante par morceaux et doit satisfaire les conditions de saut :

[[R]] ^π₂R = −Fe2, [[R]] ^3π₂ R = Fe2.

L’absence de conditions aux limites ne permet pas de d´eterminer R(S) exactement mais uniquement `

a un vecteur arbitraire R₀ pr`es : R(S) =

(

R0 dans [0,^π₂R]∪ (3π

2 R, 2πR) R₀− Fe2 dans (^π₂R,^3π₂ R] ^.

En projetant sur la tangente et la normale, on obtient la répartition de l’effort normal et de l’effort tranchant à deux constantes arbitraires près :

N (S) = (

T₀sin(S/R) + N₀cos(S/R) dans [0,^π₂R]∪ (^3π₂ R, 2πR) T0sin(S/R)− (F − N0) cos(S/R) dans (^π₂R,^3π₂ R]

5. On notera que l’on n’a pas besoin d’utiliser les conditions `a la limite R(2πR) = 0 et M (2πR) = 0 pour obtenir la

répartition exacte des efforts intérieurs. Les conditions en S = 0 suffisent. Celles en S = 2πR sont alors automatiquement vérifiées. On en a toutefois tenu compte pour obtenir la configuration d’équilibre.

T (S) = (

T₀cos(S/R)− N0sin(S/R) dans [0,^π₂R]∪ (^3π₂ R, 2πR) T₀cos(S/R) + (F − N0) sin(S/R) dans (^π₂R,^3π₂ R] ^,

N₀ et T₀ s’interprétant comme l’effort normal et l’effort tranchant en S = 0 qui ne sont donc pas déterminés. On notera que les efforts intérieurs sont bien périodiques et qu’il n’y a pas de discontinuité en 0, on a

R(0) = R(2πR) = R₀, N (0) = N (2πR) = N₀, T (0) = T (2πR) = T₀.

En intégrant l’équation d’équilibre des moments M⁰(S) + T (S) = 0 apparaˆıt une troisième constante arbitraire du fait de l’absence de conditions aux limites

M (S) = (

−T0R sin(S/R)− N0R cos(S/R) + M₀+ N₀R dans [0,^π₂R]∪ (3π

2 R, 2πR) −T0R sin(S/R) + (F − N0)R cos(S/R) + M₀+ N₀R dans (^π₂R,^3π₂ R] ^, M₀ s’interprétant comme le moment fléchissant arbitraire en 0. Le moment fléchissant est bien pério-dique sans discontinuité en 0, M (0) = M (2πR) = M0. On ne peut plus rien tirer du problème aux

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