traite à part, sans vraiment faire appel aux partitions de Markov. Nous avons déjà vu des conditions suffisantes pour l’existence de mesures transverses invariantes dans ce cas là. Nous présentons ce cas particulier parce qu’il est plus simple, parce que nous l’avons déjà essentiellement traité au chapitre
V, et parce que nous avions obtenu ce résultat avant d’avoir établi le cas général.
Le cas des mesures harmoniques est plus intéressant. Bien qu’il se déduise également du cas gé- néral, il y a une preuve nettement plus simple qui met en jeu une propriété de la moyenne pour les mesures conditionnelles des mesures harmoniques.
Nous montrerons plus tard comment la preuve de cette proposition nous permet de déduire l’uni- cité des mesures de Gibbs dans la suite.
Cas des états de u-Gibbs. Ce cas a déjà été traité par la proposition5.4.5: si jamais la désintégration dans les feuilles stables de l’état de u-Gibbs ergodique µ+n’est pas singulière par rapport à Lebesgue, alors c’est que µ+est un état de su-Gibbs. Nous avons prouvé au théorème5.4.1que cela entraîne alors l’existence d’une mesure transverse invariante par holonomie, d’où la preuve de la proposition
7.1.11dans ce cadre.
Cas des mesures harmoniques. Nous allons prouver la première assertion de la proposition7.1.11
(c’est-à-dire celle concernant les désintégrations de µ+
H par rapport à (W s
, ¯λs
H,v)) : l’autre suit par un argument symétrique. Nous allons commencer par traduire la conclusion de la proposition7.1.11, ainsi que celle du lemme7.1.12, en termes de désintégration de µ+
H dans les fibres unitaires tan- gentes : nous devrons utiliser une propriété d’absolue continuité du feuilletage centre-instable. Nous rappelons qu’un état de H-Gibbs est associé au potentiel :
H(v) = d td
¯ ¯ ¯
¯t=0log kL(v)(cv(0),cv(t);cv(−∞)).
Nous utiliserons la notation suivante : W+désignera le feuilletage de T1B par les fibres unitaires tangentes, et W+ le feuilletage de T1F relevé par DΠ. C’est un feuilletage qui, en restriction aux feuilles de cF, est transverse au feuilletage centre-instable du flot géodésique feuilleté. Nous pouvons également définir, sur la fibre unitaire tangente T1
pB, la mesure ωHp qui est la projection sur la fibre de
la mesure harmonique en p à l’infini. De même que nous avons relevé les mesures (λ⋆
H,v)v∈T1B aux
feuilles de cFvia la différentielle DΠ, il est possible de relever les mesures ωHp. Nous noterons ( ¯ωHx)x∈M la famille de mesures ainsi obtenue.
Lemme 7.1.21. Soit (Π, M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif au dessus d’une variété Riemannienne
n’y ait pas de mesure invariante par le groupe d’holonomie. Alors les assertions suivantes sont équiva- lentes :
1. µ+
H a une désintégration singulière par rapport à (W
s , ¯λs
H,v).
2. µ+
H a une désintégration singulière par rapport à (W
+, ¯
ωHx).
3. pour Leb-presque tout p ∈ B, s+
p∗ ωHp n’a pas d’atome sur la fibre Vp≃ CP1.
Preuve. Nous prouvons dans un premier temps l’équivalence entre les deux premières assertions. Nous savons que Ws et W+sont deux feuilletages de T1B qui sont uniformément transverses à Wcu. Nous avons la propriété d’absolue continuité suivante. Par définition, les classes harmoniques sur les variétés stables, et sur les fibres unitaires tangentes à B, sont les projections de la classe harmo- nique à l’infini le long du feuilletage centre-instable. Ainsi, les transformations d’holonomie centre- instable envoient la classe de mesure définie sur les variétés stables par (λsH,v)v∈T1B sur celle définie
sur les fibres unitaires tangentes par (ωHp)p∈B. Puis les transformation d’holonomie centre-instable dans T1F envoient la classe de mesure ( ¯λs
H,v)v∈T1Fsur la classe ( ¯ωHx)x∈M.
Nous savons en outre que σ+commute avec les holonomies centre-instables. Puisque l’on ob- tient les mesures conditionnelles de µ+
Hdans les variétés stables locales en désintégrant les σ+∗λuH,v, et dans les fibres unitaires tangentes à F en désintégrant les σ+∗ωH
p, nous déduisons que les holono- mies centre-instable envoient les classes des mesures conditionnelles de µ−
Hdans les variétés stables sur celles des conditionnelles dans les fibres unitaires. Cela entraîne en particulier, par ce qui pré- cède, qu’elles sont simultanément singulières par rapport à la classe harmonique. C’est l’équivalence désirée entre les deux premières assertions.
Reste à prouver celle entre les deux dernières. Nous devrons raisonner exactement comme dans la preuve du lemme7.1.12: il faut écrire la section σ+: T1
pB →T1F comme le graphe d’une application mesurable s+
p: Tp1B →Vp, et utiliser le lemme de désintégration1.5.4. ä Pas d’atomes pour les conditionnelles des mesures harmoniques. Nous allons voir que la propo- sition7.1.11est alors conséquence du théorème suivant :
Theorème 7.1.22. Soit (Π, M,B,V,F ) un fibré feuilleté dont la base B est une variété Riemannienne
close courbée négativement, et dont la fibre V est une variété différentiable compacte. Supposons que les feuilles soient localement isométriques à la base. Alors en l’absence de mesure invariante par le groupe d’holonomie, toutes les mesures harmoniques pour F ont des mesures conditionnelles dans les fibres qui sont non atomiques.
Preuve de la proposition7.1.11. Nous allons voir que ce théorème nous permet de prouver la pro- position7.1.11dans le cas particulier de la classe harmonique.
Supposons donc les hypothèses de la proposition7.1.11: (Π, M,B,CP1,F ) est un fibré feuilleté au dessus d’une base close courbée négativement, dont les feuilles sont localement isométriques à la base, et qui n’admet pas de mesure transverse invariante par holonomie. Nous voulons prouver que
µ+Ha une désintégration singulière par rapport à (Ws, ¯λsH,v). Le théorème4.2.1nous dit qu’à la mesure de H-Gibbs µ+
H est associée une mesure harmonique pour F notée mH. Mieux que cela, nous savons, par la preuve du théorème 7.1.32(que nous ver- rons un peu plus loin), que si mH,p désigne la mesure conditionnelle dans la fibre Vppar rapport au volume dans la base, que nous avons :
Par le théorème7.1.22, étant donné qu’il n’y a pas de mesure transverse invariante par holono- mie, les mesures conditionnelles mH,p, qui sont précisément les s+p∗ ωHp, n’ont pas d’atomes. Nous déduisons alors du lemme7.1.21que la désintégration de µ+
Hpar rapport à (W s
, ¯λs
H,x) est singulière :
CQFD. ä
Propriété de la moyenne pour les mesures conditionnelles. Il nous reste donc à prouver le théo- rème7.1.22. Dans la suite, nous considèrerons un fibré feuilleté (Π, M,B,V,F ) au dessus d’une va- riété Riemannienne close courbée négativement, et dont les feuilles sont localement isométriques à
B. Nous considérons une mesure harmonique m pour F .
Nous pouvons choisir une collection finie de petits disques (Ui)i ∈I qui trivialisent le fibré, et telle que l’intersection de deux cartes est vide ou connexe. Dans une carte Ui× B, la mesure harmonique
m a la désintégration suivante :
m|Ui×V = hi(p, x),Leb(p)νi(x).
Ainsi, par unicité de la désintégration, les mesures conditionnelles dans les fibres Vp, notées mp, sont identifiées avec hi(p, x)νi(x), où p ∈ Ui. Il découle en particulier que les mesures conditionnelles de
m forme une famille continue de mesures de probabilités sur V (les densités h(., x) sont lisses avec la
première variable).
Avant d’énoncer notre propriété de la moyenne proprement dite, nous avons besoin de quelques notations. Fixons un point p0∈ Ui0, et le revêtement universel projp0 : (N ,o)→(B,p0), où o est un
point base fixé dans N . Lorsque z ∈ N, nous notons czla projection via projp0du segment géodésique
[o, z]. Par souci de clarté des notations, nous supposerons que cz est paramétré par [0,1]. Nous rappe- lons que lorsque z ∈ N, τcz est l’application d’holonomie Vp0→Vp, le long de cz, où p = projp0(z).
Finalement, nous rappelons que βS(o,R)o désigne le balayage de la masse de Dirac δosur la sphère
S(o,R). Nous avons vu que la propriété de la moyenne pour les fonctions harmoniques de N s’écrit
alors ainsi : pour toute fonction harmonique H : N →R, et tout R > 0, on a H(o) =´
S(o,R)H dβS(o,R)o . Nous pouvons à présent énoncer notre lemme principal :
Lemme 7.1.23 (Propriété de la moyenne pour les mesures conditionnelles). Soit (Π, M,B,V,F ) un
fibré feuilleté au dessus d’une variété Riemannienne close courbée négativement, dont la fibre est com- pacte, et dont les feuilles sont localement isométriques à la base. Soit m une mesure harmonique pour
F, et (mp)p∈Bsa désintégration dans les fibres Vp. Alors pour tout p0∈ B, et tout R > 0, on a :
mp0= ˆ S(o,R) [τ−1 cz ∗ mcz(1)]dβ S(o,R) o (z).
Preuve. Nous avons vu précédemment, qu’il existe un Borélien A ⊂V qui est plein pour tous les νi, et qui est invariant par toute transformation d’holonomie. Pour x ∈ A, l’application hi0(., x) peut être
étendue harmoniquement à N par la formule :
Hx(z) =
d[τ−1
cz ∗ νi]
dνi0
(x)hi(cz(1),τcz(x)),
où z ∈ N, et cz(1) ∈ Ui(voir notre lemme4.3.1).
La propriété de la moyenne implique que pour tout x ∈ A, Hx(o) =´S(o,R)Hx(z)dβS(o,R)o (z). Nous en tirons l’égalité suivante :
hi0(p0, x) = ˆ S(o,R) d[τ−1 cz ∗ νi] dνi0 (x)hi(cz(1),τcz(x))dβ S(o,R) o (z).
Cette égalité est vraie quel que soit x ∈ A, qui est plein pour νi0, nous pouvons alors la multiplier
par νi0. Puisque d’une part, hi0(p0, x)νi0(x) = mp0, et d’autre part, hi(cz(1),τcz(x))[τ−1cz ∗ νi](x) = τ−1cz ∗
mcz(1), l’égalité énoncée précédemment devient celle énoncée dans le lemme. ä
Preuve du théorème7.1.22. Supposons à présent que les hypothèses du théorème7.1.22soient vé- rifiées : il n’y a pas de mesure transverse invariante. Nous allons raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe des mesures conditionnelles avec atomes. Définissons alors l’ensemble Ω des atomes de mesures conditionnelles avec la plus grande masse. L’intersection d’une fibre avec Ω est finie car les mesures conditionnelles sont des mesures de probabilité. Il existe alors i0∈ I , et p0 ∈ Ui0 tels que
Ω∩ Vp06= ; : prenons x dans cette intersection. Par la propriété de la moyenne donnée par le lemme
7.1.23, nous avons : mp0({x}) = ˆ S(o,R) mcz(1)({τcz(x)})dβ S(o,R) o (z).
Par définition de Ω, nous avons pour tout z ∈ N, mcz(1)({τcz(x)}) ≤ mp0({x}). Nous trouvons donc,
que pour βS(o,R)o -presque tout z ∈ S(o,R), mcz(1)({τcz(x)}) = mp0({x}). Nous avons mieux. Puisque la
courbure sectionnelle de N est pincée entre deux constantes négatives, les mesures βS(o,R)o chargent tous les ouverts de S(o,R). Puisque les mesures conditionnelles varient continûment avec le point de la base, cette dernière égalité a en fait lieu pour tout z ∈ S(o,R). Cela prouve que pour tout R, et tout
z ∈ S(o,R), τcz(x) ∈ Ω.
Autrement dit, nous avons prouvé que l’intersection de Ω avec les fibres est un ensemble fini invariant par toute transformation d’holonomie. Cela contredit l’absence de mesure transverse inva- riance par holonomie. La preuve du théorème7.1.22est donc terminée. ä