Contrôle de distorsion. Nous aurons besoin du lemme de distorsion suivant, très classique en théo- rie ergodique, dont nous rappelons la preuve, courte et élémentaire. Nous supposons toutes les hy- pothèses du théorème6.1.2.
Lemme 6.1.5. Soit D un petit disque inclus dans une variété instable de Φt. Alors étant donné un réel
positif ∆, il existe une constante K0> 1 telle que pour tout t ≥ 0, tout ouvert O ⊂Φt(D) de diamètre
inférieur à ∆, et tout Borélien X ⊂O, nous ayons, pour x ∈ O :
K−1 0 ¯λu F,Φt(x)(X ) ¯λu F,Φt(x)(O) ≤Φt∗ ¯λ u F,x(X ) Φt∗ ¯λuF,x(O) ≤ K0 ¯λu F,Φt(x)(X ) ¯λu F,Φt(x)(O) .
Preuve. Nous ne prouvons que la majoration. La minoration suivra par le même argument. Dans un premier temps, nous utilisons le fait que Φtlaisse quasi-invariante la famille de mesures ( ¯λuF,x)x∈M et
que la dérivée de Radon-Nikodym est donné par kF ,T(x) = exph´T
0 (F ◦ Φ−t(x) − P(F ))dt i
. Ainsi, si O et X sont comme dans le lemme, nous avons :
ΦT∗ ¯λuF,x(X ) ΦT∗ ¯λuF,x(O)= ´ XkF ,Td ¯λuF,ΦT(x) ´ OkF ,Td ¯λuF,ΦT(x) ≤ ¯λu F,ΦT(x)(X ) ¯λu F,ΦT(x)(O) Sup y1,y2∈O kF ,T(y1) kF ,T(y2). Le logarithme du dernier quotient est exactement donné par l’intégrale´T
0 (F ◦ϕ−t(y1)−F ◦ϕ−T(y2))d s. En utilisant la continuité de Hölder de la fonction F dans les variétés instables, nous voyons que cette intégrale est, en valeur absolue, majorée par
C
ˆ T 0
distu(Φ−t(y1),Φ−t(y2))αd t
En utilisant le fait que le flot contracte uniformément le feuilletage instable par itération négative, nous trouvons que cette intégrale est inférieure à :
C Cα u∆α ˆ ∞ 0 e−αχutd t =C C α u∆α αχu < ∞.
Nous pouvons ainsi conclure la preuve du lemme. ä
Composantes markoviennes et effets de bords. Nous allons donner la preuve de la première pro- priété du théorème6.1.2. Considérons donc un disque D ⊂Wuloc(x) pour un certain x. Nous pouvons supposer sans restriction que ¯λuF,x(D) > 0, alors que ¯λuF,x(∂D) = 0.
Soit Ui=Sy∈TiPi(y) une carte feuilletée pour le feuilletage instable dont toutes les plaques Pi(y)
sont des petits disques de diamètre uniformément majoré par un certain ∆ > 0, et supposons que Φt(D) rencontre Uipour un certain t ≥ 0. Nous dirons qu’une composante connexe de l’intersection Φt(D) ∩Ui est markovienne si elle croise entièrement la carte Ui, autrement dit, si c’est une plaque
Pi(y). Si bDt,M,idésigne l’union des composantes connexes markoviennes de Ui∩Φt(D), et si bDt,N M,i, désigne celle des composantes non markoviennes, nous avons :
Φt(D) ∩Ui= bDt,M,i∪ bDt,N M,i.
Une composante connexe non markovienne de Φt(D)∩Uiest incluse dans le ∆-voisinage du bord
∂Φt(D), il en est donc de même de leur union bDt,N M,i. De sorte que la propriété de contraction du flot entraîne que Φ−t( bDt,N M,i) est inclus dans le Cue−tχu∆-voisinage de ∂D. Nous en déduisons le lemme suivant.
Lemme 6.1.6. Soit µ un point d’accumulation de la famille de mesures (µT)T ≥0: il existe une suite (Tk)
telle que µTk→µ pour la convergence faible-∗. Soit Ui une carte feuilletée pour le feuilletage instable
satisfaisant aux conditions µ(Ui) > 0 et µ(∂Ui) = 0, de sorte que (µTk)|Ui→µ|Ui. Notons µk,M,i, la res-
triction des mesures (µTk)|Ui à l’union des composantes markoviennes de Φt(D) ∩Ui, et µk,N M,i celle
aux composantes non markoviennes de Φt(D) ∩Ui, pour t ≤ Tk. Alors :
µk,M,i→µ|Ui et µk,N M,i→0.
Preuve. Les Cue−tχu∆-voisinages du bord ∂D forment une suite décroissante d’ouverts, dont l’inter- section est exactement ∂D, et qui est de mesure nulle pour ¯λuF,x. Nous en déduisons que, sous les hypothèses du lemme, la masse de µk,N M,i tend vers zéro et, puisque (µTk)|Ui = µk,M,i+ µk,N M,i, la
Borner les densités locales. Nous supposons ici que µ est limite de mesures µTk. Que µ soit inva-
riante par le flot est un argument classique à la Krylov-Bogoliubov. Soit Uiune carte feuilletée pour le feuilletage instable, dont les plaques sont des petits disques de diamètre uniformément majoré par ∆. Nous supposons, comme dans le lemme précédent, que µ(Ui) > 0 et µUi(∂Ui) = 0, de sorte que la
convergence précédente soit également valide en restriction à la carte.
Par le lemme précédent, nous pouvons nous restreindre à l’étude des restrictions aux compo- santes Markoviennes. Pour prouver que la restriction de µ à Ui a des mesures conditionnelles dans les plaques qui sont absolument continues par rapport à ¯λuF,x, avec des densités uniformément log- bornées, il nous faut borner les logarithmes des densités dans les plaques de Ui des mesures condi- tionnelles de µk,M,i.
Pour t > 0 rencontrant Ui, nous poserons mt,M,i, la restriction de la mesure Φt∗ ( ¯λuF,x)|D/ ¯λuF,x(D) à bDt,M,i, de sorte que l’on ait :
µk,M,i=T1 k
ˆ Tk
0
mt,M,id t.
Lemme 6.1.7. Les densités des mesures mt,M,i (lorsque cette mesure est non nulle) dans les plaques
instables sont équivalentes à ¯λu
F,xavec des densités uniformément log-bornées indépendamment de t.
Preuve. L’ensemble bDt,M,i est une union finie de plaques instables de Ui. Lorsque cette intersection est non vide, la projection de mt,M,i sur la transversale Ti est donnée par une mesure de comptage
νt,iassociant à un point y ∈ Ti∩ bDt,M,ila masse Φt∗( ¯λuF,x)|D(Pi(y))/ ¯λuF,x(D). Ainsi, les mesures condi- tionnelles dans une telle plaque Pi(y) sont-elles données par :
Φt∗ ( ¯λuF,x)|D Φt∗ ( ¯λuF,x)|D(Pi(y))
.
Par le lemme de contrôle de distorsion6.1.5, cette mesure a une densité par rapport à ¯λuF,x, qui est log-bornée indépendamment de t. Nous pouvons donc conclure la preuve du lemme. ä
Preuve de la première partie du théorème6.1.2. Nous pouvons à présent conclure la preuve de la première partie du théorème. Si µ est un point d’accumulation de µT, nous pouvons recouvrir M par un nombre fini de cartes feuilletées Ui pour Wu, dont toutes les plaques sont de petits disques de diamètre uniformément majoré, telles que pour tout i , µi(∂Ui) = 0. Par ce qui précède, pour tout i tel que µ(Ui) > 0, nous avons une famille de mesures finies (µk,M,i) sur Uitelle que :
– µk,M,iconverge vers µ|Ui quand k croît indéfiniment ;
– les mesures conditionnelles de µk,M,idans les plaques instables ont une densité uniformément log-bornée par rapport à ¯λu
F,x.
Pour voir la seconde propriété, il n’y a qu’à remarquer que les mesures conditionnelles de µk,M,i dans les plaques instables sont données par les moyennes de Césaro de celles des mt,M,i, t ≤ Tk, qui sont log-bornées par le lemme6.1.7. Un argument standard de théorie de la mesure entraîne alors que la mesure µ|Ui a une désintégration dans les plaques instables équivalente par rapport à ¯λuF,x avec des densités bornées.
Pour voir que les densités satisfont aux relations (6.1.4), il suffit d’utiliser l’invariance de µ, ainsi
que sa désintégration dans les cartes. ä
Preuve de la deuxième partie du théorème6.1.2. Nous allons appliquer le théorème de densité de Borel dans les variétés instables : nous renvoyons le lecteur au chapitre 2 de [Matt] pour l’énoncé et
la preuve de ce théorème. Il implique en particulier que si D ⊂Wuloc(x) est un Borélien de mesure positive pour ¯λuF,x, alors pour tout δ > 0, il existe une collection de petits disques disjoints D1,...,Ds tel que :
– pour tout j , ¯λuF,x(Dj\ D) ≤ δ ¯λuF,x(Dj), – ¯λuF,x(D \ SjDj) ≤ δ ¯λuF,x(D).
Nous pouvons alors écrire, pour t > 0 : Φt∗ ( ¯λuF,x)|D ¯λu F,x(D) = s X j =1 ¯λu F,x(Dj) ¯λu F,x(D) Φt∗ ( ¯λuF,x)|Dj ¯λu F,x(Dj) + Φt∗ ( ¯λ u F,x)|D\SjDj ¯λu F,x(D) −¯λu1 F,x(D) s X j =1Φt∗ ( ¯λ u F,x)|Dj\D.
Les masses totales des deux dernières mesures ne dépendent pas de t, et sont chacune inférieure à δ. Ainsi, un point d’accumulation de la famille (µT)T ≥0ne diffère que d’une mesure de masse totale inférieure à δ d’un point d’accumulation de la famille :
s X j =1 ¯λu F,x(Dj) ¯λu F,x(D) 1 T ˆ T 0 Φt∗ ( ¯λuF,x)|Dj ¯λu F,x(Dj) d t.
Mais en appliquant la première partie du théorème, un tel point d’accumulation a une désin- tégration absolument continue par rapport à (Wu, ¯λuF,x) avec des densités uniformément bornées, indépendamment de δ et du choix des Dj, et qui vérifient les relations (6.1.4). En faisant tendre δ vers zéro, nous pouvons conclure la preuve de la deuxième propriété du théorème. ä
Preuve de la troisième partie du théorème6.1.2. Nous voulons à présent prouver que les com- posantes ergodiques des mesures de Gibbs associées au potentiel F sont encore des mesures de Gibbs associées au même potentiel. Soit R l’ensemble des points réguliers, c’est-à-dire l’ensemble des points dont les moyennes de Birkhoff dans le passé et le futur convergent et coïncident pour toute fonction continue. C’est un ensemble plein pour toute mesure invariante par Φt.
En particulier, si µ est une mesure de Gibbs associée à F , puisque la désintégration de µ est ab- solument continue par rapport à (Wu, ¯λuF,x), µ-presque tout point de M est inclus dans une plaque instable Pi(x) dont l’intersection avec R forme un ensemble de mesure strictement positive pour
¯λu F,x.
D’autre part, les moyennes de Birkhoff dans le passé des éléments de R ∩Pi(x) convergent toutes vers la même mesure µxqui est une composante ergodique de µ. Une application élémentaire de la convergence dominée implique donc que µxest limite de la famille de mesures
1 T ˆ T 0 Φt∗ ( ¯λuF,x)R∩Pi(x) ¯λu F,x(R ∩ Pi(x)) d t,
et, par la deuxième partie du théorème, est une mesure de Gibbs associée à F , dont les densités sont uniformément log-bornées et vérifient les relations (6.1.4). Nous pouvons donc conclure la preuve de
la troisième partie du théorème. ä
Preuve de la quatrième partie du théorème6.1.2. Notons que toute mesure de Gibbs associée à
possèdent des densités uniformément log-bornées dans les variétés instables locales par rapport à ¯λu
F,x, et qui vérifient les relations (6.1.4).
Les densités locales d’une mesure de Gibbs sont alors des combinaisons convexes de densités vérifiant ces propriétés : elles les vérifient également. Nous pouvons donc conclure. ä
Preuve de la dernière partie du théorème6.1.2. Nous pouvons conclure la preuve du théorème en utilisant le théorème2.1.9, qui dit que l’état de Gibbs µF est l’unique mesure invariante par ϕt qui a une désintégration absolument continue par rapport à (Wu,λu
F,p).
Puisque par définition, Π projette Φtsur ϕt, les feuilles de Wusur celles de Wu, et les mesures ¯λuF,x sur les λu
F,p, la projection d’une mesure de Gibbs sur B est invariante par ϕt et a une désintégration absolument continue par rapport à (Wu,λuF,p) : c’est donc l’état de Gibbs µF.