harmoniques
Nous supposons dans la suite que (M,F ) est une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée de sorte que toutes les feuilles soient courbées négativement. On rappelle que par compa- cité de M, et par continuité de la métrique avec le paramètre transverse, la courbure sectionnelle des
feuille est pincée entre deux constantes négatives uniformes −b2≤ −a2< 0, et que le rayon d’injecti- vité est uniformément minoré, de sorte qu’il es possible de recouvrir M par un atlas feuilleté fini dont toutes les plaques trivialisent le revêtement universel Riemannien.
Projection d’un état de u-Gibbs. Il a été noté dans le travail de Bonatti, Gómez-Mont et Martínez, [BGM], que la projection de tout état de u-Gibbs pour le flot géodésique feuilleté Gtde T1F, le long des fibres unitaires tangentes au feuilletage, a une désintégration équivalente par rapport à Lebesgue dans les feuilles de F . La proposition suivante complète cette observation en s’intéressant plus par- ticulièrement aux densités locales.
Proposition 5.3.9. Soit (M,F ) une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée de sorte
que toutes les feuilles soient courbées négativement. Soit µ un état de u-Gibbs pour le flot géodésique
feuilleté de T1F. Alors la projection de µ le long des sphères tangentes aux feuilletage est une mesure
φu-harmonique, que l’on note m.
De plus, si T est une transversale complète au feuilletage sur lequel agit le pseudogroupe d’holono- mie de F , les mesures induites sur T par m et par µ sont les mêmes, de sorte que la projection des états de u-Gibbs le long des fibres unitaires tangentes soit injective.
Preuve. Soit µ un état de u-Gibbs pour le flot géodésique feuilleté Gt. Comme il a été noté dans [BGM], il s’agit de s’intéresser aux mesures conditionnelles de µ dans les plaques centre-instables. Nous avons déjà remarqué dans la section précédente, que ces mesures étaient équivalentes à la me- sure de Lebesgue. De plus, les densités locales dans une carte feuilletée pour le feuilletage centre- instable vérifient la relation suivante : pour tous v1, v2appartenant à la même variété centre-instable locale,
ψcu(v2)
ψcu(v1)= k u(v
1, v2;ξ),
avec la notation abusive suivante. Nous écrivons ku(v1, v2;ξ) pour désigner ku(z1, z2;ξ), ou zi est le point base du relevé de viau revêtement universel eL dans un domaine fondamental fixé, (celui conte- nant le point base o), et ξ représente la valeur commune G−∞(vi).
À présent, si U =Sx∈TP(x) est une carte feuilletée pour F , suffisamment fine, où T est une sec- tion transverse au feuilletage, nous pouvons la relever en une carte feuilletée bU pour cF qui est trivia- lement feuilletée par les sphères tangentes, et qui trivialise les feuilletage centre-instable.
Nous pouvons alors désintégrer la restriction de la mesure µ à la carte bU par rapport à une me-
sure νT définie sur T , de sorte que les mesures conditionnelles dans les plaques Sv∈T1
xP(x)W
cu loc(v), soient obtenues en intégrant contre une certaine mesure de Borel finie ηx sur Tx1P(x) les mesures
ψcu(w)LebWcu
loc(v)(w) (nous pouvons naturellement choisir nos mesures normalisées de sorte que ψ
cu vaille 1 identiquement sur T1
xP(x)).
Alors la projection de µ sur U est une mesure φu-harmonique par définition, et induit la même mesure νT sur la transversale T . Puisque, par la proposition5.2.3, deux états de u-Gibbs différents induisent des mesures différentes sur une transversale complète, la projection définie ce-dessus est injective. Nous pouvons ainsi conclure la preuve de la proposition. ä L’existence des états de u-Gibbs étant assurée par le théorème5.2.2, cette proposition règle donc le problème d’existence des mesures φu-harmoniques pour les feuilletages dont les feuilles sont à courbure négatives.
Corollaire 5.3.10. Soit (M,F ) une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée de sorte que
toutes les feuilles soient courbées négativement. Alors l’ensemble des mesures φu-harmoniques est un
Relevé canonique d’une mesure φu-harmonique. Réciproquement, il est possible de relever n’im- porte quelle mesure φu-harmonique au fibré unitaire tangent T1F. Nous aurons besoin des deux notations suivantes :
– pr : T1F → M désigne la projection canonique le long des sphères tangentes au feuilletage F ; – G i bbsudésigne l’ensemble des états de u-Gibbs pour le flot géodésique feuilleté ;
– H arφu(F ) désigne l’ensemble des mesures φu-harmoniques pour F .
Theorème 5.3.11. Soit (M,F ) une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée de sorte
que toutes les feuilles soient courbées négativement. Alors l’application pr∗: G i bbsu→H arφu(F ) qui
associe à un état de u-Gibbs µ sa projection le long des sphères tangentes pr ∗ µ, est une bijection.
Lorsque m = pr ∗ µ, et µ ∈ G ibbsu, nous disons que µ est le relevé canonique de m au fibré T1F.
Preuve. La preuve est la même que pour les mesures harmoniques (voir4.3.5). Nous rappelons les grandes lignes de la preuve :
– On choisit un bon atlas feuilleté pour F suffisamment fin pour que les plaques soient des petits disques trivialisant les revêtements universels des feuilles, et en tirant en arrière par le fibré unitaire tangent, on obtient un atlas pour cF.
– On prend une mesure φu-harmonique µ telle qu’il existe une transversale Ti0 rencontrant µ-
presque toute feuille de F : on peut se ramener à ce cas par le lemme5.3.8.
– On étend par l’holonomie les densités φu-harmonique de µ-presque toute plaque passant par
Ti0, en utilisant le lemme de Ghys (voir1.3.3), puis on remonte ces fonctions aux revêtements
universels des feuilles.
– En utilisant leurs représentations intégrales à l’infini, nous pouvons dérouler les densités φu- harmoniques, il y a une façon canonique de remonter ces fonctions aux fibrés unitaires tan- gents des revêtements universels des feuilles.
– Nous définissons ainsi en reprojetant par le revêtement universel, une familles de mesures sur chaque plaque. qui sont invariantes par le flot et dont les désintégrations dans les feuilles in- stables sont équivalentes à Lebesgue.
– On normalise ces densités par un cocycle convenable, puis on intègre les mesures sur les cartes feuilletées pour cF par le mesure transverse de µ, de sorte à pouvoir recoller ces mesures de façon cohérente avec l’holonomie.
– On obtient le relevé canonique de toute mesure φu-harmonique, qui est une section de la pro- jection le long des fibres unitaires tangentes.
– En utilisant ce qui précède, pr∗: G i bbsu→H arφu(F ) est surjective.
– En utilisant la proposition5.3.9, nous savons que pr∗: G i bbsu→H arφu(F ) est injective. – Nous pouvons conclure.
ä
Décomposition ergodique des mesures φu-harmoniques. Il existe une notion d’ergodicité pour les mesures φu-harmonique, de même qu’il en existe une pour les mesures harmoniques usuelles. En vertu du lemme5.3.7, qui énonce que lorsqu’on a deux mesures φu-harmoniques singulières, alors il existe un Borélien saturé plein pour l’une et nul pour l’autre, la notion suivante est la notion la plus naturelle d’ergodicité.
Définition 5.3.12. Soit (M,F ) une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée de sorte que
toutes les feuilles soient courbées négativement. Une mesure φu-harmonique m sur M est dite ergo-
Remarque. Si A = (Ui,φi)i ∈I est un bon atlas feuilleté pour le feuilletage F , nous considérons la transversale complète associée T =Si ∈ITi, sur lequel agit le pseudogroupe d’holonomie. Une me- sure φu-harmonique induit une mesure de probabilité, notée bm, sur T qui est quasi-invariante par
le pseudogroupe d’holonomie, le cocycle de Radon-Nikodym associé étant défini comme le quotient de deux fonctions φu-harmoniques.
Dire que m est ergodique revient exactement à dire que toute partie borélienne de T saturée par l’action du pseudogroupe d’holonomie a une mesure nulle ou pleine pour bm.
Proposition 5.3.13. Une mesure φu-harmonique sur M est ergodique si et seulement si son relevé ca-
nonique à T1F est un état de u-Gibbs ergodique pour le flot géodésique feuilleté.
Preuve. Soit A = (Ui,φi)i ∈I un bon atlas feuilleté pour F , que l’on tire en arrière afin de définir un bon atlas feuilleté pour cF. Soit T la transversale complète associée. Nous savons que si m est une mesure φu-harmonique pour F et que si µ est son relevé canonique au fibré T1F, alors, les deux mesures induites sur T , bm et bµ, sont égales.
Soit alors X ⊂T un Borélien saturé par le pseudogroupe d’holonomie de F . Alors le Borélien de
T1F défini comme l’union des plaques de cFrencontrant X est un Borélien saturé par le feuilletage c
F, et en particulier invariant par le flot géodésique feuilleté Gt.
Ainsi donc si l’on suppose que le relevé canonique de m est ergodique, ce Borélien est de mesure nulle ou pleine pour µ, et donc X est de mesure pleine ou nulle pour bµ = bm. Ceci prouve l’ergodicité
de m.
À présent, supposons qu’un état de u-Gibbs µ ne soit pas ergodique : il existe alors deux états de u-Gibbs singuliers (rappelons que les composantes ergodiques d’un états u-Gibbs sont encore des états de u-Gibbs), µ1,µ2, ainsi qu’un réel 0 < α < 1 tels que µ = αµ1+ (1 − α)µ2.
En projetant nous avons alors m = αm1+ (1 − α)m2. Puisque µ1 et µ2sont singulières, elles in- duisent des mesures singulières sur la transversale T : c’est la proposition5.2.3. Puisque m1et m2 induisent respectivement les mêmes mesures sur la transversale, elles sont également singulières.
Par le lemme5.3.7, il existe un ensemble de Borel saturé X ⊂M tel que m1(X ) = 1, et m2(X ) = 0 : ainsi m(X ) = α ∈ (0,1) : m n’est pas ergodique.
Puisque la projection le long des sphères tangentes au feuilletages induit une bijection entre états de u-Gibbs et mesures φu-harmoniques, nous pouvons conclure. ä Nous pouvons à présent déduire de ce résultat, ainsi que de la décomposition ergodique des me- sures invariantes par un flot, le théorème suivant qui donne la structure du convexe des mesures
φu-harmoniques, et plus particulièrement, la décomposition ergodique de ces mesures :
Theorème 5.3.14 (Décomposition ergodique). Soit (M,F ) une variété close feuilletée, munie d’une
métrique feuilletée telles que ses feuilles soient courbées négativement. L’espace H arφu(F ) des mesures
φu-harmoniques pour F est un ensemble convexe non vide, dont les points extrémaux sont exactement
donnés par les mesures ergodiques.
De plus, il existe un Borélien de probabilité totale X , c’est-à-dire plein pour toute mesure φu-
harmonique, ainsi qu’une unique famille (mx)x∈X de mesures sur M tels que :
1. pour tout x ∈ X , mxest une mesure φu-harmonique ergodique ;
2. si x, y ∈ X appartiennent à la même feuille, mx= my;
3. pour toute mesure φu-harmonique m, on a :
m =
ˆ X
Preuve. Que les points extrémaux du convexe H arφu soient données exactement par les mesures ergodiques découle directement de la proposition précédente, ainsi que de ce que ce fait est vrai pour le convexe G i bbsudes états de u-Gibbs pour Gt.
Soit Y ⊂T1F l’ensemble des points u-réguliers, c’est-à-dire des vecteurs unitaires v tangents à F pour lesquels les mesures 1/T´
δGt(v)d t et 1/T
´
δG−t(v)d t convergent vers une même limite µv
qui de plus est un état de u-Gibbs.
Alors, puisque toute composante ergodique d’un état de u-Gibbs est encore un état de u-Gibbs, Y est de mesure pleine pour tout état de u-Gibbs. Ainsi, sa projection X est-elle pleine pour toute mesure φu-harmonique m (voir le théorème5.3.11).
Nous affirmons que deux vecteurs unitaires v1et v2tangents à une même feuille et u-réguliers, peuvent être reliés par une concaténation de chemins dans Ws, et dans Wcu, dont les extrémités sont
encore u-régulières. Pour voir ceci, il s’agit de procéder comme lors de la preuve de la proposition
5.2.3, où nous prouvons que deux états de u-Gibbs ergodiques différents, donc singuliers, induisent sur la transversale deux mesures mutuellement singulières. Nous utilisons :
– le fait qu’en restriction aux variétés centre-instables, l’ensemble des points u-réguliers est de mesure pleine pour Lebesgue ;
– l’absolue continuité du feuilletage stable fort.
Nous en déduisons alors que lorsque v1et v2sont tangents à la même feuille, nous avons µv1= µv2.
En particulier, pour x ∈ X , la projection mx= pr ∗ µvne dépend pas de v ∈ Tx1F, et si x et y sont sur la même feuille, alors mx= my.
Chacune des mesures µvest bien entendu ergodique : ce sont exactement les composantes ergo- diques des états de u-Gibbs. En vertu de la proposition précédente5.3.13, les mesures mxsont toutes ergodiques.
Pour finir, il reste à prouver la décomposition ergodique à proprement parler. Mais pour l’obtenir, il n’y a qu’à projeter sur M le long des sphères unitaires tangentes à F la décomposition ergodique
des états de u-Gibbs. La preuve est alors terminée. ä
Mesures totalement invariantes. À partir d’une mesure transverse à F invariante par holonomie, nous pouvons toujours former une mesure harmonique en la combinant avec le volume dans les feuilles.
De même, nous pouvons toujours également former une mesure φu-harmonique en combinant, non pas avec le volume, mais avec la mesure à densité par rapport à Lebesgue donnée par la fonction
φu-harmonique dans les feuilles h0.
Définition 5.3.15. Soit (M,F ) une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée de sorte que
toutes les feuilles soient courbées négativement. Une mesure φu-harmonique totalement invariante est
une mesure qui s’écrit dans chaque carte feuilletée comme le produit d’une mesure transverse, inva-
riante par holonomie, par la mesure qui dans chaque plaque a la densité h0par rapport à la mesure de
Lebesgue, où l’on rappelle que pour tout x ∈ M, h0(x) = ˆ T1 xF sinθ dLebT1 xF,
où θ est l’angle formé par les fibres centre-instables, et unitaires tangentes.
Ainsi, l’argument selon lequel les mesures harmoniques forment une bonne notion généralisant les mesures transverses quasi-invariantes, se transpose au cas des mesures φu-harmoniques.
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Conditions suffisantes pour l’existence de mesures in-
variantes
Dans cette partie, nous considérons toujours une variété close feuilletée (M,F ) munie d’une mé- trique feuilletée, dont les feuilles sont courbées négativement.