Unicité des mesures F -harmoniques. Nous proposons ici la preuve du théorème suivant :
Theorème 7.1.29. Soit (Π, M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif au dessus dont la base est une va-
riété close courbée négativement, qui paramètre les feuilles. Supposons de plus qu’il n’y a pas de mesure
de probabilité sur CP1qui soit invariante par le groupe d’holonomie. Alors pour tout potentiel Hölder
F : T1B →R, il existe une unique mesure F -harmonique pour F .
Preuve. Sous ces hypothèses, le théorème6.1.10donne une correspondance bijective entre les me- sures F -harmoniques et les mesures de Gibbs associées à F , et le théorème7.1.24donne l’unicité de la mesure de Gibbs pour Gt associée à n’importe quel potentiel. Nous avons donc une preuve du
théorème ä Nous aimerions décrire en détail les désintégrations des mesures F -harmoniques. Dans la suite, nous supposerons donc les hypothèses du théorème7.1.29. Soit F : T1B →R un potentiel Hölder.
La désintégration des mesures F-harmoniques. Nous nous proposons de décrire les mesures condi- tionnelles de l’unique mesure F -harmonique pour F . Nous rappelons qu’à multiplication par une constante positivé près, il n’existe qu’une fonction F -harmonique sur la base B, notée h0.
Dans un premier temps, nous pouvons définir une famille de mesures finies sur les sphères uni- taires tangentes Tz1N , notées ωFz, en tirant en arrière νFz par πz (où πz: Tz1N →N(∞) est l’identifica- tion naturelle).
La section de Lyapunov σ+: T1B →T1F peut se relever en une section eσ+: T1N →T1N ×CP1qui est équivariante pour l’action de π1(B). Elle peut être écrite eσ+(z, v) = (z,v, es+z(v)), où es+z : Tz1N →CP1, satisfait à la relation d’équivariance ρ(γ)es+
z = esγz+Dzγ, où γ ∈ π1(B), z ∈ N. De plus, cette section com-
mute avec le feuilletage centre-instable : lorsque (z1, v1) et (z2, v2) appartiennent à la même variété centre-instable, es+
z1(v1) = es+z2(v2).
Il est utile de considérer, dans la preuve du lemme suivant, la section eσ+z : Tz1N →Tz1N ×CP1défi- nie pour z ∈ N par (Id, es+z)
Lemme 7.1.30. Soit em+
F la mesure définie sur T1N × CP1par intégration des mesures eσ+z∗ ωFz contre
Leb(z).
1. em+
Fest invariante par l’action diagonale de π1(B) sur T1N × CP1
2. La mesure quotient est le relevé canonique de l’unique mesure F -harmonique.
Preuve. Premièrement, notons que pour tout γ ∈ π1(B) et z ∈ N, la relation Dzγ∗ωFz = ωFγzest vérifiée, à cause de la relation d’équivariance γ ∗ νF
z = νFγz. Deuxièmement, notons que par équivariance de la section eσ+, nous avons pour tout z,γ, (Dzγ, ρ(γ)) ◦ eσ+z = eσ+γz◦ Dzγ.
Puisque π1(B) agit sur N par isométries, nous avons γ∗Leb = Leb. L’invariance de em+Fpar l’action diagonale suit alors.
Pour conclure la preuve du lemme, il suffit de prouver que la mesure quotient est ∞-F -harmonique pour Wcu. En effet, une telle mesure est unique puisque l’ensemble des mesures ∞-F -harmoniques est en correspondance bijective avec les mesures F -harmoniques (voir la proposition6.1.19), et par le théorème7.1.29, il n’y a qu’une mesure F -harmonique.
Notons que em+
F est obtenue en poussant par la section eσ+ la mesure définie sur T1N par inté- gration contre Leb(z) des mesures ωF
z. Puisque la section eσ+ commute avec les feuilletages centre- instables, il est suffisant de prouver que cette dernière mesure est ∞-F -harmonique pour fWcu.
Pour voir ce dernier point, il est commode de regarder l’expression de cette mesure dans l’identifi- cation T1N ≃ N ×N(∞) qui trivialise le feuilletage centre-instable. Cette mesure s’écrit dans N ×N(∞) comme l’intégration contre Leb(z) des mesures νFz = k(o, z;ξ)νFo(ξ) : c’est par définition une mesure
∞-F -harmonique. ä
Lemme 7.1.31. Soit emFla projection de em+Fle long des sphères unitaires tangentes.
1. emFs’obtient par intégration de es+z ∗ ωFz contre Leb(z).
2. emF est invariante par l’action diagonale, et la mesure quotient sur M est l’unique mesure F -
Preuve. L’invariance de emF par l’action diagonale de π1(B) sur N × CP1suit directement de celle de e
m+
F par l’action diagonale sur T1N × CP1, et le fait que si pr : T1N →N désigne la projection cano- nique le long des sphères tangentes, nous avons pr ◦ (Dγ) = γ ◦ pr .
Le fait que la mesure quotient, notée mF, est l’unique mesure F -harmonique vient de la seconde partie du lemme précédent.
Finalement, notons que si prz: Tz1N ×CP1→{z}×CP1est la projection sur la seconde variable, on a es+
z = prz◦ eσ+z, de sorte que prz∗ [eσz∗ ωFz] = es+z ∗ ωFz : ces mesures sont les mesures conditionnelles de emFdans les {z} × CP1. La preuve du lemme est donc achevée. ä Theorème 7.1.32. Soit (Π, M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif au dessus dont la base est une va-
riété close courbée négativement, qui paramètre les feuilles. Supposons de plus qu’il n’y ait pas de me-
sure de probabilité sur CP1qui soit invariante par le groupe d’holonomie. Soit F : T1B →R un potentiel
Hölder, appelons mFl’unique mesure F -harmonique. Alors :
1. mFse projette sur h0Leb ;
2. les mesures conditionnelles de mFdans les fibres, par rapport à h0Leb, sont données pour tout p
par : mF,p= s+p∗ " ωFp mass(ωFp) # ;
Preuve. L’unique mesure F -harmonique mFest le quotient de emF. Si p ∈ B, nous pouvons définir s+p:
Tp1B →Vp≃ CP1, ainsi que ωFp. Par conséquent, nous avons la désintégration mF= [s+p∗ ωFp]Leb(p). Pour finir, nous rappelons que nous avons défini la fonction F -harmonique par h0(p) = mass(ωFp) sur B. Les mesures s+
p∗ ωFp/h0(p) sont des mesures de probabilités, donc Π ∗ mF= h0Leb, et :
mF= sp+∗ " ωFp mass(ωFp) # h0(p)Leb(p). CQFD. ä
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Limites de grandes boules
Afin d’obtenir des mesures transverses quasi-invariantes par holonomie, il est assez classique de regarder des moyennes pondérées par des cocycles sur les grandes boules dans les feuilles : voir [GPl] pour le travail de Goodman et Plante, et [Sc,AR] pour des généralisations dans l’esprit de cette thèse. La différence principale est que nous n’utiliserons pas de propriété de Følner. Dans notre cas, puisque les feuilles sont courbées négativement, la croissance du volume des boules dans le revêtement uni- versel des feuilles est exponentielle : les effets de bord ne peuvent plus être négligés. L’idée, déjà pré- sente dans [BG] dans le contexte où la base est une surface hyperbolique, est de dire que les grandes sphères ressemblent à des horosphères, et d’utiliser les propriétés des feuilletages horosphériques. Nous renvoyons également au travail de Knieper [Kn] où l’unique mesure totalement invariante pour le feuilletage horosphérique est obtenu comme limite de moyenne sphériques.